第6章 三角（单元自测·基础卷）数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．1 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 D B B A 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 18．（本小题满分14分） 【解】（1）因为， 所以， 则. （2）因为，又， ，故. 19．（本小题满分14分） 【解】（1），； （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 20．（本小题满分18分） 【解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 21．（本小题满分18分） 【解】（1）由题意，，且为钝角， 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里. （2）由题意，. 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故. 所以 所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 2．已知角的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边界），则角用集合可表示为 ．    3．化简= ． 4．化简 . 5．已知，则 ． 6．在中，已知，，，则 ． 7．在中，，，且，则的面积是 . 8．已知运算：，若，则 ． 9．已知、为锐角，，，则 . 10．已知，，，则 . 11．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料 . 12．如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．都是正数 14．已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 15．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 16．，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 18．（本小题满分14）已知． (1)求的值； (2)计算及的值．（用反三角表示） 19．（本小题满分14）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 20．（本小题满分18）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 21．（本小题满分18分）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知角，那么角是 象限角 【答案】二 【解析】，由任意角的概念可知是第二象限角. 2．已知角的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边界），则角用集合可表示为 ．    【答案】 【解析】在内，终边落在涂色部分的角的集合为， 所以所求角的集合为. 3．化简= ． 【答案】 【解析】因为，， ，， 所以 4．化简 . 【答案】/ 【解析】 . 5．已知，则 ． 【答案】/ 【解析】由， 可得：， ， 6．在中，已知，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，， 所以由正弦定理可得， 即，则， 又因为，所以，解得， 7．在中，，，且，则的面积是 . 【答案】 【解析】在中，由，即， 因为，由正弦定理得，可得， 又因为，且，可得， 所以的面积为. 8．已知运算：，若，则 ． 【答案】 【解析】. 9．已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【解析】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 10．已知，，，则 . 【答案】 【解析】因，，， 故，， 故，， 则 . 11．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料 . 【答案】 【解析】由题意知，圆心角，外圆半径，内圆半径. 扇环面积. 12．如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 【答案】 【解析】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．都是正数 【答案】D 【解析】对于A，是第二象限角，是第一象限角，而，A错误； 对于B，将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，B错误； 对于C，角是第一象限角，角是第四象限角，它们的终边不同，C错误； 对于D，分别是第二象限和第一象限角，因此，D正确. 故选：D 14．已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， ，故选B. 15．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由，可得，，所以， ，故， 因为，所以，，即是直角三角形，故选：B. 16．，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，即，而， 所以，故选：A 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 【解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 18．（本小题满分14）已知． (1)求的值； (2)计算及的值．（用反三角表示） 【解】（1）因为， 所以， 则. （2）因为，又， ，故. 19．（本小题满分14）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1），； （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 20．（本小题满分18）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 21．（本小题满分18分）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 【解】（1）由题意，，且为钝角， 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里. （2）由题意，. 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故. 所以 所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第6章 三角·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 2．已知角的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边界），则角用集合可表示为 ．    3．化简= ． 4．化简 . 5．已知，则 ． 6．在中，已知，，，则 ． 7．在中，，，且，则的面积是 . 8．已知运算：，若，则 ． 9．已知、为锐角，，，则 . 10．已知，，，则 . 11．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料 . 12．如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．都是正数 14．已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 15．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 16．，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 18．（本小题满分14）已知． (1)求的值； (2)计算及的值．（用反三角表示） 19．（本小题满分14）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 20．（本小题满分18）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 21．（本小题满分18分）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $