32.利用奇偶性求分段函数解析式（补全对称区间解析式）【中档】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数特色专项训练 32.利用奇偶性求分段函数解析式（补全对称区间解析式）【中档】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】分段函数的定义 ￮ 定义表述：定义域被分成若干个互不相交的子集，在每个子集上对应不同的函数表达式的函数 ￮ 数学符号/表达式：（） ￮ 关键特征：“分段定义，整体为函数”，定义域是各段集合的并集 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、幂函数、绝对值函数、分段型抽象函数 2. 【概念2】奇偶性补全分段函数解析式的核心原理 ￮ 定义表述：已知分段函数在原点一侧区间（或）的解析式，利用奇偶性定义，推导另一侧对称区间的解析式，同时需验证处的函数值（若定义域包含） ￮ 数学符号/表达式： 奇函数：若时，则时；若定义域含，则 偶函数：若时，则时；需根据函数连续性或题目条件确定 ￮ 关键特征：先定区间，再代换，后化简，定义域关于原点对称是前提 ￮ 跨章节关联：可结合函数单调性、对称性、周期性综合求解分段函数解析式 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇函数补全解析式规则 时，先令，代入的解析式得，再由得 直接将替换为，忽略符号变换，如误将时写成时 奇函数，时，则时，而非 偶函数补全解析式规则 时，令，代入的解析式得，再由得 混淆奇偶函数符号规则，将偶函数解析式也添加负号 偶函数，时，则时，而非 处函数值的确定 奇函数定义域含时，；偶函数定义域含时，需代入解析式或题目条件求解 遗漏的情况，或误认为偶函数一定为 奇函数定义域为，则；偶函数，时，则 分段函数定义域的对称性 补全后的分段函数定义域必须关于原点对称，各段区间需严格对应 补全后区间不对称，如对应 已知时解析式，补全后应为的解析式，结合的情况，定义域为 三、题型分类与例题精析 题型1： 已知奇函数在时的解析式，补全及的解析式 题型特征：已知奇函数在时的具体表达式，需推导的解析式，若定义域包含则需确定 解题步骤： 1. 设，则，将代入时的解析式，求出； 2. 根据奇函数定义，变形得，化简得到时的解析式； 3. 若定义域包含，则，整合各段解析式得到完整分段函数。 例题1 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，求的完整解析式。 举一反三1-1 已知函数是奇函数，定义域为，当时，，求时的解析式。 举一反三1-2 已知函数是奇函数，当时，，求的完整解析式。 举一反三1-3 已知函数是奇函数，当时，，且的定义域为，求的值及的完整解析式。 题型2： 已知偶函数在时的解析式，补全的解析式 题型特征：已知偶函数在时的具体表达式，需推导的解析式，可直接代入的解析式求解 解题步骤： 1. 设，则，将代入时的解析式，求出； 2. 根据偶函数定义，变形得，化简得到时的解析式； 3. 代入到的解析式求，整合各段解析式得到完整分段函数。 例题2 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，求的完整解析式。 举一反三2-1 已知函数是偶函数，当时，，求时的解析式及的值。 举一反三2-2 已知函数是偶函数，当时，，且，求的完整解析式。 举一反三2-3 已知函数是偶函数，当时，，求时的解析式。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知是定义域为的奇函数，当时，，则时的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知是偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 时， C. D. 的图像在时是开口向下的抛物线 3. 填空题 已知是奇函数，定义域为，当时，，则，。 4. 解答题 (1) 已知是定义域为的奇函数，当时，，求的完整解析式。 (2) 已知是偶函数，当时，，求时的解析式。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知是奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知是偶函数，且的解析式为分段函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 时， C. D. 时， 3. 填空题 已知是偶函数，当时，，且，则，时的解析式为。 4. 解答题 (1) 已知是奇函数，当时，，求的完整解析式，并判断在上的单调性。 (2) 已知是偶函数，当时，，求的完整解析式，并画出函数图像的大致轮廓。 （三）拔高突破卷（5题） 1. 单选题 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数满足，且当时，，若在上是增函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 时， C. 的图像过原点 D. 的取值范围是 3. 填空题 已知是偶函数，当时，，则不等式的解集为__________。 4. 解答题 (1) 已知是奇函数，当时，，且在处的切线方程为，求的完整解析式。 (2) 已知是偶函数，且，若，，求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数特色专项训练 32.利用奇偶性求分段函数解析式（补全对称区间解析式）【中档】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】分段函数的定义 ￮ 定义表述：定义域被分成若干个互不相交的子集，在每个子集上对应不同的函数表达式的函数 ￮ 数学符号/表达式：（） ￮ 关键特征：“分段定义，整体为函数”，定义域是各段集合的并集 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、幂函数、绝对值函数、分段型抽象函数 2. 【概念2】奇偶性补全分段函数解析式的核心原理 ￮ 定义表述：已知分段函数在原点一侧区间（或）的解析式，利用奇偶性定义，推导另一侧对称区间的解析式，同时需验证处的函数值（若定义域包含） ￮ 数学符号/表达式： 奇函数：若时，则时；若定义域含，则 偶函数：若时，则时；需根据函数连续性或题目条件确定 ￮ 关键特征：先定区间，再代换，后化简，定义域关于原点对称是前提 ￮ 跨章节关联：可结合函数单调性、对称性、周期性综合求解分段函数解析式 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇函数补全解析式规则 时，先令，代入的解析式得，再由得 直接将替换为，忽略符号变换，如误将时写成时 奇函数，时，则时，而非 偶函数补全解析式规则 时，令，代入的解析式得，再由得 混淆奇偶函数符号规则，将偶函数解析式也添加负号 偶函数，时，则时，而非 处函数值的确定 奇函数定义域含时，；偶函数定义域含时，需代入解析式或题目条件求解 遗漏的情况，或误认为偶函数一定为 奇函数定义域为，则；偶函数，时，则 分段函数定义域的对称性 补全后的分段函数定义域必须关于原点对称，各段区间需严格对应 补全后区间不对称，如对应 已知时解析式，补全后应为的解析式，结合的情况，定义域为 三、题型分类与例题精析 题型1： 已知奇函数在时的解析式，补全及的解析式 题型特征：已知奇函数在时的具体表达式，需推导的解析式，若定义域包含则需确定 解题步骤： 1. 设，则，将代入时的解析式，求出； 2. 根据奇函数定义，变形得，化简得到时的解析式； 3. 若定义域包含，则，整合各段解析式得到完整分段函数。 例题1 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，求的完整解析式。 解析： 1. 设，则，代入的解析式得：； 2. 由奇函数定义，得； 3. 因是定义域为的奇函数，故； 4. 整合得 答案： 举一反三1-1 已知函数是奇函数，定义域为，当时，，求时的解析式。 解析： 1. 设，则，代入得； 2. 由奇函数定义； 3. 定义域不含，故时。 答案：时， 举一反三1-2 已知函数是奇函数，当时，，求的完整解析式。 解析： 1. 的定义域为关于原点对称的区间是，故定义域为； 2. 设，则，； 3. 由奇函数定义； 4. 定义域不含，整合得 答案： 举一反三1-3 已知函数是奇函数，当时，，且的定义域为，求的值及的完整解析式。 解析： 1. 求：由奇函数定义； 2. 补全解析式：设，则，，故； 3. 定义域为，故； 4. 整合得 答案：； 题型2： 已知偶函数在时的解析式，补全的解析式 题型特征：已知偶函数在时的具体表达式，需推导的解析式，可直接代入的解析式求解 解题步骤： 1. 设，则，将代入时的解析式，求出； 2. 根据偶函数定义，变形得，化简得到时的解析式； 3. 代入到的解析式求，整合各段解析式得到完整分段函数。 例题2 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，求的完整解析式。 解析： 1. 设，则，代入的解析式得：； 2. 由偶函数定义，得（）； 3. 当时，，也满足的解析式； 4. 整合得 答案： 举一反三2-1 已知函数是偶函数，当时，，求时的解析式及的值。 解析： 1. 设，则，； 2. 由偶函数定义（）； 3. 求：。 答案：时，； 举一反三2-2 已知函数是偶函数，当时，，且，求的完整解析式。 解析： 1. 设，则，； 2. 由偶函数定义（）； 3. 已知，整合得 答案： 举一反三2-3 已知函数是偶函数，当时，，求时的解析式。 解析： 1. 设，则，，由偶函数定义得； 2. 设，则，，由偶函数定义得； 3. 整合得时， 答案：时， 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知是定义域为的奇函数，当时，，则时的解析式为（ ） A. B. C. D. 解析：设，则，，由奇函数定义，选A。 答案：A 2. 多选题 已知是偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 时， C. D. 的图像在时是开口向下的抛物线 解析：，A正确；设，，B正确；，C正确；在时解析式为，开口向上，D错误。 答案：ABC 3. 填空题 已知是奇函数，定义域为，当时，，则，。 解析：奇函数定义域为，故；。 答案：； 4. 解答题 (1) 已知是定义域为的奇函数，当时，，求的完整解析式。 解析：设，则，，由奇函数定义；；整合得 答案： (2) 已知是偶函数，当时，，求时的解析式。 解析：设，则，，由偶函数定义。 答案：时， （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知是奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 解析：，选A。 答案：A 2. 多选题 已知是偶函数，且的解析式为分段函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 时， C. D. 时， 解析：，A正确；时，，，B正确；，C正确；时，，，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知是偶函数，当时，，且，则，时的解析式为。 解析：；时，设，。 答案：； 4. 解答题 (1) 已知是奇函数，当时，，求的完整解析式，并判断在上的单调性。 解析：定义域为；设，，，故；整合得；任取，，故在上单调递减。 答案：；单调递减 (2) 已知是偶函数，当时，，求的完整解析式，并画出函数图像的大致轮廓。 解析：当时，；设，则，，由偶函数定义；整合得；图像大致轮廓：时，在递增，递减，递增；时与时图像关于轴对称。 答案：；图像略 （三）拔高突破卷（5题） 1. 单选题 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 解析：奇函数定义域为，故；时；，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数满足，且当时，，若在上是增函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 时， C. 的图像过原点 D. 的取值范围是 解析：是奇函数，过原点，C正确；时，，B正确；时恒成立，故，A正确；，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知是偶函数，当时，，则不等式的解集为__________。 解析：当时，；由偶函数对称性，时解集为；整合得解集为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知是奇函数，当时，，且在处的切线方程为，求的完整解析式。 解析：时，，，故时；设，，；定义域为，整合得。 答案： (2) 已知是偶函数，且，若，，求的值。 解析：由偶函数定义，时，时，对比得；，，解得，。 答案：，， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $