第7章 三角函数（单元自测·基础卷）数学沪教版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期为 . 3．已知函数的图象经过点，则 ． 3．求函数在的单调递增区间 . 4．设，且为奇函数，则 . 5．函数图象的对称中心坐标为 . 6.函数在上的零点个数为 . 7．函数（）的最大值为 ． 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 9．已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 10．将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 11．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 12．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 14．函数的图象大致是(    ) A．B．C．D． 15．已知，，，则实数、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 18．（本小题满分14分）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 19．（本小题满分14分）心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题： (1)求函数的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数的草图，并求出此人的血压在血压计上的读数． 20．（本小题满分18分）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 21．（本小题满分18分）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，边长，求面积的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．4 2． 3．和 4． 5． 6．4 7． 8． 9． 10． 11． 12．1 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 C B B C 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1）函数， 令， 可得， 故函数的单调递增区间为：； （2）由，可得， 结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值， 当，即时，有最大值2， 即函数的值域为. 18．（本小题满分14分） 【解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 19．（本小题满分14分） 【解】（1）由于，代入周期公式，可得， 所以函数的周期为． （2）每分钟心跳的次数即为函数的频率（次）． （3）列表： t 0 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数的简图如图所示：    由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg． 20．（本小题满分18分） 【解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 21．（本小题满分18分） 【解】（1）函数（）的最小正周期为， 则，解得，所以． 由，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，且，所以． 因为，则，所以，解得． 已知，根据余弦定理， 可得，即． 由，得，当且仅当时取等号． 则，当且仅当时取等号． 所以面积的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期为 . 3．已知函数的图象经过点，则 ． 3．求函数在的单调递增区间 . 4．设，且为奇函数，则 . 5．函数图象的对称中心坐标为 . 6.函数在上的零点个数为 . 7．函数（）的最大值为 ． 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 9．已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 10．将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 11．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 12．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 14．函数的图象大致是(    ) A．B．C．D． 15．已知，，，则实数、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 18．（本小题满分14分）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 19．（本小题满分14分）心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题： (1)求函数的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数的草图，并求出此人的血压在血压计上的读数． 20．（本小题满分18分）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 21．（本小题满分18分）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，边长，求面积的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的最小正周期为 . 【答案】4 【解析】由题，函数的最小正周期. 3．已知函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】∵函数的图象经过点， ∴． 3．求函数在的单调递增区间 . 【答案】和 【解析】因为，令，，解得，， 所以的单调递增区间为，， 所以函数在的单调递增区间为和. 4．设，且为奇函数，则 . 【答案】/0.5 【解析】由题意为奇函数，且定义域为， 则，则，又，则. 当时，是奇函数，故得. 5．函数图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【解析】对于函数，令，，求得，， 故函数的图象的对称中心是. 6.函数在上的零点个数为 . 【答案】4 【解析】令， 则，所以令可得. 7．函数（）的最大值为 ． 【答案】 【解析】当时，，令， ， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，当时，函数有最大值， 即时，取得最大值． 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为关于的方程在上有解， 所以在上有解， 又，所以， 所以，即实数的取值范围是. 9．已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【解析】因为的最小正周期为，所以，解得， 因为图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以令，则， 所以，则. 10．将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 【答案】 【解析】图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数. 11．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【解析】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 12．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 【答案】 【解析】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，不是对称轴； 时，不是对称轴； 时，是对称轴； 时，不是对称轴；故选：C 14．函数的图象大致是(    ) A．B．C．D． 【答案】B 【解析】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且， ∴f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故AC不符题意； 在区间上，，，则有，故D不符题意，B正确. 故选：B． 15．已知，，，则实数、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， . 因为：，所以.故选：B 16．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得， ∴，∴． ∵，∴的最小值是．故选：C 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 【解】（1）函数， 令， 可得， 故函数的单调递增区间为：； （2）由，可得， 结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值， 当，即时，有最大值2， 即函数的值域为. 18．（本小题满分14分）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 19．（本小题满分14分）心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题： (1)求函数的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数的草图，并求出此人的血压在血压计上的读数． 【解】（1）由于，代入周期公式，可得， 所以函数的周期为． （2）每分钟心跳的次数即为函数的频率（次）． （3）列表： t 0 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数的简图如图所示：    由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg． 20．（本小题满分18分）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 21．（本小题满分18分）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，边长，求面积的最大值． 【解】（1）函数（）的最小正周期为， 则，解得，所以． 由，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，且，所以． 因为，则，所以，解得． 已知，根据余弦定理， 可得，即． 由，得，当且仅当时取等号． 则，当且仅当时取等号． 所以面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $