第6章 三角（单元自测·提升卷）数学沪教版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中与终边相同的角为 . 2．在中，若，，，则 ．（用反三角函数表示） 3．若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ． 4．已知是第二象限的角，化简：= . 5． . 6．外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为    7．已知，，则 ． 8．一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 9．已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 10．已知是方程的两个实数根，则 ． 11．在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 12．已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 14．在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 15．若，，则（    ） A． B． C． D． 16．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 18．（本小题满分14）设都是第二象限的角，已知． (1)求的值 (2)求的值． 19．（本小题满分14）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 20．（本小题满分18）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 21．（本小题满分18）（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 2． 3． 4． 5． 6．24 7． 8．海里 9． 10． 11． 12．2 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 A A A D 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 18．（本小题满分14分） 【解】（1）因为， 所以， 则. （2）因为，又， ，故. 19．（本小题满分14分） 【解】（1），； （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 20．（本小题满分18分） 【解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 21．（本小题满分18分） 【解】（1）由题意，，且为钝角， 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里. （2）由题意，. 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故. 所以 所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中与终边相同的角为 . 2．在中，若，，，则 ．（用反三角函数表示） 3．若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ． 4．已知是第二象限的角，化简：= . 5． . 6．外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为    7．已知，，则 ． 8．一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 9．已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 10．已知是方程的两个实数根，则 ． 11．在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 12．已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 14．在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 15．若，，则（    ） A． B． C． D． 16．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 18．（本小题满分14）设都是第二象限的角，已知． (1)求的值 (2)求的值． 19．（本小题满分14）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 20．（本小题满分18）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 21．（本小题满分18）（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中与终边相同的角为 . 【答案】 【解析】与终边相同的角为， 令，所以， ，所以在中与终边相同的角为. 2．在中，若，，，则 ．（用反三角函数表示） 【答案】 【解析】，所以. 3．若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ． 【答案】/ 【解析】因为角的终边过点，所以，所以. 4．已知是第二象限的角，化简：= . 【答案】 【解析】因为是第二象限角，所以， 所以， 5． . 【答案】 【解析】由三角函数的诱导公式，可得： . 6．外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为    【答案】 【解析】延长相交于点，设，    则，解得，所以扇环的面积为， 7．已知，，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以，所以 则． 8．一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 【答案】海里 【解析】如图，在中，由题知，，， 由正弦定理得，所以 9．已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 【答案】/ 【解析】∵β为锐角，且，∴，， 故， ∴，， 又，∴. 10．已知是方程的两个实数根，则 ． 【答案】/0.96 【解析】因为是方程的两个实数根， 所以 因此 ， 11．在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 【答案】/ 【解析】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 12．已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【解析】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即， 所以．故选：A. 14．在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以.所以为等腰三角形.故选：A 15．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，因为， 所以， 所以，所以，故选：A. 16．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是.故选：D. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 【解】（1）. （2）. 18．（本小题满分14）设都是第二象限的角，已知． (1)求的值 (2)求的值． 【解】（1）由，得. （2）由都是第二象限的角，且，得， ，则， 所以. 19．（本小题满分14）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 20．（本小题满分18）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【解】（1）根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为. （2）若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为． 21．（本小题满分18）（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 【解】（1） ； （2）将代入公式， 可得，   因为，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $