第7章 三角函数（单元自测·提升卷）数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期 2．在区间上，函数与图象的公共点个数为 ． 3．函数在的零点个数为 . 4．函数在上的最小值是 ． 5．已知函数是偶函数，则 . 6．设函数的一个对称中心是，则 ． 7．若是方程的解，其中，则的取值集合是 . 8．已知，且，则= . 9．函数，的单调减区间为 . 10.数，的部分图像如下图，则 .    11．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 12．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 二、填空题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 14．函数的图像大致为（    ） A．  B．  C．  D．   15．将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（   ） A． B． C． D． 16．设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 18．（本小题满分14分）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 19．（本小题满分14分）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 20．（本小题满分18分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 21．（本小题满分18分）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期 2．在区间上，函数与图象的公共点个数为 ． 3．函数在的零点个数为 . 4．函数在上的最小值是 ． 5．已知函数是偶函数，则 . 6．设函数的一个对称中心是，则 ． 7．若是方程的解，其中，则的取值集合是 . 8．已知，且，则= . 9．函数，的单调减区间为 . 10.数，的部分图像如下图，则 .    11．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 12．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 二、填空题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 14．函数的图像大致为（    ） A．  B．  C．  D．   15．将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（   ） A． B． C． D． 16．设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 18．（本小题满分14分）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 19．（本小题满分14分）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 20．（本小题满分18分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 21．（本小题满分18分）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 2．3 3．4 4． 5． 6． 7． 8． 9．和 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 B D D A 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 【解】（1）由可得， 所以， 所以函数单调递增区间为：； （2）令，由可得， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 所以在时有最小值-1，又，， 所以，所以函数在上的值域为． 18．（本小题满分14分） 【解】（1），， 令，解得， 所以其单调增区间为. （2）由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 19．（本小题满分14分） 【解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 20．（本小题满分18分） 【解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）设，由， 故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 21．（本小题满分18分） 【解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期 【答案】 【解析】， 所以最小正周期为. 2．在区间上，函数与图象的公共点个数为 ． 【答案】 【解析】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 3．函数在的零点个数为 . 【答案】4 【解析】令，解得：，所以. 因为，所以当时，，符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，符合题意. 当或时，，不符合题意. 综上所述：函数在的零点个数为4. 4．函数在上的最小值是 ． 【答案】 【解析】， 因为， 所以最小值为. 5．已知函数是偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为是偶函数， 所以， 解得，经检验符合题意. 6．设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意可得，即， 又因为，所以. 7．若是方程的解，其中，则的取值集合是 . 【答案】 【解析】由题意得， 因为，所以， 故或，解得或. 8．已知，且，则= . 【答案】 【解析】依题意，，则， 所以. 9．函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【解析】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 10.数，的部分图像如下图，则 .    【答案】/ 【解析】由题意的最小正周期是，所以， ，而，所以， ，，所以， ． 11．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 【答案】/0.5 【解析】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 12．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 二、填空题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数， 令，，因为，所以， ，对称轴为，图象开口向下， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在的值域为故选B 14．函数的图像大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【解析】因为的定义域为，且， 所以为奇函数，所以图像关于原点对称，故B不正确； 当时，，故A错误； 当时，则，可知，故C错误；.故选D. 15．将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，可得， 令，，解得，，即对称中心为，， 当时，对称中心为，令得k均为整数解.故选D. 16．设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将的图象向左平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为 ， 注意到，则当时，， 由题意在上有且仅有两个零点， 这意味着，且显然， 也就是说，解得.故选：A. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 【解】（1）由可得， 所以， 所以函数单调递增区间为：； （2）令，由可得， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 所以在时有最小值-1，又，， 所以，所以函数在上的值域为． 18．（本小题满分14分）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【解】（1），， 令，解得， 所以其单调增区间为. （2）由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 19．（本小题满分14分）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 【解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 20．（本小题满分18分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 【解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）设，由， 故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 21．（本小题满分18分）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $