河北省沧州市肃宁县第一中学2026届高三上学期12月模拟数学试题

数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3,非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数z满足(z一i)i=2+i,则|z= A.1 B.√2 C.√3 D.2 2.已知集合M={x|1-x2>0},N={x|√x+I<1},则M∩N= A.{x|-1<x<0} B.{x|-1<x<1} C.{x|-1≤x<1} D.{x|-1<x≤0} 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若a1十a7十2a12=4,则Ss= A.8 B.11 C.15 D.20 4.函数y=lg(x+2)+lg(4一x)的单调递增区间是 A.(-2,3) B.（-2,1) C.(1,4) D.(2,4) 5.已知向量a=(一2，一1)，b=(1,一1)，若(a十b)⊥(a十b),则λ= A.-4 B.-2 C.2 D.4 6.设双曲线C:言-芳-1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A,4,斜率为1的直线1过C的左 焦点，点A1,A2到l的距离分别为d1,d2,若d2=3d1,则C的离心率为 A√2 B.√3 C.2 D.3 7.已知如图所示的多面体ABCDEF的6个顶点都在球O的球面上， △ABF与△CDE都是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形， EF∥平面ABCD,AD=2EF=4,则球O的表面积为 A.20元 B.22π C.24r D.26π 8.已知函数f(x)=ca一lnx一a恰有两个零点，则实数a的取值范围为 A.(2、+oo) B.(1,2) C(0、1) D.(1,+o∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某地7月11日到7月20日连续10天的最高气温分别为38,38,37,37,35,34,36,39,38,38 (单位：℃)，若这10个数据的平均数为m,中位数为n,极差为t,方差为s2,则 A.m<37 B.n=37.5 C.t=5 D.s2<2 10.在△ABC中，ab,c分别是角A,B,C的对边.若a=3,b=2,且c0sA=7,BC边上的高为 h,则 A.sin B=3 3 B.C是钝角 C.c=1+√6 D.h=3+32 3 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,以原点O为圆心的圆交C于A,B两点，交1于 D,E两点，|AB|=4√2，|DE引=2√1T,过点A与圆O相切的直线交C于另一点M,过点A 与C相切的直线交圆O于另一点N,则 AC的焦点为(1,0) B.圆O的半径为2√3 C.△OAB与△ODE的面积的比值为2y厘 11 D.AMI=3ANI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2√F一x)6的展开式中，x的系数为 .（用数字作答) 13.已知a是实数，x=2是函数f(x)=(x+1)(x一1)(x一a)的一个极值点，则f(0)= 14.已知tan(a一牙)=日tana,则cos(2a十妥)的值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(z)=sin(2x+)-√3cos2x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x∈(0，乏)时，求f(x)的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知某校共有学生800人，其中男生420人，为了解学生平均每天参加体育锻炼的情况，采 用按性别比例分层抽样的方法进行调查.从全校学生中抽取了部分学生，对平均每天参加体 育锻炼的时间是否超过1小时的人数作统计如下： 超过1小时 不超过1小时 男 32 10 女 18 20 (1)依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为该校学生平均每天参加体育锻炼的时 间是否超过1小时与性别有关联？ (2)从抽取的平均每天参加体育锻炼的时间不超过1小时的学生中，随机选出2名学生，记 男生人数为X,求X的分布列和数学期望 n (ad-bc)2 附：X-a+bc+0a千c(6+而其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，ACLBC,.AB=4,BC-45,过AB的中点D作AB的垂线交AC于点 E,将△ADE沿DE折起到△PDE的位置，使二面角P-DE-C的大小为 (1)求四棱锥P-BCED的体积； (2)求平面PBC与平面PDE所成二面角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2-axln x--l(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=x一b,b∈R,求a,b的值； (2)若f(x)在(1，十o∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)若函数y=f存在两个极值点x1,x,求证：a>2,且f(x)十f(x)<0. 19.(本小题满分17分) 已知点A0,1)和B(竖，号)是椭圆C后+兰=1a>0,6>0)上的两个点， (1)求C的方程； (2)过点(0，n)(n≥b,n∈N*)作C的切线，切点为P(xm,yn). (i)求数列{y}的通项公式； （i)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an一2，bn=上，将数列{b.}中属于{an}的项去 掉后，{bn}中余下的项从小到大排列，得到数列{cn},记{cn}的前n项和为Tn,求满 足Tm>2026的最小的n值. 数学 参考答案 1.B由(x-iDi=2十i,得x=1-i,所以|z=√2.故选B. 2.A因为M=(x|1-x2>0)=(x|-1<x<1),N={x|x+I<1}={x|-1≤x<0},所以M∩N= {x-1<x<0以.故选A 3.C由等差数列{a,}中，a1十a+2a2=4得2a十2ag=4a十a15=a4十a=2,所以S6-15(a十a2=15. 2 故选C. 4.B函数y=lg(x十2)+lg(4-x)=lg(8+2x一x2)的定义域为(-2,4)，因为y=lgx在(0，十∞)上单调递 增，y=8十2x一x2在(-2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，所以函数y=lg(x十2)+g(4-x)的单调递 增区间为（一2,1）.故选B. 5.A因为a十b=(-1,-2),a十b=(-2,-λ-1)，且(a+b)⊥(a十b),所以2-λ十2+2=0，所以λ= -4.故选A 6.C设C的左焦点为(-c,0),则1的方程为y=x十c,则A1,A2到L的距离分别为d,=一十C,d= √2 t,由d=3d及c>a得a+c=3(c-a),所以c=2a,离心率e=台=2.故选C 7.B设矩形ABCD的对角线交点为M,在多边形ABCDEF中，由对称性易求E到 平面ABCD的距离为瓦，以M为原点，过M平行于AB的直线为x轴，过M平行 于BC的直线为y轴，过M垂直于平面ABCD的直线为x轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，则D(1,2,0),C(-1,2,0),E(0,1,W2),设O(0,0,z),则1OD= 10E=R,所以1+4+2=0+1十(g-),z=-号，所以R=1+4+2=号 2 球O的表面积4πR2=22元故选B. 8.D由f(x)=0得ea十x-a=x十lnx=ehx+lnx,设g(x)=e+x,则g(x)=e+l>0,所以g(x)在R 上单调递增，所以f(x)=0化为x一a=lnx,所以a=x一lnx,要使f(x)有两个零点，当且仅当直线y=a与 曲线()=x-nx有两个交点.(x)=1-=1,k(1)=0,当0<x<1时，h(x)<0,当x>1时， h(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，h(1)=1,所以f(x)有两个零点时，a>1. 故选D. 9.BC将10个数由小到大排列为34,35,36,37,37,38,38,38,38,39，则平均数m= 34+35+36+37X2+38X4+39=37,A错误；中位数m=3738=37.5,B正确，极差=39-34=5，C正 10 2 确，=34-37)2+(35-37)2+(36-37)+37-37)2X2+(38-37)2×4+(39-37)2=2.2.D错误.故 10 选BC 10.ACD在△ABC中，因为cosA=号，所以A=于由a=3,b=2及正弦定理得sinB=号，A正确；由余弦 定理a2=廿+e一2 bccos A得9=4+2一2c,解得c=1十V6,C正确：osC=+-C>0,B错误；BC边 2ab 上的高h=csin B=5+3E,D正确.故选ACD 3 1.ABD设圆0的方程为x2+y=,由圆0与1x=-号交于D,E,DE到=2V厅，所以户=聋+1：又圈 0与C交于点A,B,AB=4E,记A(国)，则2=6=8，户=+=9+8，所以+1=+8， 解得产=4，所以p=2,C的焦点为(1,0)，A正确：2=聋+11=12，r=25,B正确；△0DE的面积为 爪，由=8知=2，所以△0MB的面积为4，写二-”-，C结误由对系准，不坊设 A(2,2√2)，则过点A的圆O的切线方程为2x十2W2y=12,即x=6一√2y,与C方程联立，消去x整理得y十 4W2y-24=0,设M(1,h),则h+2√2=-42，为=-6√2，x=18,|AM1=√(-2)2+(h-2W2)2= 86.过点A与C相切的直线方程为z一Ey十2=0，则1AN1=2√2-（层）-8写，所以AM1= 3|AN|,D正确.故选ABD. 12.240T+1=C(2E)-r(-xr=(-1)2-Cx牛，由=4得r=2,则T=2Cr=240x. 13.号 fx)=(x+1)(x-1)(x-a)=(x-10(x-a),f(x)=2x(x-a+x2-1,则f(2)=4(2-a)+3= 0,a=￥，所以f0)=a=头. 14.-72 10 由am(a-子)=日ma得tama=2或3，os(2+受）=号(cos2a-sn2a)= 2 E(1-an2a-2tan2=_7,2 2(1+tan2a】 10 15.解：(Dfd)=6血(2z计号）-3os2x=号如2x+s2x-5cos2zr -分n2z-9s2z=如(2z-骨）…3分 由-受+2m≤2z-吾≤受+2xkeZ,得-最+k<r≤晋+，ke乙， 所以f)的单调递增区间为[kx一受，kx+爱]，k∈乙。 … …6分 同理可得f)的单调递诚区间为[kx+爱，kr十竖]，k∈z 8分 (2)当x∈(0，)时，2x-号∈(-，)， …10分 所以-<如(2x-吾)<1，当且仅当x=爱时，s如(2x-晋)=1， 12分 所以f)的取值范图是(-，1]】 …13分 16.解：(1)零假设H。:该校学生平均每天参加体育锻炼的时间是否超过1小时与性别无关联 X=80g3×g0x18X102≈7.071>6.635， 42X38×50×30 ……4分 故根据小概率值α=0.010的独立性检验，能认为该校学生平均每天参加体育锻炼的时间是否超过1小时 与性别有关联。…6分 (2)X的可能取值为0,1,2，…7分 P0X-o-是-器，PX=i- 87,P(X=2) 24 -291 所以X的分布列为： 0 1 2 器 9 …13分 E0=0×器+1×器+2×易=号 …15分 17解：(I)因为DE⊥BD,DELPD,所以∠PDB是二面角P-DE-C的平面角，∠PDB=号， 又PD=BD=2,所以PB=2,取BD中点O,连接OP,则PO=√3，PO⊥BD, 因为PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD,所以DE⊥平面PBD,所以DE⊥PO, 因为DE∩BD=D,DE,BDC平面BCED,所以PO⊥平面BCED,…3分 在△ABc中.CLBC..A=4,BC-智5，所以AC-85, 51 由器-s血A-器铝=oA-2， AE-5,DE=1,所以四边形BCED的面积为号ACXBC-名ADXDE--号， 所以四棱锥P-BCED的体积为号SXPO-5 6分 15 (2)以O为原点，OB,OP分别为y轴，z轴，过O与DE平行的直线为x轴，建立如图 所示的空间直角坐标系， 则D(0,-1,0),E(1,-1,0),B(0,1,0),P(0,0W3). …7分 在△ABC中，作CF∥AB,交DE的延长线于点F,则CF⊥DE,∠ECF=∠EAD,所 毫-是由a痴，AD-2,DE=1.CE=AC-AB-35,EF+CP-CE,所 以CF=2EF=号，DF=号，所以在空间直角坐标系中C(号，号，o）, …9分 所以i=(01,-3,心-(g,-号0），Pi=0,-1,-),Di=(10,0, …10分 E 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,2),则 r…Pi=0,n∫y-3z=0, -0 取z=2,则n=(W3,23,2), …12分 同样可求得平面PDE的一个法向量m=(0,一√5,1)，…13分 设平面P8C与平面PDE所成二面角为0，则1os01=m:-2治 …14分 所以s血=√一c0=愿，即平面P8C与平面PDE所成二面角的正弦值为， 19 …15分 18.(1)解：f(x)=2x-alnx-a,…1分 由曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x一b得f(1)=2一a=1,所以a=1, …2分 又f(1)=0,f(1)=1-b,所以b=1.…3分 (2)解：f(x)=2x-a(lnx十1)， 因为f(x)在(1，十∞)上单调递增，所以x>1时，f(x)≥0， 4分 因为x>1时，2x>2,lnx十1>1，所以当a≤0时，f(x)>0在(1，十∞)上成立，…5分 当a>0,由(x≥0得2≥血+1,6分 x 令g=中，则g(a)=-兰，g)=0,>1时，gx)<0,所以gr在1，+o∞)止单调递减. x …7分 所以当a>0时，号≥g()=1,0<a≤2。…8分 综上，f(x)在(1，十∞)上单调递增时，a的取值范围是（一o∞，2]、…9分 (3)证明：函数y=f四-z一aln工一上的定义域为0，十oo), y1-2+-+, … …10分 若y=f四存在两个极值点1，，则2一ax十1=0有两个不相等的正实数根，a,且3十=a, x1x2=1, 所以{a之0】0所以Q>2.m …11分 不妨设x2>x1,可得0<x1<1,x2>1,且ax=z+1,ax2=x十1，…12分 所以f()十f(x2)=x-anx-l十x-ax2lnx2-1 =对-d+1h+4-(a4+1h-2=a+(绿+1)h+话-(+1h-2 =()》’-(4-a)h=(-)儿岛-(+安)h]…14分 令()=x-士-(+2)hx,2l, ()=1+2-(1-是)hx-1-是=-(1-3)hx=1-血≤0， 所以x≥1时，h(x)单调递减，h(x)≤h(1)=0,当且仅当x=1时取等号，由x2>1得h(x2)<0,…16分 又题马->0，所以f+f）=(号A()0,即a+fa)0得证…17分 1.解：1)因为点A0,1和B(停，号)在C上，所以是-1，办+是=1， 所以a2=2,b=1,… …2分 所以C的方程为号十y=1.… …3分 (2)()显然切线的斜率存在，设切线方程为y=kx十n,则 由y=kx十n与C的方程消去y得(1十2k2)x2十4knx十2n2-2=0,…5分 由4=16k22-4(1+22)(2m2-2)=0得2=_1 2 )…7分 此时x一202巧=0y=十=一半资+n+-,即%= 4kn 2kn n2 …8分 （i)由Sn=2an-2,得a1=S=2a1-2,a1=2,且n>1时，Sn-1=2a.-1-2, 所以an=Sn一Sn-1=2an一2an-1,所以an=2an-1,所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an=2,…10分 所以Sn=2叶1-2.…11分 因为6，=士=n,则{6，}的前n项和B.=寸1卫， yn 2 …12分 设数列{b.)}的前k项中有{cn}中的前n项，则余下k一n项为{a}中的前k-一n项，其中>n, 所以{c的前n项和T,=B-S-,=C1-2*-+1+2, 2 由T,>2026知Ch1D>2*-+1+2024>2026, 2 所以k(k+1)>4052,又k(k+1)是递增的，63×64=4032,64×65=4160，所以k>63, 因为{bn)的前64项中，有2,4,8,16,32,64是{an}的前6项，这6项和为126， 所以{6n)的前64项中有{cn}的前58项，且{cn}的第59项c59=65,且65,66，…，127都是{cn}的项， 所以T58=B6%-S6=1954,…15分 显然Tn是递增的，且T59=T58十65=2019<2026，T60=T59十66=2085>2026，…16分 所以满足T>2026的最小的n值为60.…17分