精品解析：安徽省宿州市第十一中学教育集团2025-2026学年上学期九年级第三次质量检测数学 试卷

宿州市第十一中学教育集团九年级质量检测 数学（北师大版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的 1. 如图，是收藏于中国国家博物馆的四羊方尊立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图完全相同 B. 主视图与俯视图完全相同 C. 左视图与俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案． 【详解】解：该立体图形从左边看和正面看的图形是一样的，但与从上面看到的图形是不一样的，故主视图与左视图完全相同，不与俯视图相同， 故选：A． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求分式拆分为差的形式，代入已知比值计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：A． 3. 若，则反比例函数的图象分布在（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据，得到，进而得到反比例函数的图象经过的象限，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限； 故选：D． 4. 若与相似，且对应中线的比为，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵与相似，且对应中线的比为， ∴相似比为， ∴与的面积比是， 故选：D． 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作于点，由可求出，由勾股定理求出，由可求出，在中由勾股定理得． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，，，，点为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，首先根据，可得和的面积相等，然后根据，可得和的面积相等；最后根据，可得和的面积相等；所以空白部分和阴影部分的面积相等，因此阴影部分面积和长方形的面积的比是，据此解答即可． 【详解】解：连接，如图所示． ∵， ∴和的面积相等； ∵， ∴和的面积相等； ∵， ∴和的面积相等； ∴空白部分和阴影部分的面积相等， ∴阴影部分面积和矩形的面积的比是． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．过作交延长线于，计算出、的长，根据余弦计算方法计算即可． 【详解】解：过作交延长线于， ，，， ， ，， ， ， 故选：． 8. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据勾股定理可得，， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，求的正切值变为求的正切值． 9. 如图，点是正方形的边的中点，连接并延长交对角线于点，交的延长线于点，过点作于点，下列结论中不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. D. 若正方形的边长为6，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到，得到是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，证明，得到，得到，勾股定理求出，平行线分线段成比例，得到，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形；故A选项正确； ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴；故B选项正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故C选项错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故选D正确； 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似是解题的关键． 10. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作，延长交于点，分别证明和，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】如图，过点作，延长交于点， 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形，灵活运用各边之间的关系是解题的关键．作高将斜三角形 拆分为两个直角三角形，利用和、的条件，结合特殊角三角函数值分别求出，最终相加得． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，且，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得，结合代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 则 故答案为：． 13. 在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，角平分线的性质，得到，等积法求出，的长，证明，得到，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分交于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为___________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）待定系数法求出的值即可； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，根据矩形的性质，结合反比例函数图象上的点的特征，得到，，，得到，折叠得到 ，进而推出，证明，求出，，进而得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）点在直线上， ； 故答案为：3； （2）由（1）得， ∵矩形， ∴，，，， ∵轴， ∴，轴， ∵， ∴点的横坐标为1，点纵坐标为3， 函数的图象经过点，， ，， ， ， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，， ， 如图，延长交轴于点，延长交轴于点， 轴， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，由图知，， ， 解得． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，实数的运算，原式利用特殊角三角函数值以及二次根式的性质求解即可． 【详解】解： ． 16. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可． 【详解】解：， 可设，，， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例是解答本题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由可得，由平行线分线段成比例定理得，代入可得结论． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ， ． 18. 如图，在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点．（格点是网格线的交点）． （1）将向右平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； （3）若的面积为，则的面积为_________（用含的式子表示） 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，位似变换和相似三角形的性质，解题的关键是掌握图形平移的性质与作图方法． （1）根据平移的性质性质找到A、B、C三点的对应点，再连接成三角形即可； （2）找出的对应点，再连接成即可； （3）运用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由平移的性质可得， ∴， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴与的面积比为 又的面积为， ∴的面积为 故答案为： ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 马拉松是一项考验参与者意志力和生理极限的高强度运动项目，某次马拉松赛事共设置了三项：A．“马拉松”，B．“半程马拉松”，C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． （1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为____________； （2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，列表法或树状图法，掌握列表法和树状图法列举出所有等可能的结果的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求出即可； （2）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：从三个项目组中任取1个，小明被分配到“健康跑”项目组的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示， 共有9个等可能的结果，小华和小明被分配到不同项目组的结果有6个， 小华和小明被分配到不同项目组的概率为． 20. 郑州二七罢工纪念塔位于郑州市中心二七广场，是郑州城市的标志性建筑．纪念塔是为纪念1923年京汉铁路工人运动而修建的纪念性建筑物，是郑州铁路工人领袖汪胜友、司文德的牺牲地．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量二七纪念塔高度的实践活动．为二七纪念塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移20.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求二七纪念塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】二七纪念塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设平移后得到，延长交于点， 则：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：二七纪念塔的高度约为米． 六、（本题满分12分） 21. 反比例函数的图象与一次函数图象交于，两点． （1）求k与b的值； （2）如图，直线交x轴于点C，交y轴于点D，若E为的中点，求的面积； （3）请直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解题的关键，用了数形结合思想． （1）把点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）根据一次函数的解析式，分别求出三点，再由中点坐标公式，求出点坐标，由求值即可； （3）根据图象，得出反比例函数图象位于一次函数图象上方部分的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数中， 得， 将代入一次函数得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，和， 联立得， 整理得， 解得，， ∴， 当时，一次函数， 当时，得， 解得， ∴， ∴，即， ∴ ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，反比例函数的图象与一次函数图象交于和两点， 当反比例函数值大于一次函数值时，即反比例函数图象位于一次函数图象上方， 此时或． 七、（本题满分12分） 22. 在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑——藏经楼．这座于世纪年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一处标志性景观．某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表： 课题 测量藏经楼的高度 测量方案 活动小组在距坡底C处5m的E处测得藏经楼顶A的仰角为，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为．点A，B，C，E都在同一平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 参考数据 CE的坡度，，，． …… 请你帮忙求出藏经楼的高度．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由CE的坡度和长度，利用勾股定理可求出长度，设，在和中，利用和，表示出，列方程求解即可． 【详解】解：过点E作于点G，作于点F． 由题意可得，，， 则四边形是矩形． ∴，． ∵的坡度， ∴设，， ∵在中，， ∴，即， 解得（负值舍去）． ∴，． 设． ∵在中，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵在中，，， 即， ∴． 解得． 答：藏经楼的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，矩形的判定，坡比，仰角俯角，掌握相关知识是解决问题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 九年级16班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究： （一）探究过程 （1）如图①，在中，平分交于点D，该同学得出． 如图②，该同学给出如下证明过程： 方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴________① ∵平分 ∴ ∴ ∴________② ∴ 方法二： 如图③过点D作于点N，于点M，过点B作于点E． ∵平分，且， ∴________③ ∴________④ 又∵ ∴ 请完成填空：①________；②________；③________；④________； （二）内化迁移 （2）如图④，点D为的边延长线上一点，连接，M为边延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明； （三）问题解决 （3）如图⑤，在矩形中，，，E为边上一点，G为延长线上一点．Q为矩形内部一动点，连接并延长交于点H，连接，若，平分交于点F，，当时，连接、，求的最小值． 【答案】（1）①，②，③，④； （2）， 证明：如图①， 作，交于H， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， 即平分； 证法二：， 理由如下，如图②， 过点D作于点E，于点F， 过点B作于点G， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴ 即平分； （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：过点A作，交延长线于点E．证明，得到，再证明，即可证明结论成立； 方法二：过点D作于点N，于点M，过点B作于点E．利用三角形面积公式即可证明结论成立； （2）对照（1）的方法，即可证明； （3）连接，，求得，由（2）的结论求得平分，再，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴ ∴① ∵平分 ∴ ∴ ∴② ∴； 方法二： 如图③过点D作于点N，于点M，过点B作于点E． ∵平分，且， ∴，③ ∴④ 又∵ ∴； 故答案为：①，②，③，④； （2）略 （3）解：如图③， 连接，， ∵四边形是矩形，且，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 由（2）得 平分， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∵， ∴当B、Q、D三点共线时，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，解决问题的关键是利用证明的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿州市第十一中学教育集团九年级质量检测 数学（北师大版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的 1. 如图，是收藏于中国国家博物馆的四羊方尊立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图完全相同 B. 主视图与俯视图完全相同 C. 左视图与俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则反比例函数的图象分布在（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 4. 若与相似，且对应中线的比为，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，，点为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是正方形的边的中点，连接并延长交对角线于点，交的延长线于点，过点作于点，下列结论中不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. D. 若正方形的边长为6，则 10. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，，则________． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，且，若，则的长为________． 13. 在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知，求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 18. 如图，在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点．（格点是网格线的交点）． （1）将向右平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； （3）若的面积为，则的面积为_________（用含的式子表示） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 马拉松是一项考验参与者意志力和生理极限的高强度运动项目，某次马拉松赛事共设置了三项：A．“马拉松”，B．“半程马拉松”，C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． （1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为____________； （2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率． 20. 郑州二七罢工纪念塔位于郑州市中心二七广场，是郑州城市的标志性建筑．纪念塔是为纪念1923年京汉铁路工人运动而修建的纪念性建筑物，是郑州铁路工人领袖汪胜友、司文德的牺牲地．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量二七纪念塔高度的实践活动．为二七纪念塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移20.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求二七纪念塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 六、（本题满分12分） 21. 反比例函数的图象与一次函数图象交于，两点． （1）求k与b的值； （2）如图，直线交x轴于点C，交y轴于点D，若E为的中点，求的面积； （3）请直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围． 七、（本题满分12分） 22. 在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑——藏经楼．这座于世纪年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一处标志性景观．某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表： 课题 测量藏经楼的高度 测量方案 活动小组在距坡底C处5m的E处测得藏经楼顶A的仰角为，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为．点A，B，C，E都在同一平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 参考数据 CE的坡度，，，． …… 请你帮忙求出藏经楼的高度．（结果精确到） 八、（本题满分14分） 23. 九年级16班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究： （一）探究过程 （1）如图①，在中，平分交于点D，该同学得出． 如图②，该同学给出如下证明过程： 方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴________① ∵平分 ∴ ∴ ∴________② ∴ 方法二： 如图③过点D作于点N，于点M，过点B作于点E． ∵平分，且， ∴________③ ∴________④ 又∵ ∴ 请完成填空：①________；②________；③________；④________； （二）内化迁移 （2）如图④，点D为的边延长线上一点，连接，M为边延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明； （三）问题解决 （3）如图⑤，在矩形中，，，E为边上一点，G为延长线上一点．Q为矩形内部一动点，连接并延长交于点H，连接，若，平分交于点F，，当时，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $