精品解析：辽宁省沈阳市大东区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025－2026学年度（上）九年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 如图是一个由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 3. 如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 8. 已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 9. 红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x＋3）2＋3 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋2）2＋1 D. y＝（x＋3）2＋1 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的对称轴为直线______． 12. 反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 13. 用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为_______． 14. 如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是______． 15. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在至层的任意一层出电梯．请用树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 4 3 2 1 车库 18. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）求和的值： （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 19. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的函数表达式： （2）一艘宽为，高出水面的货船，请通过计算说明这艘货船能否从桥下通过？ 20. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 21. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）若苗圃的面积为96平方米，求的值； （2）求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 22. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点． （1）如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； （2）如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长； （3）如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在x轴上，点B横坐标为2． （1）点A坐标 　 　，点B坐标为 　 　． （2）求此抛物线所对应函数解析式． （3）点P是抛物线上一点，点P与点B不重合，设点P的横坐标为m，过点P作轴，交直线于点C，设的长为h． ①若点P在直线的上方，求h关于m的函数解析式； ②若点P在x轴的上方，当h随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（上）九年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 如图是一个由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】立体图形的主视图是从前面向后面看到的视图，根据定义去判断即可得出正确答案． 【详解】A：主视图有3列，选项错误； B：主视图有2层，选项错误； C：主视图有3列，且有2层，第二层的第一个视图在第一列上，满足题意，正确； D：主视图列数，层数均不对，选项错误． 故选：C 【点睛】本题考查立体图形三视图，牢记相关的定义是解题的关键． 2. 在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键． 根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小；此距离越小，影子越大． 【详解】解：当把球竖直向上靠近白炽灯时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越大， 故选：B． 3. 如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线间线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，故C正确， ∴，，故A，B，D错误． 故选C． 4. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 故选：C． 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 8. 已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围，进而可得出结论，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ∴， ∴的值可以是， 故选：B． 9. 红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的对角线相等，且垂直平分．以及菱形的面积等于底乘高，或菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的性质，得出，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 10. 将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x＋3）2＋3 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋2）2＋1 D. y＝（x＋3）2＋1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后为 ，即可求解． 【详解】解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为 ， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后为 ， ∴将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线y＝（x＋3）2＋3 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线平移的规律是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 故答案：． 12. 反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数在第二象限内，随增大而增大，即可解答． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在第二、四象限，每个象限内随增大而增大， 在第二象限，随增大而增大， 故答案为：增大． 13. 用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】解：， 配方得：， 整理得：， ∵即为形式， ∴， 故答案为：． 14. 如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意得：，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 根据两个三角形相似，对应边上的高的比等于相似比可知：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三线合一等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点B作于O，证明，得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于O， 由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算和解一元二次方程，掌握几个特殊角的三角函数值和选择合适的一元二次方程解法解方程是解答本题的关键． （1）将特殊角的三角函数值分别求出再代入求解即可； （2）运用公式法求解一元二次方程，先得出，再用求根公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ，，， ， ， ∴，． 17. 甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在至层的任意一层出电梯．请用树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 4 3 2 1 车库 【答案】甲、乙在相邻楼层出电梯的概率为，树状图见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙在相邻楼层出电梯的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有：，，，，，，共种， ∴甲、乙在相邻楼层出电梯的概率为． 18. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）求和的值： （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，直线与坐标轴的交点问题等知识点． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出一次函数解析式，然后求出点坐标，根据轴对称的性质求出点，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴将，两点代入，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：将点，代入， 则， 解得， ∴一次函数解析式为， 令，则， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 19. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的函数表达式： （2）一艘宽为，高出水面的货船，请通过计算说明这艘货船能否从桥下通过？ 【答案】（1） （2）一艘宽为，高出水面的货船，能从桥下通过，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查是二次函数的实际应用，熟练地把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键． （1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）先求出该抛物线的对称轴为，再把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为， 把代入抛物线的解析式得， 解得， 所以抛物线为； 【小问2详解】 解：∵抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为， ∵一艘宽为，高出水面的货船行驶时航线在正中间， ∴当时， ， 所以一艘宽为，高出水面的货船，能从桥下通过． 20. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 21. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）若苗圃的面积为96平方米，求的值； （2）求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）8 （2）当x为米时，苗圃的最大面积为平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得的长为米；根据题意得，，即可解得x的值； （2）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米， ∴的长为米， 根据题意得，， 解得，或， ∵当时，（不合题意，舍去）； 当时，（符合题意） ∴值为； 【小问2详解】 解：设苗圃的面积为， ， ∵， ∴， ∵，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃的最大面积为平方米． 22. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点． （1）如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； （2）如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长； （3）如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，利用相似三角形的性质和判定即可得． （2）根据矩形的性质和角平分线的性质可得，，利用一线三垂直可得，利用三角形全等的性质可得，，过点作于，可先证明，利用三角形相似的性质和勾股定理可得的长． （3）根据矩形的性质和勾股定理可得，设，则，勾股定理结合折叠的性质可得，进而证明，，利用相似三角形的性质可得，故． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 在矩形中，， 在中，根据勾股定理得， ∵是中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 解：如图2，在矩形中， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图 2，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：如图3： 在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理得，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质和判定，三角形全等的性质和判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2． （1）点A坐标为 　 　，点B坐标为 　 　． （2）求此抛物线所对应的函数解析式． （3）点P是抛物线上一点，点P与点B不重合，设点P的横坐标为m，过点P作轴，交直线于点C，设的长为h． ①若点P在直线的上方，求h关于m的函数解析式； ②若点P在x轴的上方，当h随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）当时，，故点B的坐标为，令，解得，即可求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）①，即可求解；②列出函数表达式，利用函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 当时，，故点B的坐标为， 令，解得，故点A的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 把，代入，得， 解得 ∴； 【小问3详解】 ①设点，点， 则， ②上式为点P在直线上方的情况，当点P在x轴的上方且在点B的右侧时， 令，解得或3， 故抛物线和x轴另外一个交点坐标， ， 由①知，当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴； 当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴， 即或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数基本知识等，有一定的综合性，但难度不大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $