寒假预习02整式乘法预习闯关必备讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

寒假预习02整式乘法预习闯关必备讲义(1) 1 预习目标 1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，会准确计 算。 2.理解平方差公式并会运用。 3.体会转化思想，养成严谨计算习惯。 预习内容概览 预习必备 1.单项式乘单项式 2.单项式乘多项式 知识点梳理 3.多项式乘多项式 4.易错点警示 1.单项式乘单项式的乘法运算 2.单项式乘多项式的运算及求值 常考题型 3单项式乘多项式的实际应用 4.多项式乘多项式的乘法运算 精讲精炼 5.(x+p).(X+q)型多项式的乘法法则 6.多项式乘多项式的化简与求值 7.由多项式乘积不含某项确定字母系数 8.多项式乘法在图形面积计算中 的应用 9.多项式乘法中的规律性问题 10.整式乘法的混合运算 强化巩固 (16题) 题型通关 知识点梳理 【知识点01.单项式乘单项式】 1.核心法则： (1)系数相乘：取各单项式系数的积作为结果的系数。 (2)同底数幂相乘：底数不变，指数相加（如x2.x3-x2+3=x5)。 (3)单独字母：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接作为积的因式。 2.公式示例： (2x2y).(3xy3)=(2×3).(x2.x).(yy3)=6x3y4 试卷第1页，共3页 3.易错点： 【知识点O2.单项式乘多项式】 1.核心法则： 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：m(a+b+c)ma+mb+mc(m为单项式，a+b+c为多项式)。 示例： 2x(3x2-4x+5)=2x.3x2+2x·(-4x)+2x.5=6x3-8x2+10x 2.关键步骤： (1)分配律应用：确保单项式与多项式的每一项相乘； (2)符号注意：多项式中含负号的项需保留符号（如-4x乘后为-8x2) 【知识点03.多项式乘多项式】 1.核心法则： 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：(a+b)(m+n)=amtan+bm+bn。 示例： (x+2)(x-3)=x·x+x·(-3)+2·x+2.(-3)=x2-3x+2x-6=x2-X-6 2.关键步骤 (1)逐项相乘：避免漏乘（如(a+b)(c+d+e)需乘6次）； (2)合并同类项：最后整理结果（如上例中-3x+2x=-x)。 形式：(a+b)(a-b)=a2-b2(两数和乘两数差，等于平方差)。 示例：(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9。 【知识点04.易错点警示】 一.单项式乘单项式 1.系数符号错误：多个负系数相乘时，符号判断失误。 警示：负负得正，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 2.同底数幂相乘法则误用：指数相乘而非相加。 警示：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 3.遗漏单独字母：只在一个单项式中出现的字母，未作为积的因式。 试卷第1页，共3页 警示：单独字母需连同其指数保留在结果中。 4.指数为1的字母遗漏：忽略单个字母的指数1。 警示：单个字母（如x)的指数为1，计算时需明确写出。 二.单项式乘多项式 1.分配律应用不完整：单项式未与多项式的每一项相乘。 警示：必须用单项式去乘多项式的每一项，再相加： 2.符号处理错误：多项式中含负号的项，相乘后符号出错。 警示：注意多项式中各项的符号，负号需保留并参与运算。 三多项式乘多项式 1.漏乘项：未将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘。 警示：确保“逐项相乘”，避免漏乘（如(a+b)(c+d)需乘4次）。 2.平方差公式误用：结构不符时强行套用公式 警示：平方差公式仅适用于两数和与两数差的积。 3.合并同类项错误：同类项系数计算失误或遗漏。 警示：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变。 常考题型精讲精练 【题型1.单项式乘单项式的乘法运算】 【典例】计算3x子xy的结果是() A. B.-4xy C.-4x6y2 D.xy2 【跟踪专练1】定义一种新运算：a*b=a+b)(a-b).例如：3*2=3+2)(3-2)=5，则 x+1*x-1的结果是」 【跟踪专练2】下列计算正确的是() A.2a'b.5ab=7a'b B.a3.a4=a2 c.（-a2'=-a D.ab-(-4a'b)'=16a'b 【题型2.单项式乘单项式的运算及求值】 【典例】计算：aa-3)-a2= 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】下列运算正确的是() A.m2.m3=m B.m(-m+2）=-m2+2m C.x2y2÷xy)=y D.m2+m3=2m9 【跟踪专练2】己知mn2=-2,则m-n-mn3+m2n= 【题型3.单项式乘多项式的实际应用】 【典例】数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发 现一道题：-3xy4y-2x-1=-12xy2+口+3xy,“”的地方被墨水弄污了，则”内应填 写的式子是() A.6x2y B.-6x2y C.-3y D.3xy 【跟踪专练1】下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 2a+b 2a-b 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD与CGEF是两个边长分别为m,n的正方形，则阴影部 分的面积可以表示为() B.+ 1 A.n2 C. D. 1 【题型4.多项式乘多项式的乘法运算】 【典例】计算(a+2)(a-3)的结果是 【跟踪专练1】若P=(x-2)x-3),2=(x-1)x-4),则P与Q的大小关系是() 试卷第1页，共3页 A.P>O B.P<O C. D.由x的取值而定 【跟踪专练2】当mx+n=0或px+9=0时，多项式 A=mx+n)(px+q)=mpx2+mq+np)x+nq的值为0，则把此时x的值称为多项式A的零点. 若多项式P=ax2-a-4)x+a-5=(x-2)(mx+n,则多项式P的零点是」 【题型5.(x+p).(x+q)型多项式的乘法法则】 【典例】若x+3(x-2=x2+k红-6，则k的值为() A.-5 B.5 C.-1 D.1 【跟踪专练1】小明在计算(x+3)(x-☐时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告 诉他结果中的一次项系数为-4，则被染黑的常数为一 【跟踪专练2】若M=x-2)(x-3),N=x-1(x-4),则M与N的大小关系为() A.M<N B.M=N C.M>N D.由x的取值而定 【题型6.多项式乘多项式的化简与求值】 【典例】当m=1,n=2时，(m+n)(m2-mn+n2)的值为」 【跟踪专练1】若x+y=3,xy=1,则代数式3-x)(3-y)的值() A.-1 B.1 C.2 D.3 【跟踪专练2】已知9=25=15，那么代数式(x-1)y-1)+xy+3的值是_ 【题型7.由多项式乘积不含某项确定字母系数】 【典例】若(2x+m)(x-3)的展开式中不含x项，则实数m的值为() A.-6 B.0 C.3 D.6 【跟踪专练1】若(x-a)(x2-2x+b)的结果不含关于x的一次项和二次项，则a+b的值为 【跟踪专练2】计算-4x2+x)mx2+3x2+2)的结果不含x4项，那么m的值为() A.-12 B.-3 C.4 D.12 【题型8.多项式乘法在图形面积计算中的应用】 【典例】如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为(3a-b)米，宽为a+2b)米的长方形草 试卷第1页，共3页 坪上修建两条宽为b米的通道，则草坪的面积是 -3a-b a+2b 6 【跟踪专练1】下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是() ←一X 6 4 A.x+6)x+4)-5x B.xx+4)+24 C.4x+6+2x2 D.x2+24 【跟踪专练2】有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为(2a+3b),宽为 (a+b)的矩形，则需要3类卡片共张 2a+3b a+b b 【题型9.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（α+b)”(n为 非负整数)的展开式的项数及各项系数的规律： 1+ 11e 121 (a+b)°=1 1331 14641 15101051+ (a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 试卷第1页，共3页 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 则(a+b)的展开式中所有项的系数和是() A.64 B.128 C.256 D.512 【跟踪专练1】计算：①(a-1)(a+1)=a2-1; ②(a-1)a2+a+l=a3-1: ③(a-1)(a3+a2+a+1=a4-1: ④(a-1a+a3+a2+a+l=a5-1: 那么(a-1a+a8+a+a6+a3+a+a3+a2+a+1= 【跟踪专练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的杨辉三角”就是其中 的一例.如图2，某同学发现杨辉三角给出了(a+b)(n为正整数)的展开式（按a的次数 由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应 (a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应着 (a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3展开式中各项的系数等等. …(a十b) )三)（三) 今四分四 .....(a+b)3 图1 图2 则(a+b)?展开式中的第三项是() A.21ab2 B.21a2b5 C.35a'b D.35a'b 【题型10.整式乘法的混合运算】 【典例】若a2-a-3=0,则(3-a)(2+a)的值为 【跟踪专练1】三个连续偶数，若中间一个数为，则它们的积是() A.6n3-6n B.4n3-4n C.n'-4n D.n3-n 试卷第1页，共3页 a=ad-bc,则当a2+2a-3=0时， a a+3 【跟踪专练2】若规定 c d -aa+2 的值为 强化巩固通关 1.下列选项中正确的是(). A.-2(-2y+x-1=4y-2x+1 B.单项式5y的次数是3 C.5是单项式 D.多项式-5x2y3-2x+1的一次项系数为2 2.若一个三角形的底边为(3a+2b),底边上的高为9a2-6ab+4b2),则面积为 3.一个多项式4x3y-M因式分解得到的结果是4xyx2-y2+xy),则M表示的式子是 4.已知单项式6amb*与-4a2m-b-的积与7ab是同类项，则m的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若单项式2mn和单项式-16的积与20mn是同类项，则a+6的值为（） A.10 B.3 C.5 D.7 6.若式子(mx+2)6x2+3x+1)化简后不含x的二次项，则m的值为」 7.若(x+p)(x+q)=x2+mx+36,p,9为正整数，则m的最大值与最小值的差为 a b a b 8.若规定符号 的意义是： =ad-bc,则当m3-7m-3=0时， 2m-3 的 c d 1-2m m-2 值为 9.矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸 片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S；按照图②放置，矩形纸片 没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S,·按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖 的部分的面积为S,己知S,-S,=4,S2-S?=16.设AD-AB=m,下列值确定的是(). 试卷第1页，共3页 ① ② ③ A.m B.mb C.m a D.a+b 10.有依次排列的2个整式：a+3,a,对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边 的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：α+3,3，a,这称为第 一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整 式串；以此类推.通过实际操作，有同学得出了下列结论： (1)第二次操作后整式串为：a+3,a,3,3+a,a: (2)第二次操作后的整式串中，当a≥3时，所有整式的积不大于0； (3)第四次操作后整式串中共有15个整式： (4)第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为2a+6078; 四个结论正确的有（)个. A.1 B.2 C.3 D.4 11.计算：7a2-2a2+a-(-3a3 12.先化简后求值：(a+2b)(a+b)-3a(a+b),其中a=l,b=-1. 13.(1)若x2+nx+3x2-3x的结果中不含2项，求n的值； (2)试说明多项式xx2+x-3-x2(x-1)-2(x-1(2x+1)+x(2x+1)的值与x的取值无关. 14.【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值 无关，求a的值 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的 取值无关，所以含x项的系数为0. 具体解题过程是：原式=(a+3)x-6y+5,:代数式的值与x的取值无关，“，解 a=-3 【理解应用】 试卷第1页，共3页 (1)若关于x的代数式mx-6x+5的值与x的取值无关，则m值为_ (2)己知A=(2x+1(x-2),B=x(m-x),且A+2B的值与x的取值无关，求m的值. 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形.设右上角的面积为S,左下角的面积为 S,当AB的长变化时，S,-S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系. B S S2 图1 图2 15.观察下列各式： ①(x+2)(x+3)=x2+5x+6; ②(x+2)(x-3)=x2-x-6; ③(x-2)(x+3)=x2+x-6; ④(x-2)(x-3)=x2-5x+6. 请回答下列问题： (1)总结公式：(x+a)(x+b)=x2+x+ab; (②)已知a,b,m均为整数，且(x+a)(x+b)=x2+mx+5,求m的值， 16.对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的 小华从不同的方向来思考这个问题」 (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过 计算得到对应长方形的面积：5×5=25,6×4=24,7×3=21,8×2=16,9×1=9. 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足 关系时，长方形的面积最大.请你利 用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论 (②)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 己知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x,则相邻一边的长是(10-x). 试卷第1页，共3页 寒假预习02整式乘法预习闯关必备讲义（1） 1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，会准确计算。 2.理解平方差公式并会运用。 3.体会转化思想，养成严谨计算习惯。 预习必备 知识点梳理 1.单项式乘单项式 2.单项式乘多项式 3.多项式乘多项式 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.单项式乘单项式的乘法运算 2.单项式乘多项式的运算及求值 3.单项式乘多项式的实际应用 4.多项式乘多项式的乘法运算 5.(x+p).(x+q)型多项式的乘法法则 6.多项式乘多项式的化简与求值 7.由多项式乘积不含某项确定字母系数 8.多项式乘法在图形面积计算中的应用 9.多项式乘法中的规律性问题 10.整式乘法的混合运算 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.单项式乘单项式】 1.核心法则： (1)系数相乘：取各单项式系数的积作为结果的系数。 (2)同底数幂相乘：底数不变，指数相加（如x2⋅x3=x2+3=x5）。 (3)单独字母：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接作为积的因式。 2.公式示例： (2x2y)⋅(3xy3)=(2×3)⋅(x2⋅x)⋅(y⋅y3)=6x3y4 3.易错点： (1)系数符号处理（如负号相乘）； (2)指数为 1 的字母易遗漏（如x=x1）。 【知识点02.单项式乘多项式】 1.核心法则： 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a+b+c为多项式）。 示例： 2x(3x2−4x+5)=2x⋅3x2+2x⋅(−4x)+2x⋅5=6x3−8x2+10x 2.关键步骤： (1)分配律应用：确保单项式与多项式的每一项相乘； (2)符号注意：多项式中含负号的项需保留符号（如−4x乘后为−8x2） 【知识点03.多项式乘多项式】 1.核心法则： 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 示例： (x+2)(x−3)=x⋅x+x⋅(−3)+2⋅x+2⋅(−3)=x2−3x+2x−6=x2−x−6 2.关键步骤： (1)逐项相乘：避免漏乘（如 (a+b)(c+d+e) 需乘 6 次）； (2)合并同类项：最后整理结果（如上例中 −3x+2x=−x）。 特殊公式（平方差公式）： 形式：(a+b)(a−b)=a2−b2（两数和乘两数差，等于平方差）。 示例：(2x+3)(2x−3)=(2x)2−32=4x2−9。 【知识点04.易错点警示】 一.单项式乘单项式 1.系数符号错误：多个负系数相乘时，符号判断失误。 警示：负负得正，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 2.同底数幂相乘法则误用：指数相乘而非相加。 警示：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 3.遗漏单独字母：只在一个单项式中出现的字母，未作为积的因式。 警示：单独字母需连同其指数保留在结果中。 4.指数为 1 的字母遗漏：忽略单个字母的指数 1。 警示：单个字母（如x）的指数为 1，计算时需明确写出。 二.单项式乘多项式 1.分配律应用不完整：单项式未与多项式的每一项相乘。 警示：必须用单项式去乘多项式的每一项，再相加。 2.符号处理错误：多项式中含负号的项，相乘后符号出错。 警示：注意多项式中各项的符号，负号需保留并参与运算。 三.多项式乘多项式 1.漏乘项：未将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘。 警示：确保 “逐项相乘”，避免漏乘（如(a+b)(c+d)需乘 4 次）。 2.平方差公式误用：结构不符时强行套用公式。 警示：平方差公式仅适用于两数和与两数差的积。 3.合并同类项错误：同类项系数计算失误或遗漏。 警示：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变。 【题型1.单项式乘单项式的乘法运算】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【跟踪专练2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂和积的乘方运算等知识，通过指数运算法则逐一验证各选项即可得出答案． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型2.单项式乘单项式的运算及求值】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、单项式乘多项式、整式的除法和合并同类项等知识．需要根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选B． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值． 将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将进行代入计算． 【详解】解： 由已知，得， ， 代入上式： 故答案为：． 【题型3.单项式乘多项式的实际应用】 【典例】数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“”的地方被墨水弄污了，则“”内应填写的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，根据运算法则，将单项式分别乘以多项式中的每一项，再合并结果即可确定答案，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故“”内应填写的式子是， 故选：A． 【跟踪专练1】下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用，将图形分割成两部分，然后列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 【题型4.多项式乘多项式的乘法运算】 【典例】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，根据多项式的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 【跟踪专练1】若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 【跟踪专练2】当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式运算法则． 先利用多项式乘以多项式运算法则将其展开，通过比较多项式的两种形式系数，建立方程求解参数，进而得到零点． 【详解】解： 比较系数得：，，， ∴ 代入，则， ∴； ∴ 解得 ∴ ∴或， 解得， ∴， 解得 故多项式的零点为2或3， 故答案为：2或3． 【题型5.(x+p).(x+q)型多项式的乘法法则】 【典例】若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开左边的多项式乘积，与右边的二次多项式比较对应项的系数，从而确定的值，即可求解． 【详解】解： ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 【跟踪专练2】若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 【题型6.多项式乘多项式的化简与求值】 【典例】当，时，的值为 . 【答案】9 【解析】略 【跟踪专练1】若，，则代数式的值（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟悉多项式乘法法则是解题关键．将展开并整理为含，的形式，再利用整体代入计算即可． 【详解】解： 原式 故选B． 【跟踪专练2】已知，那么代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴原式4． 故答案为：4． 【题型7.由多项式乘积不含某项确定字母系数】 【典例】若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 【跟踪专练1】若的结果不含关于x的一次项和二次项，则的值为 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先将原式展开，然后令含关于的一次项与二次项的系数为0即可求出答案． 【详解】解： ∵的结果不含关于的一次项和二次项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算是关键．先合并多项式中的同类项，再求出展开后结果含的项，令项的系数为零，求出m的值即可． 【详解】解：， 展开后结果含的项为和， 根据题意，结果不含项，故， ． 故选：B． 【题型8.多项式乘法在图形面积计算中的应用】 【典例】如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道，则草坪的面积是 ． 【答案】平方米 【分析】本题考查多项式的乘法运算，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键，将两条路平移后，可以用代数式表示出剩余草坪的面积． 【详解】解：由题意可得： （平方米）； 故答案为：平方米． 【跟踪专练1】下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式运算和图形面积的割补法，掌握阴影面积＝整体面积-空白面积是解题关键． 将整体面积和空白面积分别表示出来然后相减即可求解． 【详解】解：整体面积，空白部分面积， 阴影部分面积， A．，错误； B．，正确； C．，错误； D．，错误． 故选：B． 【跟踪专练2】有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共 张 【答案】10 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 【题型9.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律： 则的展开式中所有项的系数和是（ ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探索． 根据已知总结规律，可得所有项的系数和是，即可得的展开式中所有项的系数和． 【详解】解：，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ∴所有项的系数和是， ∴的展开式中所有项的系数和是． 故选：B． 【跟踪专练1】计算：①； ②； ③； ④； 那么 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据所给的四个式子可得规律，据此可得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应着展开式中各项的系数等等． 则展开式中的第三项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，熟知“杨辉三角”中每行数与展开式中各项系数之间的对应关系是解题的关键．根据所给“杨辉三角”中每行数与展开式中各项系数之间的对应关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，7，21，35，35，21，7，1， 所以展开式中的第三项是． 故选：． 【题型10.整式乘法的混合运算】 【典例】若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】三个连续偶数，若中间一个数为n，则它们的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意另外两个数为，，然后将它们乘起来即可得出答案． 【详解】解：三个连续偶数，若中间一个数为n，那么另外两个数为，， 那么它们的积为：， 故选：C． 【跟踪专练2】若规定，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 1．下列选项中正确的是（   ）． A． B．单项式的次数是3 C．5是单项式 D．多项式的一次项系数为2 【答案】C 【分析】本题考查单项式，多项式，单项式乘以多项式． 根据单项式和多项式的系数、次数，单项式乘多项式的运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．单项式 的次数是 ，原说法错误，不符合题意； C． 5是单项式，原说法正确，符合题意； D．多项式 的一次项系数为，原说法错误，不符合题意． 2．若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 3．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 4．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 5．若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同类项的定义，代数式求值．根据单项式乘以单项式结合同类项的定义求出和的值，再代入到中计算即可求解． 【详解】解：单项式和单项式的积为 ， ∵单项式和单项式的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 6．若式子化简后不含的二次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，通过展开多项式，合并同类项后，令二次项系数为零，求解 的值． 【详解】解： ∵化简后不含的二次项，则二次项系数为零， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则的应用，利用多项式乘以多项式法则对等式左边进行变形，再根据多项式相等的条件确定出的最大值与最小值，再相减即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为，最小值为，其差为， 故答案为：． 8．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 9．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与正方形重叠面积的计算、代数式化简及变量关系推导，解题的关键是根据“阴影面积长方形面积（两正方形面积和重叠面积）”，结合面积差条件建立等式，通过消元推导与、的关联． 设、，则；设图①、②、③中两正方形重叠面积分别为、、．由阴影面积公式得、、；利用、化简得、，两式相减消去；再根据正方形放置位置确定、，代入后化简求与的关系． 【详解】解：设，，则； 两正方形重叠面积分别为（图①）、（图②）、（图③）． 由阴影面积公式：，， 故①； 同理②． ②①得：． 由放置位置：图①中，（重叠边长为）； 图②中，（重叠边长为）． 代入得：， 化简得：，即（值确定）． 故选：B． 10．有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，有同学得出了下列结论： （1）第二次操作后整式串为：，，3，，； （2）第二次操作后的整式串中，当时，所有整式的积不大于0； （3）第四次操作后整式串中共有15个整式； （4）第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则、整式的乘法运算法则等知识点，灵活运用运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算逐个判断即可． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，3，， ∴第二次操作后的整式串为：，，3，，，故（1）错误，不符合题意； ∴第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴，故（2）正确，符合题意； ∵第二次操作后的整式串为：，，3，，， ∴第三次操作后的整式串个数为：， ∴第四次操作后的整式串个数为：，故（3）错误，不符合题意； 可知：第一次操作后整式的和为：，第二次操作后整式的和为：； ∵第二次操作后的整式串为：，，3，，， ∴第二次操作后的整式串为：，3，，，3，，，，， ∴第三次操作后整式的和为：； ∴第n次操作后的整式的和为：， 第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为，故（4）正确，符合题意， 故选：B． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与加减运算．先算乘方，再算乘法，最后算加减，合并同类项即可． 【详解】解： 12．先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 13．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 14．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 15．观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为6或 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 16．对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $