专题02 整式的乘除（知识必备+13大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学整式的乘除期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，按整式乘法、乘法公式、整式除法三大模块构建知识脉络，突出幂的运算公式辨析、乘法公式变形等重难点，清晰呈现乘除互逆的内在联系。 讲义亮点在于分层设计题型与变式训练，如结合杨辉三角探究规律培养推理意识，通过图形面积验证平方差公式发展几何直观。基础通关、重难突破、综合拓展练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生运算能力与创新意识。

专题02 整式的乘除（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算 熟练识记并理解整式乘法的基础法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，明确各法则的适用条件与限制范围，能准确区分易混淆公式。 高频考点：重点考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式辨析与计算，常以选择题、填空题形式出现。 整式的乘法法则应用 全面掌握整式乘法的运算类型，涵盖单项式与单项式相乘、单项式与整式相乘、整式与整式相乘，能规范完成每一步运算，精准处理符号问题与漏乘问题。 高频易错点：整式与整式相乘的漏乘问题，常以直接计算题、运算正误判断题形式考查，侧重检验运算的规范性与准确性。 乘法公式的灵活运用 深度理解并熟记乘法公式，包括平方差公式、完全平方公式，知晓公式的几何背景，并能掌握公式的基本变形。能运用整体代入、换元、配方等方法解决整式乘法相关的化简求值问题；能将实际问题转化为整式乘法模型，实现代数运算与实际应用的衔接。能参与公式的推导过程，通过特例猜想、验证归纳规律，应对与杨辉三角相关的规律探索题，提升逻辑推理素养。 核心考点：平方差公式、完全平方公式的直接应用、变形应用是考查核心，既出现在选择题、填空题的化简求值中，也常作为解答题的核心步骤，部分地区会结合几何图形考查公式的几何意义，体现数形结合导向。 整式的除法 1. 熟练掌握同底数幂的除法法则，明确法则适用条件，能准确计算同底数幂的除法运算，理解零次幂的规定及应用边界。 2. 掌握单项式除以单项式、整式除以单项式的运算法则，清晰区分整式除法与整式乘法的互逆关系，能利用乘法运算验证除法结果的正确性，构建完整的整式运算知识体系。 重点，考查同底数幂除法、单项式除以单项式、整式除以单项式的法则应用，核心失分点集中在系数计算错误、指数运算混淆、符号处理失误等。 知识点01 整式的乘法 1、同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 2、幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 3、积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 4、单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 5、单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 6、整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 知识点02 乘法公式 1．平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：． 2. 公式变化 （1）位置变化：； （2）符号变化：； （3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式． 3．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍， 即： 与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 4. 完全平方变形应用 （1） （2） （3）；； （4）；； （5）； （6）；． 5. 完全平方公式推广应用 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点03 整式的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 注：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、任何不等于零的数的零次幂都等于1 （） 同底数数幂的乘除运算顺序 先算积的乘方、幂的乘方、再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 3、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 4、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 5、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 6、整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 题型一 幂的乘法运算 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若a为正整数，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【例4】（22-23七年级上·上海闵行·期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （用科学记数法表示） 【例5】（25-26七年级上·上海·月考）已知，则 ： 【例6】（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【变式1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）下列等式中，表示“同底数幂的乘法性质”的是（    ） A．（m、n是正整数）； B．（m、n是正整数）； C．（n是正整数）； D．（m、n是正整数）． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则 ． 【变式4】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为 ． 【变式5】（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【变式6】（25-26七年级上·上海·月考）已知，求下列各式的值． (1) (2) 题型二 计算单项式乘单项式 【例1】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【例2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 题型三 计算单项式乘整式及求值 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算 ． 【例2】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【例3】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·月考）计算：． 题型四 计算整式乘整式 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 【例2】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期末）以下节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果整式和整式满足：整式的次数是次，那么整式的次数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【变式4】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 题型五 已知整式乘积不含某项求字母的值 【例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【例3】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果关于x的整式与的积中不含x的一次项，那么的值是 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）已知展开后，不含和的项，求． 题型六 整式乘法中的规律性问题 【例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）观察下列各式： …… 根据你发现的规律完成下列各题： (1)填空：； (2)填空： =； (3)因式分解：． 【变式3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？其实这些系数的规律早在11世纪就已经被我国北宋数学家贾宪发现． 1262年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，你会发现，这个“三角形的两条斜的“边”都是由数字1组成的，而其他数都等于它“肩上”的两个数的和，借助这样的规律我们可以得出的展开式中各项系数．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，且各项系数之和为．请借助“贾宪三角”解决下列问题： (1)整式的展开式是一个__________次__________项式； (2)计算：； (3)若的展开式各项系数之和为，求的值（结果用幂的形式表示） 题型七 平方差公式 【例1】（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是 ． 【例3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【变式3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 题型八 完全平方公式 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片Ⅰ、Ⅱ，从纸片Ⅰ的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片Ⅱ的四个顶点处．图2中已标出裁剪后Ⅰ、Ⅱ纸片尺寸，并且裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（   ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若x满足，则的值为 ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）已知数x、y、z满足，则的最大值是 ． 【例4】（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）如果是一个完全平方式，那么可以等于（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）若是一个完全平方式，那么的值是 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是 ． 【变式4】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算：． 【变式5】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题一： 当，，则__________． 问题二：如图所示，已知正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7，的长为4，则三角形的面积为____________． 问题三：如图所示，数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积．（写出必要解题过程） 题型九 同底数幂的除法运算 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）如果，且，，那么 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 题型十 零指数幂 【例1】（22-23七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）上海市依托上海智慧教育平台建设中小学数字教学系统（三个助手），每个学生在三个助手中都有属于自己的二维码．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，序号为，表示该生为7班学生，请写出图3所对应的班级序号 ． 【变式3】（22-23七年级上·上海徐汇·期末）计算： 题型十一 整式除以单项式 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【例3】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）计算： 题型十二 整式的混合运算 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）设是一个整式，且，则 ． 【例3】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·月考）计算： 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【变式1】（24-25七年级上·上海杨浦·月考）当时，代数式的值为 ． 【变式2】（22-23七年级上·上海静安·期中）有些数值问题可以通过字母代替数转化成代数式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题． 计算：. 解：设， 那么原式． 请运用上述方法，计算：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）计算． (1)； (2)． 【变式4】（25-26七年级上·上海松江·期中）计算： (1) (2) (3) 【变式5】（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 题型十三 化简求值 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出值，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”．上述式子中的值分别为（   ） A．4，4 B．4， C．，4 D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【例3】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是 ． 【变式1】（21-22七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）先化简再求值：，其中 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·上海·期中）均为整数，若成立，则（   ） A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 2．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么 ． 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 8．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算：． 9．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 13．（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 14．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知两个整式． (1)求； (2)当，求的值． 15．（25-26七年级上·上海·期中）计算下列各题： (1) (2) (3) 16．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算 熟练识记并理解整式乘法的基础法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，明确各法则的适用条件与限制范围，能准确区分易混淆公式。 高频考点：重点考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式辨析与计算，常以选择题、填空题形式出现。 整式的乘法法则应用 全面掌握整式乘法的运算类型，涵盖单项式与单项式相乘、单项式与整式相乘、整式与整式相乘，能规范完成每一步运算，精准处理符号问题与漏乘问题。 高频易错点：整式与整式相乘的漏乘问题，常以直接计算题、运算正误判断题形式考查，侧重检验运算的规范性与准确性。 乘法公式的灵活运用 深度理解并熟记乘法公式，包括平方差公式、完全平方公式，知晓公式的几何背景，并能掌握公式的基本变形。能运用整体代入、换元、配方等方法解决整式乘法相关的化简求值问题；能将实际问题转化为整式乘法模型，实现代数运算与实际应用的衔接。能参与公式的推导过程，通过特例猜想、验证归纳规律，应对与杨辉三角相关的规律探索题，提升逻辑推理素养。 核心考点：平方差公式、完全平方公式的直接应用、变形应用是考查核心，既出现在选择题、填空题的化简求值中，也常作为解答题的核心步骤，部分地区会结合几何图形考查公式的几何意义，体现数形结合导向。 整式的除法 1. 熟练掌握同底数幂的除法法则，明确法则适用条件，能准确计算同底数幂的除法运算，理解零次幂的规定及应用边界。 2. 掌握单项式除以单项式、整式除以单项式的运算法则，清晰区分整式除法与整式乘法的互逆关系，能利用乘法运算验证除法结果的正确性，构建完整的整式运算知识体系。 重点，考查同底数幂除法、单项式除以单项式、整式除以单项式的法则应用，核心失分点集中在系数计算错误、指数运算混淆、符号处理失误等。 知识点01 整式的乘法 1、同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 2、幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 3、积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 4、单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 5、单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 6、整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 知识点02 乘法公式 1．平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：． 2. 公式变化 （1）位置变化：； （2）符号变化：； （3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式． 3．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍， 即： 与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 4. 完全平方变形应用 （1） （2） （3）；； （4）；； （5）； （6）；． 5. 完全平方公式推广应用 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点03 整式的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 注：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、任何不等于零的数的零次幂都等于1 （） 同底数数幂的乘除运算顺序 先算积的乘方、幂的乘方、再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 3、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 4、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 5、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 6、整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 题型一 幂的乘法运算 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若a为正整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数幂的概念理解、幂的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的定义及幂的乘方法则等知识点，掌握幂的运算法则是解题关键． 先确定括号内有多少个a相乘，再根据幂的乘方法则计算平方后的结果即可． 【详解】解： ， ． 故选： A． 【例3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、有理数的乘方运算 【分析】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，灵活运用运算法则是解答的关键． 通过观察底数的倒数关系和负号的处理，利用相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例4】（22-23七年级上·上海闵行·期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【例5】（25-26七年级上·上海·月考）已知，则 ： 【答案】 196 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键；根据指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，，则， 所以． 故答案为196． 【例6】（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方，合并同类项．先计算积的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）下列等式中，表示“同底数幂的乘法性质”的是（    ） A．（m、n是正整数）； B．（m、n是正整数）； C．（n是正整数）； D．（m、n是正整数）． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法法则，进行判断即可． 【详解】解：A为幂的乘方法则，B为同底数幂的乘法法则，C为积的乘方法则，D等式不成立； 故选B． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方运算法则，幂的乘方法则以及0指数幂的定义，逐一化简即可得出正确选项． 【详解】解： 选项A: ，不符合题意； 选项B: 当时，无意义，不符合题意； 选项C: ，符合题意； 选项D: ，而 ，两者不相等，不符合题意； 故选C． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则 ． 【答案】 54 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为 ． 【答案】72 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算．先利用幂的乘方求出和的值，再通过同底数幂的乘法公式计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：72． 【变式5】（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： 【变式6】（25-26七年级上·上海·月考）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)63 (2)196 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则． （1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】（1）解： 已知，代入得： ； （2）解： 已知，代入得： ． 题型二 计算单项式乘单项式 【例1】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需运用系数相乘和同底数幂相乘的法则进行计算． 【详解】解：； 故答案为． 【例2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式运算法则，熟练掌握计算法则是解答该题的关键；先将系数相乘，再把同底数幂相乘，和保持不变，各项作结果的因式即可． 【详解】计算过程如下： 系数相乘： 同底数幂相乘： 和保持不变 所以， 故答案为． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】先计算乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加法运算，并检查合并同类项的可能性． 本题考查了积的乘方，乘法运算和混合运算，熟练掌握乘方运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、合并同类项 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是做题的关键．先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 【答案】乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则和乘法运算律，正确掌握相关运算法则和运算律是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律得出答案． 【详解】解：……………………（乘法交换律和结合律） ……………………（乘法结合律） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘． 故答案为：乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂． 题型三 计算单项式乘整式及求值 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【例2】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】 【详解】原式 ． 故答案为 ． 【例3】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式              ． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·月考）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型四 计算整式乘整式 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 【答案】B 【详解】解：∵是一个九次式，是一个五次式， ∴一个是五次式，一个是四次式， ∴的次数一定是5； 故选B． 【例2】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为． 【例3】（25-26七年级上·上海·期末）以下节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n，；ii） 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为1，1， 计算结果中的各项系数依次为1，2，1， 计算结果中的各项系数依次为1，3，3，1， 计算结果中的各项系数依次为1，4，6，4，1， 由此可知，计算结果中的各项系数依次为1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式， 计算结果中是一个二次三项式， 计算结果中是一个三次四项式， 计算结果是一个四次五项式， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果整式和整式满足：整式的次数是次，那么整式的次数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设整式的次数为和整式的次数为， ∵整式的次数是次， ∴，， 则 ， ∴整式的次数可能是次或次， ，且最高次项抵消，则 （偶数）， ∴整式的次数不可能是， 综上可得：整式的次数不可能是， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】∵左边， 右边， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意可得：，   ， ∴，， 解得，； （2）解：由（1）可得：． 题型五 已知整式乘积不含某项求字母的值 【例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ， 又∵ 乘积中不含有的一次项， ∴ 一次项系数 ， 解得， ∴ 的值为， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 【例3】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果关于x的整式与的积中不含x的一次项，那么的值是 ． 【答案】/ 【详解】解： ． 由于积中不含x的一次项，则一次项系数， 解得， 即． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 题型六 整式乘法中的规律性问题 【例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴． 故选：B ． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）观察下列各式： …… 根据你发现的规律完成下列各题： (1)填空：； (2)填空： =； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 故答案为：； （3） ． 【变式3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？其实这些系数的规律早在11世纪就已经被我国北宋数学家贾宪发现． 1262年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，你会发现，这个“三角形的两条斜的“边”都是由数字1组成的，而其他数都等于它“肩上”的两个数的和，借助这样的规律我们可以得出的展开式中各项系数．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，且各项系数之和为．请借助“贾宪三角”解决下列问题： (1)整式的展开式是一个__________次__________项式； (2)计算：； (3)若的展开式各项系数之和为，求的值（结果用幂的形式表示） 【答案】(1)五，六 (2)243 (3) 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为：1，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，2，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，3，3，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，4，6，4，1； 由此可知，计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10，5，1， 即， ∴整式的展开式是一个五次六项式， 故答案为：五，六； （2）解：把，代入， 得：， ∴， ∴； （3）解：计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； …， ∴计算结果各项系数之和为， ∴当时，的展开式各项系数之和的值为． 题型七 平方差公式 【例1】（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为5，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为2.5． 故答案为：． 【例3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，将原式变形为平方差公式的形式计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据整式乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算正确，不符合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】25 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查有理数的运算，平方差公式的应用，活用平方差公式进行运算是解题的关键．根据题意，将原式转化为，然后利用平方差公式计算出答案即可． 【详解】解： 【变式3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【答案】(1) (2)28平方分米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． （2）把a、b 的值代入计算即可， 【详解】（1）解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； （2）解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． 题型八 完全平方公式 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片Ⅰ、Ⅱ，从纸片Ⅰ的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片Ⅱ的四个顶点处．图2中已标出裁剪后Ⅰ、Ⅱ纸片尺寸，并且裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（   ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形，设四个小正方形的边长为，根据原正方形的边长不变可列方程求出，然后根据割补法分别求出、，最后计算，即可判断． 【详解】解：设四个小正方形的边长为， 根据题意，得， 解得：， ， ， ， ∴小海错误、乐乐正确， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若x满足，则的值为 ． 【答案】2019 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）已知数x、y、z满足，则的最大值是 ． 【答案】52 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将目标表达式展开，利用约束条件化简，转化为求交叉项的最小值，通过平方和公式确定其范围，进而得到最大值． 【详解】解：设， 则 ， 由，得， ， 若求的最大值，即求的最小值， ， ， ， ， 即的最大值为， 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解∶ ，， ， 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）如果是一个完全平方式，那么可以等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）若是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的构成，关键是确定常数项； 利用完全平方公式，将表达式与标准形式比较，确定常数项的值. 【详解】解：∵是完全平方式 ∴， 即：. 故答案为 ：. 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是 ． 【答案】或6 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查完全平方式，熟知完全平方式的特征是解答的关键． 根据整式为完全平方式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． 【变式4】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的乘法运算，根据多项式乘多项式和完全平方公式，以及合并同类项进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式5】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题一： 当，，则__________． 问题二：如图所示，已知正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7，的长为4，则三角形的面积为____________． 问题三：如图所示，数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积．（写出必要解题过程） 【答案】问题一：，问题二：，问题三： 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，完全平方公式变形应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 问题一：结合，以及，，则，再解出，即可作答． 问题二：理解题意，设正方形的边长，正方形的边长，故，又因为的长为4，得，根据面积公式列式得，与（1）同理，故，进行求解，即可作答． 问题三：先得出结合题意得，长方形的面积，令，则，长方形的面积，，把数值代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：问题一： ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 则； 问题二：设正方形的边长，正方形的边长， ∵正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7， ∴， ∵的长为4， ∴， 结合图形，得直角三角形的面积为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为； 问题三：∵数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11． ∴ ∵分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点， ∴正方形的面积为正方形的面积为 ∵两正方形面积和为13， ∴， 依题意，长方形的面积， 令， ∴，长方形的面积，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长方形的面积， 题型九 同底数幂的除法运算 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂乘法、除法法则和幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B． ，故原计算正确，符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D． ，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）如果，且，，那么 ． 【答案】2 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用幂的乘方法则化简 ，再根据同底数幂的除法法则得到指数，由指数相等得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 故答案为：2． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么 ． 【答案】或 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，将等式左边利用指数运算法则进行化简，得到，与右边比较指数，根据指数相等关系，确定和的值，再计算． 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法的逆用、幂的乘方的逆用，解决本题的关键是根据同底数幂的乘法和除法的逆用，幂的乘方的逆用求解即可． 首先逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可； 逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解：， 当，时， 原式． 题型十 零指数幂 【例1】（22-23七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了有意义的条件，熟练掌握有意义时，是解题的关键，据此作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法运算、合并同类项 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，同底数幂的除法，同类项合并；掌握这些知识是关键；分别按照同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，同类项合并的知识进行分析判断即可； 【详解】解：A、，故计算正确； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）上海市依托上海智慧教育平台建设中小学数字教学系统（三个助手），每个学生在三个助手中都有属于自己的二维码．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，序号为，表示该生为7班学生，请写出图3所对应的班级序号 ． 【答案】5 【知识点】零指数幂、乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题关键．由题意可知，图3第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，再根据转换法则计算即可． 【详解】解：图3第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，其序号为， 故答案为：5． 【变式3】（22-23七年级上·上海徐汇·期末）计算： 【详解】解： ． 题型十一 整式除以单项式 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据积的乘方和单项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算．根据运算法则，系数相除，同底数幂相除即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例3】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，整式的乘除，解题关键是注意运算顺序．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算整式的乘除． 【详解】解：原式      ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查整式的化简，熟练掌握同底数幂的除法和积的乘方是解题的关键，先计算除数的值，然后将多项式中的每一项分别除以该除数，利用同底数幂的除法法则和有理数运算进行化简即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键 先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘除法．先计算积的乘方，再计算单项式的乘除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型十二 整式的混合运算 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式四则混合运算 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）设是一个整式，且，则 ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据整式除法的意义，被除数等于除数乘以商，通过分配律计算即可． 【详解】由题意可得： 故答案为：． 【例3】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，先计算乘法，再计算整式加减法． 【详解】解： ． 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·月考）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法有关法则是解题的关键．根据整式乘法法则依次计算即可． 【详解】解： ． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】幂的混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25七年级上·上海杨浦·月考）当时，代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 故答案为：3． 【变式2】（22-23七年级上·上海静安·期中）有些数值问题可以通过字母代替数转化成代数式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题． 计算：. 解：设， 那么原式． 请运用上述方法，计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】设，用字母代替数，化简后代入数值即可． 【详解】解：设：， 则 原式 ， ， ． 【点睛】本题考查代数式，用字母正确表示数是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式先根据单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】（25-26七年级上·上海松江·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘单项式、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），先计算整式的乘除，再计算整式的加减； 对于（2），先计算整式的乘除，再算加减； 对于（3），根据完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式5】（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用整式的混合运算法则计算； （2）利用整式的混合运算法则计算； （3）利用整式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 题型十三 化简求值 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出值，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”．上述式子中的值分别为（   ） A．4，4 B．4， C．，4 D． 【答案】D 【知识点】构造二元一次方程组求解、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、解方程组等知识点，掌握“试根法”是解题的关键． 根据“试根法”可得多项式的奇次项系数之和，偶次项系数之和，满足 ，因此，有因式．通过比较系数法求和即可． 【详解】解：∵， 展开右边与原多项式比较系数， ∴ ，解得：． ∴和的值分别为和． 故选D． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【答案】20 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 【例3】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用．先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】（21-22七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据多项式乘多项式、去括号法则和合并同类项的方法，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）先化简再求值：，其中 【答案】，0 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·上海·期中）均为整数，若成立，则（   ） A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，掌握算理是解决问题的关键．根据积的乘方可知，由幂的乘方可知，由乘方的性质知当为奇数时，据此解答即可． 【详解】解：， ∴当n为奇数时，． 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是同底数幂的除法及乘方运算，先计算同底数幂的除法，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为： 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么 ． 【答案】4 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【答案】5 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方． 通过将方程两边化为同底数幂，比较指数求出m和n的值，进而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且 ， ∴， ∴， ∴； ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 根据积的乘方的性质是指一个乘积的幂等于各因子的幂的乘积，即进行判断即可． 【详解】解：选项A表示同底数幂的乘法性质，故不符合题意； 选项B中是错误的等式，不符合题意； 选项C直接表示积的乘方的性质，符合题意； 选项D表示幂的乘方性质，不符合题意， 故答案为：C． 7．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式的特点．给定整式为完全平方式，可将其与展开式比较系数，从而建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方、合并同类项，首先根据整式的运算法则把各项计算出来，再合并同类项． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 10．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式根据整式的加减运算法则化简合并同类项即可． （2）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键． 先进行乘法运算，然后去括号，最后合并同类项即可解答． 【详解】解： ． 13．（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了流程图计算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据流程图列式得到，即，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答． 【详解】解：根据题意可知，， ∴． 14．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知两个整式． (1)求； (2)当，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把已知条件中的A，B代入，再根据去括号法则和合并同类项法则化简即可； （2）根据完全平方式和绝对值的非负性，列出关于x，y的方程，解方程求出x，y，再代入（1）中所求的进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 解得：，， ， ． 15．（25-26七年级上·上海·期中）计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、计算单项式乘单项式、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）先进行乘方，再进行乘除，最后进行加减计算； （2）先进行多项式除单项式，多项式乘多项式，然后进行加减运算； （3）先根据加法交换律、结合律，然后运用平方差公式进行计算，最后运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ， ． 16．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $