第3.4讲 公倍数和最小公倍数(导学案)五年级数学寒假自学课（青岛版）

第3.4讲 公倍数和最小公倍数 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1. 学习目标 （1）理解公倍数和最小公倍数的意义，能找出两个数的公倍数和最小公倍数。 （2）掌握求两个数最小公倍数的方法（列举法、短除法），能正确计算最小公倍数。 （3）能运用公倍数和最小公倍数的知识解决生活中的实际问题（如"周期重合""物品分配"问题）。 （4）通过对比"倍数"与"公倍数"的关系，培养数感和抽象思维能力。 2. 重难点 重点 ：理解公倍数和最小公倍数的概念，掌握求最小公倍数的方法。 难点 ：运用最小公倍数解决"周期相遇""物品分配"等实际问题，理解"几个数公有的倍数中最小的一个"是核心。 模块二 预习引导 一、公倍数与最小公倍数的意义 1. 公倍数的定义 倍数 ：一个数的倍数是指这个数与非零自然数的乘积。 例如：4的倍数有4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … 公倍数 ：几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数。 例如：4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … 6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, … 4和6的公倍数：12, 24, 36, … 2. 最小公倍数的定义 最小公倍数 ：公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，记作a, b。 例如：4和6的公倍数中最小的是12，故4, 6 = 12。 二、求最小公倍数的方法 1. 列举法（适用于较小数） 步骤 ：分别列出两个数的倍数（至少写出5~10个）；找出公有的倍数；确定最小的公倍数。 例题 ：求8和12的最小公倍数 8的倍数：8, 16, 24, 32, 40, 48, … 12的倍数：12, 24, 36, 48, 60, … 公倍数：24, 48, … → 最小公倍数是24，即8, 12 = 24。 2. 短除法（高效通用） 步骤 ：用两个数公有的最小质数 作除数；除到商只有公因数1为止；把所有除数和商相乘 ，积就是最小公倍数。 例题 ：求18和27的最小公倍数 3 | 18 27 3 | 6 9 2 3 ← 商互质，停止 最小公倍数：3×3×2×3=54，即18, 27 = 54。 3. 特殊数的最小公倍数 互质数 ：公因数只有1的两个数，最小公倍数是它们的乘积。 例如：5和7（互质数），最小公倍数是5×7=35。 倍数关系 ：较大数是较小数的倍数时，较大数 是它们的最小公倍数。 例如：6和12（12是6的倍数），最小公倍数是12。 三、公倍数的应用 应用类型1：周期重合问题 例题 ：某公共汽车站，1路车每6分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，两路车同时发车后，至少过多少分钟再次同时发车？ 分析 ：两路车再次同时发车的时间是6和8的最小公倍数。 解答 ：6, 8 = 24，所以至少过24分钟再次同时发车。 应用类型2：物品分配问题 例题 ：一盒糖果，平均分给6个小朋友多3颗，平均分给8个小朋友也多3颗，这盒糖果最少有多少颗？ 分析 ：糖果总数减去3后，既是6的倍数，又是8的倍数，即6和8的公倍数。 解答 ：6, 8 = 24，所以糖果最少有24 + 3 = 27颗。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．找出下面各组数的最小公倍数，你发现了什么？ (1)2和6( )        5和15( )        12和3( ) (2)3和4( )        7和8( )         9和10( ) (3)发现：①当两个数的公因数只有1时，他们的最小公倍数是( )；②当两个数存在整数倍关系时，它们的最小公倍数是( )。 2．如果a÷b＝6，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。（a，b均为非0自然数） 3．求6和9的最小公倍数。 6的倍数：( )； 9的倍数：( )； 6和9的公倍数：( )； 6和9的最小公倍数：( )。 4．读教材43页例11，完成下面的问题。 能正好铺满的正方形，边长既是2的倍数，又是3的倍数，这样的数是2和3的( )，其中最小的是( )，然后依次是12，( )，24…。 5．用长10cm、宽8cm的小长方形拼成1个正方形（无重叠、无缝隙）。至少要用( )个这样的小长方形，拼成的正方形的面积最小是( )。 6．南宁5路和92路公交车的发车起点都是洪运公交车场。5路6分钟发一次车，92路8分钟发一次车。这两路公共汽车同时发车后，过( )分钟两路车第二次同时发车。 7．五年级参加夏令营的同学分组做游戏，无论10人一组，还是8人一组，都正好分完，参加这次夏令营的五年级同学至少有( )人。 二、选择题 8．有一批糖果，每盒装6颗或每盒装8颗都正好装完，这批糖果至少有多少颗？（    ） A．14颗 B．24颗 C．48颗 D．72颗 9．欢欢和乐乐同时从起点向同一方向跑，经过（    ）分后他们在起点第一次相遇。 A．15 B．18 C．20 D．21 10．学校运动会筹备组准备了212瓶矿泉水，后勤老师想将这些水平均分给各班级。如果想要每班分2瓶、3瓶或5瓶，都能正好分完。至少要拿走（    ）瓶水，才能没有剩余。 A．1 B．2 C．5 D．11 11．暑假宁宁每4天去一次游泳馆，红红每6天去一次游泳馆，7月5日她们同时去游泳馆，下一次两人同时去游泳馆是（    ）。 A．7月9日 B．7月11日 C．7月17日 D．7月29日 三、计算题 12．找出下面每组数的最小公倍数。 9和27　　8和9　 6和8 四、解答题 13．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 14．文具店购进了一些气球，气球数量在30个至50个之间。每2个扎成一束、每4个扎成一束或每5个扎成一束，都没有剩余。这些气球一共有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.4讲 公倍数和最小公倍数 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1. 学习目标 （1）理解公倍数和最小公倍数的意义，能找出两个数的公倍数和最小公倍数。 （2）掌握求两个数最小公倍数的方法（列举法、短除法），能正确计算最小公倍数。 （3）能运用公倍数和最小公倍数的知识解决生活中的实际问题（如"周期重合""物品分配"问题）。 （4）通过对比"倍数"与"公倍数"的关系，培养数感和抽象思维能力。 2. 重难点 重点 ：理解公倍数和最小公倍数的概念，掌握求最小公倍数的方法。 难点 ：运用最小公倍数解决"周期相遇""物品分配"等实际问题，理解"几个数公有的倍数中最小的一个"是核心。 模块二 预习引导 一、公倍数与最小公倍数的意义 1. 公倍数的定义 倍数 ：一个数的倍数是指这个数与非零自然数的乘积。 例如：4的倍数有4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … 公倍数 ：几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数。 例如：4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … 6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, … 4和6的公倍数：12, 24, 36, … 2. 最小公倍数的定义 最小公倍数 ：公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，记作a, b。 例如：4和6的公倍数中最小的是12，故4, 6 = 12。 二、求最小公倍数的方法 1. 列举法（适用于较小数） 步骤 ：分别列出两个数的倍数（至少写出5~10个）；找出公有的倍数；确定最小的公倍数。 例题 ：求8和12的最小公倍数 8的倍数：8, 16, 24, 32, 40, 48, … 12的倍数：12, 24, 36, 48, 60, … 公倍数：24, 48, … → 最小公倍数是24，即8, 12 = 24。 2. 短除法（高效通用） 步骤 ：用两个数公有的最小质数 作除数；除到商只有公因数1为止；把所有除数和商相乘 ，积就是最小公倍数。 例题 ：求18和27的最小公倍数 3 | 18 27 3 | 6 9 2 3 ← 商互质，停止 最小公倍数：3×3×2×3=54，即18, 27 = 54。 3. 特殊数的最小公倍数 互质数 ：公因数只有1的两个数，最小公倍数是它们的乘积。 例如：5和7（互质数），最小公倍数是5×7=35。 倍数关系 ：较大数是较小数的倍数时，较大数 是它们的最小公倍数。 例如：6和12（12是6的倍数），最小公倍数是12。 三、公倍数的应用 应用类型1：周期重合问题 例题 ：某公共汽车站，1路车每6分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，两路车同时发车后，至少过多少分钟再次同时发车？ 分析 ：两路车再次同时发车的时间是6和8的最小公倍数。 解答 ：6, 8 = 24，所以至少过24分钟再次同时发车。 应用类型2：物品分配问题 例题 ：一盒糖果，平均分给6个小朋友多3颗，平均分给8个小朋友也多3颗，这盒糖果最少有多少颗？ 分析 ：糖果总数减去3后，既是6的倍数，又是8的倍数，即6和8的公倍数。 解答 ：6, 8 = 24，所以糖果最少有24 + 3 = 27颗。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．找出下面各组数的最小公倍数，你发现了什么？ (1)2和6( )        5和15( )        12和3( ) (2)3和4( )        7和8( )         9和10( ) (3)发现：①当两个数的公因数只有1时，他们的最小公倍数是( )；②当两个数存在整数倍关系时，它们的最小公倍数是( )。 【答案】(1) 6 15 12 (2) 12 56 90 (3) 两个数的积 较大数 【分析】求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。通过计算可知，如果这两个数是倍数关系，则这两个数的最小公倍数是其中较大的数；如果这两个数互质，则这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。 【详解】（1）（1）6＝2×3 2和6的最小公倍数是2×3＝6 15＝3×5 5和15的最小公倍数是3×5＝15 12＝2×2×3 12和3的最小公倍数是2×2×3＝12 （2）4＝2×2 3和4的最小公倍数是3×2×2＝12 8＝2×2×2 7和8的最小公倍数是7×2×2×2＝56 9＝3×3 10＝2×5 9和10的最小公倍数是3×3×2×5＝90 （3）①通过（2）可知，当两个数的公因数只有1时，他们的最小公倍数是两个数的积； ②通过（1）可知，当两个数存在整数倍关系时，它们的最小公倍数是较大数。 2．如果a÷b＝6，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。（a，b均为非0自然数） 【答案】 b a 【分析】一个数是另外一个数的几倍，则最大公因数是小的那个数，最小公倍数是大的那个数。 【详解】a÷b＝6，a是b的6倍，a是大的数，b是小的数，则最大公因数是b，最小公倍数是a。 3．求6和9的最小公倍数。 6的倍数：( )； 9的倍数：( )； 6和9的公倍数：( )； 6和9的最小公倍数：( )。 【答案】 6、12、18、24、30、36、42、48、54… 9、18、27、36、45、54、63… 18、36、54… 18 【分析】先从小到大写出几个6和9的倍数，再找出其中相同的倍数，即公倍数。最后，从6和9的公倍数中，找出最小，即6和9的最小公倍数。 【详解】求6和9的最小公倍数。 6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54… 9的倍数：9、18、27、36、45、54、63… 6和9的公倍数：18、36、54… 6和9的最小公倍数：18 【点睛】本题考查了公倍数和最小公倍数，掌握列举法求最小公倍数是解题关键。 4．读教材43页例11，完成下面的问题。 能正好铺满的正方形，边长既是2的倍数，又是3的倍数，这样的数是2和3的( )，其中最小的是( )，然后依次是12，( )，24…。 【答案】 公倍数 6 18 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数；一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，再根据公倍数的意义：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 要铺满这个正方形，铺成的正方形可能有很多种，要使小长方形的长边铺满正方形的一条边长，则正方形的边长长度是小长方形长边的倍数；要使小长方形的短边铺满正方形的一条边长，则正方形的边长长度是小长方形的短边的倍数，据此解答。 【详解】2和3是互质数，2和3的最小公倍数是2×3＝6； 6的倍数有：6，12，18，24，…。 读教材43页例11，完成下面的问题。    能正好铺满的正方形，边长既是2的倍数，又是3的倍数，这样的数是2和3的公倍数，其中最小的是6，然后依次是12，18，24…。 【点睛】熟练掌握公倍数的意义是解答本题的关键。 5．用长10cm、宽8cm的小长方形拼成1个正方形（无重叠、无缝隙）。至少要用( )个这样的小长方形，拼成的正方形的面积最小是( )。 【答案】 20 1600 【分析】拼成正方形的边长需是小长方形长和宽的公倍数，即10和8的公倍数，最小正方形的边长为它们的最小公倍数。通过列举10和8的倍数，找出最小公倍数，即10的倍数：10、20、30、40、50、······；8的倍数：8、16、24、32、40、48、······；所以10和8的最小公倍数是40，即正方形边长为40cm。用正方形边长分别除以小长方形的长和宽，得到长和宽方向所需个数，再相乘可得总个数；最后正方形面积为边长乘边长，据此解答。 【详解】由分析可知，10和8的最小公倍数是40，即正方形边长为40cm。 长方向所需的个数：（个） 宽方向所需的个数：（个） 总个数：（个） 正方形的面积：（平方厘米） 用长10cm、宽8cm的小长方形拼成1个正方形（无重叠、无缝隙）。至少要用20个这样的小长方形，拼成的正方形的面积最小是1600cm²。 【点睛】找出小长方形的长和宽的最小公倍数即是正方形的边长，是解题的关键。 6．南宁5路和92路公交车的发车起点都是洪运公交车场。5路6分钟发一次车，92路8分钟发一次车。这两路公共汽车同时发车后，过( )分钟两路车第二次同时发车。 【答案】24 【分析】求两路车再次同时发车的时间间隔，就是求6和8的最小公倍数，先把6和8分解质因数后，把公有的相同质因数与独有质因数乘起来就是6和8的最小公倍数，即可解答。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24。 即这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 7．五年级参加夏令营的同学分组做游戏，无论10人一组，还是8人一组，都正好分完，参加这次夏令营的五年级同学至少有( )人。 【答案】40 【分析】根据题意可知：无论8人分一组还是10人分一组，都正好无剩余，所以参加夏令营的五年级同学人数一定是10和8的最小公倍数。根据求两个数的最小公倍数的方法：先将10和8分解质因数，再将全部公有的质因数和各自独立的质因数连乘，它们的积就是10和8的最小公倍数。据此解答。 【详解】10＝2×5 8＝2×2×2 所以10和8的最小公倍数是：2×2×2×5＝40 参加这次夏令营的五年级同学至少有40人。 二、选择题 8．有一批糖果，每盒装6颗或每盒装8颗都正好装完，这批糖果至少有多少颗？（    ） A．14颗 B．24颗 C．48颗 D．72颗 【答案】B 【分析】解答这道题需要熟知：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。根据“每盒装6颗或每盒装8颗都正好装完”，可以明确这批糖果的数量既是6的倍数，也是8的倍数，问题中的“至少”是需要找出这些倍数里最小的那一个。可以通过找出6的倍数和8的倍数，再从这些倍数中找出既是6的倍数又是8的倍数的数，确定最小的那一个，据此解答。 【详解】6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48…… 8的倍数：8、16、24、32、40、48、56…… 既是6的倍数，又是8的倍数：24、48…… 最小的是24，所以这批糖果至少有24颗。 故答案为：B 9．欢欢和乐乐同时从起点向同一方向跑，经过（    ）分后他们在起点第一次相遇。 A．15 B．18 C．20 D．21 【答案】A 【分析】欢欢和乐乐同时从起点出发，要想相遇，则第一次相遇时的分钟数应是5和3的最小公倍数，根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。 【详解】5和3是互质数，则5和3的最小公倍数是5×3＝15；经过15分后他们在起点第一次相遇。 欢欢和乐乐同时从起点向同一方向跑，经过15分后他们在起点第一次相遇。 故答案为：A 10．学校运动会筹备组准备了212瓶矿泉水，后勤老师想将这些水平均分给各班级。如果想要每班分2瓶、3瓶或5瓶，都能正好分完。至少要拿走（    ）瓶水，才能没有剩余。 A．1 B．2 C．5 D．11 【答案】B 【分析】要使212瓶水平均分给班级时，每班分2、3、5瓶都能正好分完，需先找2、3、5的最小公倍数，2、3、5互质，最小公倍数是2×3×5＝30，即拿走后剩余的瓶数需是30的倍数。再找小于212的最大30的倍数，因为30×7＝210，然后用212减210即可得出至少要拿走矿泉水的数量。 【详解】2×3×5＝30，即拿走后剩余的瓶数需是30的倍数。 30×7＝210（瓶） 212－210＝2（瓶） 至少要拿走2瓶水，才能没有剩余。 故答案为：B 11．暑假宁宁每4天去一次游泳馆，红红每6天去一次游泳馆，7月5日她们同时去游泳馆，下一次两人同时去游泳馆是（    ）。 A．7月9日 B．7月11日 C．7月17日 D．7月29日 【答案】C 【分析】宁宁每4天去一次游泳馆，红红每6天去一次游泳馆，所以他们同时去游泳相隔的时间就是4和6的最小公倍数。对4和6分解质因数：4＝2×2；6＝2×3。可得4和6的最小公倍数为2×2×3＝12，即两人每隔12天会同时去一次游泳馆。已知7月5日她们同时去了游泳馆，再过12天会再次同时去，7月5日＋12日＝7月17日，所以下一次两人同时去游泳馆是7月17日。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12，即她们每隔12天会同时去一次游泳馆。 7月5日＋12日＝7月17日 所以下一次两人同时去游泳馆是7月17日。 故答案为：C 三、计算题 12．找出下面每组数的最小公倍数。 9和27　　8和9　 6和8 【答案】27；72；24 【分析】（1）两个数互为质数关系，这两个数的最小公倍数为这两个数的乘积； （2）存在倍数关系的两个数，较大数是它们的最小公倍数； （3）求两个数的最小公倍数，首先把这两个数分别分解质因数，它们公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。据此解答。 【详解】9和27 9和27是倍数关系，最小公倍数是27； 8和9 8和9是互质数，最小公倍数是8×9＝72； 6和8 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24。 四、解答题 13．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 【答案】57个 【分析】由题可知，4个4个拿多1个，即苹果数除以4余1；5个5个拿多2个，即除以5余2；6个6个拿多3个，即除以6余3。观察可知，若苹果数增加3个，则分别能被4、5、6整除，即苹果数是4、5、6的公倍数减3。据此解答。 【详解】  4的倍数有：4，16，20，24，28，32，36，40，44，48，60，64 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66 4，5，6的最小公倍数是60。 （个） 答：这一箱苹果至少有57个。 14．文具店购进了一些气球，气球数量在30个至50个之间。每2个扎成一束、每4个扎成一束或每5个扎成一束，都没有剩余。这些气球一共有多少个？ 【答案】40个 【分析】因为每2个，4个，5个扎成一束都没有剩余，所以气球数量是2、4、5的最小公倍数。先通过列举法找出这三个数的最小公倍数，即2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、······；4的倍数有：4、8、12、16、20、24、······；5的倍数有：5、10、15、20、25、······；所以2、4、5的最小公倍数是20。又已知气球数量在30个至50个之间，且是20的倍数，所以需要计算20的倍数，看哪个结果在30到50之间，即（个），20小于30，不符合；（个），40在30与50之间，符合要求；（个），60大于50，不符合要求；据此解答。 【详解】由分析可知，因为2，4，5的最小公倍数是20，所以2，4，5的公倍数都是20的倍数。30至50之间的数只有40符合条件。 答：这些气球一共有40个。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $