第3.1讲 公因数和最大公因数(导学案)五年级数学寒假自学课（青岛版）

第3.1讲 公因数与最大公因数 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 （1）理解公因数和最大公因数的意义，能找出两个数的所有公因数和最大公因数。 （2）掌握求两个数最大公因数的方法（列举法、短除法），能正确计算最大公因数。 （3）能运用公因数和最大公因数的知识解决生活中的实际问题。 （4）通过对比"因数"与"公因数"的关系，培养数感和抽象思维能力。 2、重难点 重点 ：理解公因数和最大公因数的概念，掌握求最大公因数的方法。 难点 ：运用最大公因数解决"将一个长方形裁剪成若干个最大正方形"等实际问题。 模块二 预习引导 一、从因数到公因数 1、回顾因数的概念：如果a×b=c（a、b、c均为自然数），则a和b都是c的因数。 例如：12的因数有1、2、3、4、6、12 2、公因数的意义：几个数共同拥有的因数 叫做这几个数的公因数。 示例： 12的因数：1、2、3、4、6、12 18的因数：1、2、3、6、9、18 12和18的公因数：1、2、3、6 二、最大公因数的概念 定义： 公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 。 示例： 12和18的公因数是1、2、3、6，其中最大公因数是6 ，记作（12，18）=6。 三、求最大公因数的方法 方法一：列举法 步骤：分别列出两个数的所有因数，找出它们的公因数，确定最大公因数。 示例： 求16和24的最大公因数 16的因数：1、2、4、8、16 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 公因数：1、2、4、8 最大公因数：8 方法二：短除法 步骤：用两个数公有的最小质数 作除数，除到商只有公因数1为止，把所有除数相乘，积就是最大公因数。 示例： 求18和27的最大公因数 3 | 18 27 3 | 6 9 2 3 ← 商的公因数为1，停止 最大公因数：3×3=9，即（18，27）=9 四、特殊情况的最大公因数 1、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数，它们的最大公因数是1。 示例：5和7（互质数），最大公因数是1；8和9（相邻自然数），最大公因数是1。 2、倍数关系：如果较大数是较小数的倍数，那么较小数 是它们的最大公因数。 示例： 12和24（24是12的倍数），最大公因数是12；如果a÷b=5，那么a和b的最大公因数是b 五、最大公因数的应用 典型问题类型： 1、裁剪问题 将一个长方形纸板裁成若干个大小相同的正方形，要使正方形最大且没有剩余。 示例： 长24cm、宽18cm的长方形纸板，正方形边长最大是多少？ 分析： 正方形边长必须是24和18的公因数，最大边长即最大公因数。 解答： 24和18的最大公因数是6，故正方形边长为6cm，可裁成 （24÷6）×（18÷6） =4×3 =12（个） 2、分组问题：将两组不同数量的物品分别分成若干组，要求每组中同类物品数量相同，且没有剩余。 3、铺地砖问题：用正方形地砖铺长方形地面，要求都用整块砖，不切割。 六、解题策略 判断问题类型： 看到"最大""最长""最多"等词语，通常需要求最大公因数； 看到"相同""一样""没有剩余"等词语，也可能需要求最大公因数； 注意区分是求一个数的因数，还是求两个数的公因数。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．几个数( )的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的( )。 2．填一填，与同伴交流。 3．12的因数有( )，28的因数有( )，它们的最大公因数是( )。 4．24和36的公因数有( )个，其中最大的是( )。 5．写出每组数的最大公因数。 26和13( )　　13和6( )　　4和6( ) 5和9( )　　29和87( )　　30和15( ) 6．写出相邻两个数的最大公因数。 7．把一张长18分米，宽12分米的长方形卡纸，裁成若干个大小相同的正方形（边长为整分米数），且没有剩余，裁出的正方形的边长最大是( )分米。 8．把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干同样大小的正方形（纸无剩余），剪成的正方形的边长最长是多少厘米？ 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的（        ）。 32和24的最大公因数是（    ），所以剪成的正方形的边长最长是（    ）cm。 二、选择题 9．以下各数不是12和18的公因数的是（    ）。 A．9 B．3 C．6 10．的分子和分母的最大公因数是（    ）。 A．3 B．6 C．2 11．学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 12．某社区组织居民自愿参加公益劳动，其中A小区有42人报名参加，B小区有48人报名参加。如果把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数都相同，每个小组最多有（    ）人。 A．2 B．3 C．6 D．8 三、计算题 13．求出下列每组数的最大公因数。 45和60        17和51        24和36 四、解答题 14．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.1讲 公因数与最大公因数 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 （1）理解公因数和最大公因数的意义，能找出两个数的所有公因数和最大公因数。 （2）掌握求两个数最大公因数的方法（列举法、短除法），能正确计算最大公因数。 （3）能运用公因数和最大公因数的知识解决生活中的实际问题。 （4）通过对比"因数"与"公因数"的关系，培养数感和抽象思维能力。 2、重难点 重点 ：理解公因数和最大公因数的概念，掌握求最大公因数的方法。 难点 ：运用最大公因数解决"将一个长方形裁剪成若干个最大正方形"等实际问题。 模块二 预习引导 一、从因数到公因数 1、回顾因数的概念：如果a×b=c（a、b、c均为自然数），则a和b都是c的因数。 例如：12的因数有1、2、3、4、6、12 2、公因数的意义：几个数共同拥有的因数 叫做这几个数的公因数。 示例： 12的因数：1、2、3、4、6、12 18的因数：1、2、3、6、9、18 12和18的公因数：1、2、3、6 二、最大公因数的概念 定义： 公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 。 示例： 12和18的公因数是1、2、3、6，其中最大公因数是6 ，记作（12，18）=6。 三、求最大公因数的方法 方法一：列举法 步骤：分别列出两个数的所有因数，找出它们的公因数，确定最大公因数。 示例： 求16和24的最大公因数 16的因数：1、2、4、8、16 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 公因数：1、2、4、8 最大公因数：8 方法二：短除法 步骤：用两个数公有的最小质数 作除数，除到商只有公因数1为止，把所有除数相乘，积就是最大公因数。 示例： 求18和27的最大公因数 3 | 18 27 3 | 6 9 2 3 ← 商的公因数为1，停止 最大公因数：3×3=9，即（18，27）=9 四、特殊情况的最大公因数 1、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数，它们的最大公因数是1。 示例：5和7（互质数），最大公因数是1；8和9（相邻自然数），最大公因数是1。 2、倍数关系：如果较大数是较小数的倍数，那么较小数 是它们的最大公因数。 示例： 12和24（24是12的倍数），最大公因数是12；如果a÷b=5，那么a和b的最大公因数是b 五、最大公因数的应用 典型问题类型： 1、裁剪问题 将一个长方形纸板裁成若干个大小相同的正方形，要使正方形最大且没有剩余。 示例： 长24cm、宽18cm的长方形纸板，正方形边长最大是多少？ 分析： 正方形边长必须是24和18的公因数，最大边长即最大公因数。 解答： 24和18的最大公因数是6，故正方形边长为6cm，可裁成 （24÷6）×（18÷6） =4×3 =12（个） 2、分组问题：将两组不同数量的物品分别分成若干组，要求每组中同类物品数量相同，且没有剩余。 3、铺地砖问题：用正方形地砖铺长方形地面，要求都用整块砖，不切割。 六、解题策略 判断问题类型： 看到"最大""最长""最多"等词语，通常需要求最大公因数； 看到"相同""一样""没有剩余"等词语，也可能需要求最大公因数； 注意区分是求一个数的因数，还是求两个数的公因数。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．几个数( )的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的( )。 【答案】 公有 最大公因数 【详解】根据公因数和最大公因数的概念可知，几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。比如1、2、4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。 2．填一填，与同伴交流。 【答案】见详解 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有乘积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，如果一个整数同时是几个整数的因数，就称这个整数为它们的“公因数”。据此先求出因数，再确定公因数，分别填在相应的圈内即可。 【详解】 6的因数有：1、2、3、6 8的因数有：1、2、4、8 6和8的公因数有：1、2 3．12的因数有( )，28的因数有( )，它们的最大公因数是( )。 【答案】 1、2、3、4、6、12 1、2、4、7、14、28 4 【分析】可以用乘法算式找一个数的因数。例：12＝1×12，则1和12是12的因数。最大公因数找出两个数的公因数，且最大的就是这两个数的最大公因数。 【详解】12＝1×12、12＝2×6、12＝3×4 28＝1×28、28＝2×14、28×4×7 则12的因数有1、2、3、4、6、12，28的因数有1、2、4、7、14、28，它们的最大公因数是4。 4．24和36的公因数有( )个，其中最大的是( )。 【答案】 6 12 【分析】根据求两个数的公因数的方法，先分别求出24和36这两个数的因数，再看它们的公因数有哪几个；并据此求出这两个数的最大公因数，由此解答。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36； 所以24和36的公因数有1、2、3、4、6、12，共有6个，其中最大的是12。 【点睛】此题主要考查求两个数的公因数以及最大公因数的方法。 5．写出每组数的最大公因数。 26和13( )　　13和6( )　　4和6( ) 5和9( )　　29和87( )　　30和15( ) 【答案】 13 1 2 1 29 15 【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，若两个数互为倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数；若两个数是互质数，则它们的最大公因数是1。据此计算即可。 【详解】因为26和13是倍数关系，则26和13的最大公因数是13； 因为13和6是互质数，所以13和6的最大公因数是1； 因为4＝2×2，6＝2×3 所以4和6的最大公因数是2； 因为5和9是互质数，所以5和9的最大公因数是1； 因为29和87是倍数关系，则29和87的最大公因数是29； 因为30和15是倍数关系，则30和15的最大公因数是15。 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数，明确求两个数的最大公因数的方法是解题的关键。 6．写出相邻两个数的最大公因数。 【答案】见详解 【分析】最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数是互质数，最大公因数是1，如果两个数为倍数关系，较小的数为最大公因数，据此解答。 【详解】 7．把一张长18分米，宽12分米的长方形卡纸，裁成若干个大小相同的正方形（边长为整分米数），且没有剩余，裁出的正方形的边长最大是( )分米。 【答案】6 【分析】要裁的边长应是12和18的公因数，要使裁出的正方形的边长最大，所以裁的边长应是12和18的最大公因数，求出它的最大公因数即可。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数＝2×3＝6 则裁出的正方形的边长最大是6分米。 【点睛】此题主要考查求两个数的公因数和最大公因数，明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键。 8．把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干同样大小的正方形（纸无剩余），剪成的正方形的边长最长是多少厘米？ 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的（        ）。 32和24的最大公因数是（    ），所以剪成的正方形的边长最长是（    ）cm。 【答案】最大公因数；8；8 【分析】把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干同样大小的正方形，且剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的最大公因数，把32和24进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。由此解答即可。 【详解】 所以32和24的最大公因数是：。 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的最大公因数。 32和24的最大公因数是8，所以剪成的正方形的边长最长是8cm。 二、选择题 9．以下各数不是12和18的公因数的是（    ）。 A．9 B．3 C．6 【答案】A 【分析】如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”，据此分析。 【详解】A．9不是12的因数，排除； B．3既是12的因数，也是18的因数，3是12和18的公因数； C．6既是12的因数，也是18的因数，6是12和18的公因数。 不是12和18的公因数的是9。 故答案为：A 10．的分子和分母的最大公因数是（    ）。 A．3 B．6 C．2 【答案】B 【分析】两个数互质时，最大公因数是1；两个数为倍数关系时最大公因数是较小的数；两个数是一般关系时，先把每个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。 【详解】18＝2×3×3 30＝2×3×5 18和30的最大公因数是2×3＝6，所以的分子和分母的最大公因数是6。 故答案为：B 11．学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 【答案】A 【分析】要将两根绳子截成等长且无剩余的跳绳，最长跳绳长度是两根绳子长度的最大公因数；利用分解质因数法求出最大公因数，再通过每根绳子长度除以最大公因数，得到各自的段数，相加即为总段数。 【详解】求最长跳绳长度（最大公因数）： 分解质因数：，，两者的公共质因数是2，因此最长跳绳长度是2m。 计算总段数：（根），（根）， 总段数：（根） 截成的跳绳最长是2m，此时一共能截成12根。 故答案为：A 12．某社区组织居民自愿参加公益劳动，其中A小区有42人报名参加，B小区有48人报名参加。如果把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数都相同，每个小组最多有（    ）人。 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数相同，求每组的人数就是求两个小区报名的居民的公因数，因为求的是每组最多有多少人，所以就是求两个小区报名的居民的最大公因数，利用分解质因数的方法求解即可。 【详解】 所以48和42的最大公因数是 所以每个小组最多有6人。 故答案为：C 三、计算题 13．求出下列每组数的最大公因数。 45和60       17和51       24和36 【答案】15；17；12 【分析】我们可以利用质因数分解法来求出两个数的最大公因数：每个数分别分解质因数，然后找出相同的质因数，最后将这些相同的质因数相乘得到最大公因数。 【详解】（1）45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 所以，45和60的最大公因数为：3×5＝15； （2）17＝1×17 51＝3×17 所以，17和51的最大公因数为：17； （3）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以，24和36的最大公因数为：2×2×3＝12。 四、解答题 14．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 【答案】7厘米；9段 【分析】因每小段最长长度是28和35的最大公因数，先分解质因数得28＝2×2×7、35＝5×7，二者共同质因数为7，故每小段最长7厘米；再分别计算28÷7＝4段、35÷7＝5段，总段数为4＋5＝9段，因此每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 【详解】28＝2×2×7，35＝5×7，最大公因数是7。 28厘米铁丝：28÷7＝4（段） 35厘米铁丝：35÷7＝5（段） 总段数：4＋5＝9（段） 答：每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $