第01讲 任意角及其度量（2大知识点+9大题型+过关测试）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第01讲 任意角及其度量（2大知识点+9大题型+过关测试） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解任意角的概念．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．掌握终边相同角的含义及其表示．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 4．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点) 知识点01任意角 1. 正角、负角、零角： 正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的； 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角. 2. 象限角和轴线角： （1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3. 终边相同的角： 我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为 . 【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为； ②终边在轴负半轴上的角的集合为； ③终边在轴上的角的集合为； ④终边在轴上的角的集合为； ⑤终边在坐标轴上的角的集合为； ⑥第二象限角的集合为. 【注意】后缀表示射线，表示直线. 知识点02角的度量 1. 角度制 在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 （1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即 ， 这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】. 【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关. 【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 （4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 （5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 题型一：特殊角的三角函数值 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是 .    2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则 . 题型二：任意角的概念 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，，若，，则 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 题型三：终边相同的角 1．（23-24高一·上海·课堂例题）分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于轴正半轴上的所有角． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别写出角的终边在x轴正半轴、x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴、y轴、x轴、坐标轴上角的集合． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 题型四：根据图形写出角的范围 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 题型五：确定角所在象限 1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 2．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．角60和角600是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 3．（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 题型六：角度和弧度及互相转化 1．（24-25高一上·上海·课前预习）弧度制 （1）弧度制的定义 弧长等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用“ ”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是 . （3）角的弧度数的计算 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么角的弧度数的绝对值 2．（23-24高一上·上海·期末）角顺时针旋转后所得角的弧度数是 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将1920°转化为弧度数为 ． 5．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，若与的终边相同，且，则 6．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）写出终边在直线上的所有角组成的集合．（分别用弧度制和角度制来表示） 9．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 题型七：弧长有关计算 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为 ，则扇形的弧长为 ； 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 题型八：扇形面积有关计算 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是 ． 2．（2024高一下·上海·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ． 4．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    题型九：弧长与面积综合计算 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧长为，半径为2，求该扇形的圆心角及面积S． 4．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是 . 5．（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 6．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 8．（2024高一下·上海·专题练习）如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（    ） A．第一象限的角为锐角 B．钝角是第二象限的角 C．小于的角是锐角 D．终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角 二、填空题 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 5．（23-24高一下·上海·期中）在直角坐标系中，是第 象限角. 6．（23-24高一下·上海·期中）将角度换算成弧度， 弧度. 7．（23-24高一下·上海·期中）60°用弧度制表示为 . 8．（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为 ． 9．（23-24高一下·上海·期中）一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 10．（22-23高一上·上海徐汇·期末）将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ． 11．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 12．（23-24高一上·上海·期末）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值是 （填写序号） ①         ②       ③         ④0 13．（23-24高一下·上海·期中）已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 14．（22-23高一上·上海宝山·期末）若扇形的周长为16，问当圆心角为 时，扇形面积最大？ 15．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 . 二、解答题 16．（22-23高一上·天津南开·期末）一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为. (1)求该扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积. 17．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 18．（23-24高一上·全国·期末）（1）已知凸四边形的四个内角之比为，用弧度制将这些内角的大小表示出来； （2）已知一个半径为r的扇形，它的周长等于弧所在的半圆的弧长，求扇形圆心角的弧度数. 19．（22-23高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 20．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 21．（23-24高一上·全国·期末）如图，圆心在原点、半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆周上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周匀速运动.点P按逆时针方向每秒转，点Q按顺时针方向每秒转，求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.    22．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 任意角及其度量（2大知识点+9大题型+过关测试） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解任意角的概念．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．掌握终边相同角的含义及其表示．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 4．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点) 知识点01任意角 1. 正角、负角、零角： 正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的； 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角. 2. 象限角和轴线角： （1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3. 终边相同的角： 我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为 . 【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为； ②终边在轴负半轴上的角的集合为； ③终边在轴上的角的集合为； ④终边在轴上的角的集合为； ⑤终边在坐标轴上的角的集合为； ⑥第二象限角的集合为. 【注意】后缀表示射线，表示直线. 知识点02角的度量 1. 角度制 在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 （1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即 ， 这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】. 【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关. 【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 （4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 （5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 题型一：特殊角的三角函数值 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是 .    【答案】 【难度】0.94 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】直接由锐角三角函数即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则 . 【答案】60° 【难度】0.94 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据特殊角的余切求角即可. 【详解】因为且， 所以. 故答案为：. 题型二：任意角的概念 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念 【分析】结合任意角的概念分析即可. 【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，，若，，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念 【分析】根据直角三角形内角的正切公式，即可求解. 【详解】由条件可知，又因为，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、任意角的概念 【分析】根据题意，由条件可得集合分别表示的奇数倍与的整数倍，即可得到的关系. 【详解】对于集合，，，表示的奇数倍， 对于集合，，，表示的整数倍， 所以. 故选：A 题型三：终边相同的角 1．（23-24高一·上海·课堂例题）分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于轴正半轴上的所有角． 【答案】答案见解析 【难度】0.94 【知识点】轴线角、找出终边相同的角 【分析】根据象限角和轴线角的特点进行求解. 【详解】第三象限的所有角： 轴正半轴上的所有角： 2．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 【答案】(1) ,第一象限角 (2) ,第三象限角 (3) ,第四象限角, (4) ,第二象限角 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的公式，写出即可. 【详解】（1） 是第一象限的角, 是第一象限的角; （2） 是第三象限的角, 是第三象限的角; （3） 是第四象限的角, 是第四象限的角; （4） 是第二象限的角, 是第二象限的角. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别写出角的终边在x轴正半轴、x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴、y轴、x轴、坐标轴上角的集合． 【答案】答案见解析 【难度】0.85 【知识点】轴线角、找出终边相同的角 【分析】由终边相同角的性质求解． 【详解】解：终边在x轴的正半轴上：； 终边在x轴的负半轴上：； 终边在y轴的正半轴上：； 终边在y轴的负半轴上：； 终边在y轴上：； 终边在x轴上：； 终边在坐标轴上：． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【分析】先根据任意角的定义写出满足的条件，然后结合的范围求解. 【详解】角的终边顺时针旋转所得的角为， 由题意，，则， 注意到，则只有符合题意， 故或 题型四：根据图形写出角的范围 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可. （2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可. 【详解】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 题型五：确定角所在象限 1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据条件得到，再结合选项，即可求出结果. 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 2．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．角60和角600是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、根据图形写出角（范围）、确定已知角所在象限 【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误. 【详解】，与终边不相，故A错误； 第三象限角的集合为，故B错误； 终边在轴上角的集合为， 即， 即，故C正确； 是第二象限角，第一象限角，， 故D错误； 故选：C. 3．（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 4．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 【答案】第二或第四 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据条件得到，再对分类讨论，分和，即可求出结果. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 得到， 当时，，此时是第二象限的角， 当时，，此时是第四象限的角， 所以是第二或第四象限的角. 6．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 【答案】 三 轴 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据象限角的定义解答（1）；根据对称性结合终边相同的角的表示即可解答（2）；根据终边相同角的定义解答（3）； 【详解】（1）若为第二象限的角，则， 所以， 所以，所以为第三象限角； （2）如图，设角的终边为，角的终边为， 角关于原点对称的角为终边是，对应的角表示为， 角关于轴对称的角为终边是，对应的角表示为， 所以， 即， 由于，， 故. （3）因为角和满足关系：， 因为与的终边关于轴对称， 而与的终边相同， 所以角与的终边关于轴对称. 故答案为：三；；轴 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【难度】0.65 【知识点】确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】由的范围，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 题型六：角度和弧度及互相转化 1．（24-25高一上·上海·课前预习）弧度制 （1）弧度制的定义 弧长等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用“ ”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是 . （3）角的弧度数的计算 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么角的弧度数的绝对值 【答案】 半径 弧度 正数 负数 零 【难度】0.94 【知识点】弧度的概念 【分析】（1）弧度制的定义可得结论； （2）任意角的弧度数与实数的对应关系可得结论； （3）利用角的弧度数的定义可得结论. 【详解】（1）弧度制的定义 弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用“”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零. （3）角的弧度数的计算 如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为l，那么角的弧度数的绝对值. 故答案为：①半径；②弧度；③正数；④负数；⑤零；⑥. 2．（23-24高一上·上海·期末）角顺时针旋转后所得角的弧度数是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念、弧度的概念 【分析】根据角的定义即可求解. 【详解】角顺时针旋转后所得角为， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 【答案】 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】根据给定条件，直接写出结论即得. 【详解】在内，终边在轴正半轴上的角为， 所以终边在轴正半轴上的角的集合是. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将1920°转化为弧度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角度化为弧度 【分析】由角度制化为弧度制公式求解． 【详解】解：， 故答案为： 5．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、弧度化为角度 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解. 【详解】因为与的终边相同， 且，即， 所以， 故答案为：或 6．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】角度化为弧度 【分析】将角度化为弧度，由度数乘以即可得到弧度. 【详解】（1）. （2）. （3）. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】弧度化为角度 【分析】利用即可得出答案. 【详解】（1）=. （2）=. （3）=. 8．（23-24高一·上海·课堂例题）写出终边在直线上的所有角组成的集合．（分别用弧度制和角度制来表示） 【答案】，. 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】把直线分成两条射线，来考虑终边落到这两条射线上的角的集合，然后取两部分的并集. 【详解】当角的终边落到上，则， 当角的终边落到上，则， 用弧度制表示时，终边在直线上的所有角组成的集合； 用角度制表示时，终边在直线上的所有角组成的集合. 9．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 【答案】图形见详解 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、角度化为弧度、弧度化为角度 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 题型七：弧长有关计算 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为 ，则扇形的弧长为 ； 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】角度化为弧度、弧长的有关计算 【分析】将角度化为弧度，根据扇形的弧长公式，即可求得答案. 【详解】在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为,即弧度， 故扇形的弧长为， 故答案为： 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】代入弧长公式，即可求解. 【详解】扇形弧长. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 题型八：扇形面积有关计算 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】因为扇形所在圆的半径为，且圆心角为， 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为. 故答案为：. 2．（2024高一下·上海·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据几何形状结合相关面积公式分析求解即可． 【详解】由题意，，，可得，，， 连接，由是圆O的直径，则， 且是中点，结合，可得， 连接，可得， 所以阴影部分由与圆心角为直角的扇形组成， 且，则，即圆O的半径是， 则图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可. 【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为. 故答案为： 4．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据题意，由题中条件结合弧田面积公式求解即可． 【详解】   如图，由题意可得，． 在中，可得，， 则， 所以矢． 由， 得弦， 所以弧田面积弦矢 . 故答案为：． 题型九：弧长与面积综合计算 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】借助扇形面积公式与弧长公式计算即可得. 【详解】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为， 则，即，即， 又，则. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为 . 【答案】25 【难度】0.85 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由扇形的弧长公式及面积公式即可求得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为， 则，所以该扇形的面积为. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧长为，半径为2，求该扇形的圆心角及面积S． 【答案】；. 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】利用公式和即可求解. 【详解】由题意知，，，，解得； . 4．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是 . 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据题目分析出图像的运动情况，画出简图，可以得到一个周期为6，可以判断①正确：根据运动情况完成一个周期，顶点的轨迹是两段曲线，不是半圆，可以判断②错误；利用弧长公式可以判断③正确；利用面积公式可以判断④错误. 【详解】如下图： 沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下： 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置， 得到，此时顶点的轨迹是以为圆心， 为半径的一段圆弧， 即顶点由原点沿运动至位置； 第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置， 得到，此时顶点的轨迹是以为圆心， 为半行的一段圆弧， 即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期. 对于①，， 所以一个周期，故①正确： 对于②，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线， 不是半圆，故②错误； 对于③，由已知， 的㧓长， 的弧长， 完成一个周期，顶点的轨迹长度为， 故③正确； 如图④，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形 ，扇形与的面积和， ， ， 等边边长为， 完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是： ， 故④错误. 故答案为：①③. 5．（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果； （2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域. 【详解】（1）由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. （2）由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ， 所以，. 6．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)扇形周长的最小值为，此时 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解； （2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为，， 所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 【答案】时，扇形的面积取最大值，最大值为． 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】 设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小． 【详解】 设扇形的半径为，弧长为，则 ，即． 扇形的面积，将上式代入， 得， 所以当且仅当时，有最大值16， 此时， 可得：． 所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为． 8．（2024高一下·上海·专题练习）如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值 （2）利用垂径定理结合解直角三角形可得． 【详解】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 所以， ， 当且仅当，即，取得最大值 （2）设交于，则由垂径定理得， ， 由（1）知，， 所以， 所以． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角 【分析】根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 2．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（    ） A．第一象限的角为锐角 B．钝角是第二象限的角 C．小于的角是锐角 D．终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定已知角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可. 【详解】对于选项A，若，则为第一象限角，但不是锐角，A错误； 对于选项B，若为钝角，则，所以为第二象限角，B正确； 对于选项C，若，则，但不是锐角，C错误； 对于选项D，终边在轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D错误； 故选：B. 二、填空题 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 【答案】 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念、角度化为弧度 【分析】根据角的定义和弧度制和角度制的转化即可. 【详解】由题意，分针需要顺时针旋转，即弧度数为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【答案】一 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 5．（23-24高一下·上海·期中）在直角坐标系中，是第 象限角. 【答案】三 【难度】0.94 【分析】根据任意角的概念分析可知与的终边相同，再结合象限角的定义分析判断. 【详解】因为，即与的终边相同， 且，可知为第三象限角， 所以为第三象限角. 故答案为：三. 6．（23-24高一下·上海·期中）将角度换算成弧度， 弧度. 【答案】/ 【难度】0.94 【分析】根据题意结合角度和弧度之间的转化运算求解. 【详解】由题意可得：，即弧度. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期中）60°用弧度制表示为 . 【答案】/ 【难度】0.94 【分析】由角度和弧度的关系进行求解. 【详解】根据角度和弧度的关系可知， 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】将表示成即可得解. 【详解】因为， 所以在内与终边重合的角为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期中）一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】由扇形面积公式即可得解. 【详解】由题扇形半径为，圆心角为， 所以扇形的面积是. 故答案为：. 10．（22-23高一上·上海徐汇·期末）将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】先求出，再由终边相同的角求解即可． 【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为． 则，故终边与相同的角的集合. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【分析】根据弧长公式进行化简即可. 【详解】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为, 故答案为： 12．（23-24高一上·上海·期末）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值是 （填写序号） ①         ②       ③         ④0 【答案】② 【难度】0.85 【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可. 【详解】由题意可得，问题可转化为圆上有12个点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合， 则通过代入和赋值的方法，当时，此时得到圆心角为， 然而此时或时，都有2个与之对应， 根据函数的定义，自变量与应变量只能“一对一”或“多对一”，不能“一对多”， 因此，只有当时，此时旋转，满足一个对应一个， 所以的可能值只能是. 故答案为：② 13．（23-24高一下·上海·期中）已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 由题意可得，解得， 所以该扇形的圆心角大小为2弧度. 故答案为：2. 14．（22-23高一上·上海宝山·期末）若扇形的周长为16，问当圆心角为 时，扇形面积最大？ 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】扇形中的最值问题 【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为， 因为扇形的周长为16，所以， 所以， 所以当时最大，此时， 故答案为：2. 15．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】依题意可知求得大、小两部分扇形面积相减即可得出贴纸部分的面积. 【详解】易知整个扇形纸扇完全打开后的面积为， 未贴纸部分的扇形半径的长为，该部分面积为； 所以贴纸部分的面积为. 故答案为： 二、解答题 16．（22-23高一上·天津南开·期末）一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为. (1)求该扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数； （2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】（1）解：由题意可知，该扇形的弧长为，故该扇形圆心角的弧度数为. （2）解：由题意可知，该扇形的面积为. 17．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2) (3)当时，扇形面积有最大值，为 【难度】0.85 【分析】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案； （2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案； （3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 18．（23-24高一上·全国·期末）（1）已知凸四边形的四个内角之比为，用弧度制将这些内角的大小表示出来； （2）已知一个半径为r的扇形，它的周长等于弧所在的半圆的弧长，求扇形圆心角的弧度数. 【答案】（1），，，；（2） 【难度】0.85 【分析】（1）根据题意，由凸四边形的内角和为列出方程，再由弧度制与角度制的转化，即可得到结果； （2）根据题意，结合扇形的周长公式，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设四个内角分别为，则有，解得， 所以四个内角分别为，，，. （2）设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长为， 所以扇形的周长为，由题意可得， 解得. 19．（22-23高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】（1）答案见解析；（2）；是第一象限角． 【难度】0.65 【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得； （2）根据弧度制与角度概念转化书写即可. 【详解】（1）① ； ②． （2）∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． 20．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【详解】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 21．（23-24高一上·全国·期末）如图，圆心在原点、半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆周上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周匀速运动.点P按逆时针方向每秒转，点Q按顺时针方向每秒转，求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.    【答案】第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点，这时动点P，Q走过的弧长分别为，. 【难度】0.65 【分析】先求出点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间，再计算出各自走过的弧长，进而求出点P转过的角度，得出它们出发后第五次相遇时的位置. 【详解】设点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间为t秒，走过的弧长分别为，， 则，. 因为，即， 所以，从而，. 由此可知，动点P转过的角度为， 故第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点， 这时动点P，Q走过的弧长分别为，. 22．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）作出梯形的高后结合题意计算即可得； （2）四边形面积为，设，结合，即可求出面积关于的表达式，即可得最大值. 【详解】（1）连接，过点作于点，交于点， 由，，扇形半径为4，分别为的中点， 故，，，， 则，故为等边三角形， 则，, 故梯形的高为；    （2）设，则， 且此时，四边形面积为： ， ∴时，取最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$