专题03乘法公式寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题03乘法公式寒假预习闯关必备讲义 预习目标 知识掌握：背诵、默写平方差和完全平方公式，明确公式含义与结构、区分适 用场景；通过多项式乘法推导公式，结合几何意义辅助理解，不死记硬背；熟 悉公式常用变形、理清逻辑，初步接触三项式平方等拓展内容，为解题和新学 期学习铺垫。 能力提升：能识别公式结构并规范解题，保证步骤与结果准确：熟练应对含负 号题型，避免符号失误；学会整体代换，解决简单嵌套括号综合题；结合已知 条件用公式变形求解，同时能识别常见公式误用并改正。 素养培养：提升逻辑思维，梳理规范解题推理流程；学会用公式简化运算，增 强应用意识；自主梳理知识点、记录疑问，做好课堂准备；养成认真严谨的态 度，减少粗心导致的失分。 掌握核心公式：背诵、默写平方差和完全平方公式，明确公式含义与结构，能 区分适用场景。 理解公式本质：通过多项式乘法推导公式，结合几何意义辅助理解，不死记硬 背。 掌握基础变形：熟悉公式常用变形，理清变形逻辑，为解题铺垫 了解拓展内容：初步接触三项式平方等拓展公式，为新学期学习铺垫。 预习达成标准 1.能准确默写核心公式及3-4个常用变形，表述规范。 2.独立完成10道基础题，正确率不低于80%，步骤规范。 3.能用整体思想解决2-3道简单综合题，思路清晰、结果准确。 4.能识别并纠正3-4种常见错误，明确根源并写出正确解法。 5.结合预习内容，提出1-2个针对性疑问（如拓展公式的适用场景、复杂变形 的推导逻辑)，为课堂答疑做好准备。 试卷第1页，共3页 3 预习内容概览 预习知识点 1.核心公式 2.公式变形与拓展 梳理 3.应用技巧 4.易错点警示 1.平方差公式的计算应用 2.平方差公式的几何直观理解 常考题型 3.完全平方公式的计算应用 4.完全平方平方公式的变形求值技巧 精讲精炼 5.完全平方公式的几何图形应用 6.完全平方式中字母系数的求解 7.完全平方式的几何图形应用 8.整式的混合运算综合练习 强化巩固 通关题(16题) 题型通关 知识点梳理 【知识点01.核心公式】 1.平方差公式 表达式：(a+b)(a-b)=a2-b2 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 结构特征： *左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同(a),另一项互为相反数(b和-b) *右边：相同项的平方减去相反项的平方 典型例题： (x+2)(x-2)=x2-4 (2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2 2.完全平方公式 表达式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去） 这两个数的积的2倍。 结构特征： 试卷第1页，共3页 *左边：两个数的和（或差）的平方 *右边：三项式，首末两项为平方项，中间项为交叉项的2倍 典型例题： (x+3)2=x2+6x+9 (2y-5)2=4y2-20y+25 【知识点02.公式变形与拓展】 1.平方差公式变形 a2-b2=(a+b)(a-b)(因式分解形式) (a+b)(a-b)=a2-b2(乘法形式) (a+b)(a-b)(a2+b2)=a4-b4(连续使用) 2.完全平方公式变形 a2+b2-(a+b)2-2ab a2+b2-(a-b)2+2ab (a+b)2=(a-b)2+4ab (a-b)2-(a+b)2-4ab 3.常用拓展公式 (a+b+c)2-a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式) (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式) 【知识点03.应用技巧】 1.公式识别 平方差公式：寻找“相同项”和”相反项 完全平方公式：寻找"两数和（或差）的平方”结构 2。符号处理 注意括号前的负号对结果的影响 例如：(-a+b)2=(b-a)2=b2-2ab+a2 3.整体思想 将复杂代数式视为一个整体应用公式 例如：(x+y+z)(x+y-z)=[(x+y)+z][(x+y)-z]=(x+y)2-z2 试卷第1页，共3页 4.常见错误辨析 避免(a+b)2=a2+b2的错误 注意(-a-b)2=(a+b)2的正确变形 【典型例题解析】 1.基础计算题 例1：计算(3x+2y)(3x-2y) 解：=(3x)2-(2y)2-=9x2-4y2 例2：计算(2a-3b)2 解：=(2a)2-2×2a×3b+(3b)2=4a2-12ab+9b2 2.公式变形题 例3：已知a+b=5,ab=3,求a+b2的值 解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=25-6=19 例4：已知x-y=4,x2+y2-10,求xy的值 解：由(x-y)2=x2-2xy+y2得42=10-2xy,解得xy=-3 3.综合应用题 例5：计算(x+2y-3z)(x-2y+3z) 解： =[x+(2y-3z)][x-(2y-3z)] =x2-(2y-3z)2=x2-(4y2-12yz+9z2)=x2-4y2+12yz-9z2 【知识点04.易错点警示】 1.公式混淆误区：区分清楚完全平方公式（结果为三项式）与平方差公式（结果 为两项式)，严禁出现“两数和的平方等于两数平方和”的错误。 2.符号处理失误：重点关注括号前的负号，牢记“两数差的平方”与“负号加两 数和的平方”结果一致，计算时先定符号再展开，避免符号漏变、错变。 3.变形应用错误：公式变形核心是等式逆用，切勿混淆变形逻辑（如误判两数平 方和与两数和的平方的关系)，结合已知条件逐步推导，不盲目套用。 4.整体代换遗漏：面对复杂式子别盲目拆分计算，学会将同类代数式看作整体套 用公式简化，再逐步展开，提升运算效率与准确率。 试卷第1页，共3页 5.拓展公式误用：三项式平方等拓展内容，不可照搬两项式公式，展开时需涵盖 所有两两相乘的2倍项，杜绝遗漏任意一项交叉项。 6.步骤规范缺失：不追求快速出结果而省略步骤，养成分步书写习惯，先判公式 类型、再代入展开、最后整理结果，便于出错后溯源核对。 5 常考题型精讲精练 【题型1.平方差公式的计算应用】 【典例】计算a2-(a-1)(a+l的结果是() A.-1 B.1 C.-a D.a 【跟踪专练1】若a+b=4,a-b=1,则(a-1-(b+1的值为 【跟踪专练2】若(a-b2=4,a2-b2=16,且a<b,则a+b的值为() A.-8 B.8 C.-4 D.4 【题型2.平方差公式的几何直观理解】 【典例】在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用了大小不同的 正方形纸片来构建图案.如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起 时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是12，那么阴影部分的面积是 B 【跟踪专练1】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形 (α>b),再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的 面积关系，写出一个表示因式分解的式子为() 试卷第1页，共3页 a-b a 图1 图2 A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2-b2=(a-b)2 C.（a+b)2=a2+2ab+b D.a2-b2=(a+b)(a-b) 【跟踪专练2】如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为b的小正方形， 把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平 行四边形。 a (I)用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一：一，方法二： (均 用含a,b的代数式表示)； (Ⅱ)计算537.52-462.52= 【题型3.完全平方公式的计算应用】 【典例】若x2+4x+m=(x+2)2,则m的值为() A.4 B.1 C.-1 D.-4 【跟踪专练1】计算：202+404×198+1982= 【跟踪专练2】有n个依次排列的整式：第一项是x2；第二项是x2-2x+1;用第二项减去 第一项，所得之差记为m，,将m加2记为m2;将第二项与m2相加作为第三项；将m2加2记 为m3,将第三项与m3相加作为第四项，以此类推，则m,和第n项a,的结果分别是() A.m5=-2x+9,an=(x-n) B.m5=-2x+7,an=(x-n+1 C.m5=-2x+9,an=(x-n+1 D.m5=-2x+9,an=(x-n-12 【题型4.完全平方公式的变形求值技巧】 试卷第1页，共3页 【典例】已知(x+y)2=26,y=5,则x2+y2的值是 【跟综专练】已知a+。3,则口+=《) A.0 B.7 C.9 D.11 【跟踪专练2】若x满足(2024-x)2+(2026-x)2=4042,则(2024-x)(2026-x)的值 为」 【题型5.完全平方公式的几何图形应用】 【典例】如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形.可以用不同的代数式表示图中阴 影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是() n ② m① ③ ④ A.(m+n2=(m-m)2-4mn B.(m-n)2=(m+n)2-4mn C.(m+n)=(m-n) D.无法确定 【跟踪专练1】如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个 a、b的恒等式 b a ab a ab 5 【跟踪专练2】有A,B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，(1，m过正方形A 所在边的直线)，又将正方形A,B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若 图1和图2中阴影部分面积分别为5和38.则正方形A,B的面积之和为() 试卷第1页，共3页 图1 图2 A.43 B.33 C.38 D.48 【题型6.完全平方式中字母系数的求解】 【典例】如果x2+x+9是完全平方式，则m的值是 【跟踪专练1】若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m=（) A.6 B.12 C.±6 D.±12 【跟踪专练2】已知(x+t)=x2-(k-2)x+16(k,t均为常数)，则k=一 【题型7.完全平方式的几何图形应用】 【典例】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是 杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为() …第一行 …第二行 …第三行 …第四行 A.十五 B.二十一 C.二十五 D.三十五 【跟踪专练1】现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>b).某 同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S, S2 试卷第1页，共3页 a> b 甲 乙 勿 乙 ←b 乙 乙 丙 乙 丙 图1 图2 图3 (1)S= (2)S1-S2= 【跟踪专练2】如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形 ABCD的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为S,,两个较浅颜色的四边形都是正方 形，面积分别记为S,S2.已知BE=3,DF=5,且S,+S2=60,则S,= D F S3 S E S2 【题型8.整式的混合运算综合练习】 【典例】若(a+2b)2=(a-2b)2+N,则代数式N是 【跟踪专练1】如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，它们的边长分别为Q、b,则阴 影部分的面积为() D G A. B.(a-0) C.a D.无法确定 【跟踪专练2】已知实数x满足(x-2023)2+(x-2025)2=56,则(x-2024)2的值是」 试卷第1页，共3页 6 强化巩固通关 1.如果9x2-mxy+y2是完全平方式，则m的值为 2.若A=(2+1)(2+1(2+1(2+1(216+1(22+1小…(22048+1)+1，则A的值为() A.24097 B.24096 C.24095 D.24094 3.已知，大正方形的边长为Q,小正方形的边长为b,利用如图所示的几何图形可以证明 0 A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a-b)=a2-ab 4.已知m-n=3,则m2-n2-6n的值是 5.图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为S,图2是由长方形和正方形 构成的凹字形，阴影部分的面积记为S2.比较S,与S2的大小，则SS(填“>”、 “<”或“=”) a k号k号 图1 图2 6.己知x2=y+9,y2=x+9,且x≠y,则y的值为() A.-8 B.8 C.-9 D.9 7.有如图所示的A类，B类和C类(a>b)卡片各4张，从中取出若干卡片，每种卡片至少 取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（无空隙，无重叠拼接），则拼成正方形的边长 最长的可以为() 试卷第1页，共3页 专题03乘法公式寒假预习闯关必备讲义 知识掌握：背诵、默写平方差和完全平方公式，明确公式含义与结构、区分适用场景；通过多项式乘法推导公式，结合几何意义辅助理解，不死记硬背；熟悉公式常用变形、理清逻辑，初步接触三项式平方等拓展内容，为解题和新学期学习铺垫。 能力提升：能识别公式结构并规范解题，保证步骤与结果准确；熟练应对含负号题型，避免符号失误；学会整体代换，解决简单嵌套括号综合题；结合已知条件用公式变形求解，同时能识别常见公式误用并改正。 素养培养：提升逻辑思维，梳理规范解题推理流程；学会用公式简化运算，增强应用意识；自主梳理知识点、记录疑问，做好课堂准备；养成认真严谨的态度，减少粗心导致的失分。 掌握核心公式：背诵、默写平方差和完全平方公式，明确公式含义与结构，能区分适用场景。 理解公式本质：通过多项式乘法推导公式，结合几何意义辅助理解，不死记硬背。 掌握基础变形：熟悉公式常用变形，理清变形逻辑，为解题铺垫。 了解拓展内容：初步接触三项式平方等拓展公式，为新学期学习铺垫。 1.能准确默写核心公式及3-4个常用变形，表述规范。 2.独立完成10道基础题，正确率不低于80%，步骤规范。 3.能用整体思想解决2-3道简单综合题，思路清晰、结果准确。 4.能识别并纠正3-4种常见错误，明确根源并写出正确解法。 5.结合预习内容，提出1-2个针对性疑问（如拓展公式的适用场景、复杂变形的推导逻辑），为课堂答疑做好准备。 预习知识点梳理 1.核心公式 2.公式变形与拓展 3.应用技巧 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.平方差公式的计算应用 2.平方差公式的几何直观理解 3.完全平方公式的计算应用 4.完全平方平方公式的变形求值技巧 5.完全平方公式的几何图形应用 6.完全平方式中字母系数的求解 7.完全平方式的几何图形应用 8.整式的混合运算综合练习 强化巩固 题型通关 通关题(16题) 【知识点01.核心公式】 1. 平方差公式 表达式：(a+b)(a−b)=a2−b2 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 结构特征： *左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（a），另一项互为相反数（b和−b） *右边：相同项的平方减去相反项的平方 典型例题： (x+2)(x−2)=x2−4 (2a+3b)(2a−3b)=4a2−9b2 2. 完全平方公式 表达式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的 2 倍。 结构特征： *左边：两个数的和（或差）的平方 *右边：三项式，首末两项为平方项，中间项为交叉项的 2 倍 典型例题： (x+3)2=x2+6x+9 (2y−5)2=4y2−20y+25 【知识点02.公式变形与拓展】 1. 平方差公式变形 a2−b2=(a+b)(a−b)（因式分解形式） (a+b)(a−b)=a2−b2（乘法形式） (a+b)(a−b)(a2+b2)=a4−b4（连续使用） 2. 完全平方公式变形 a2+b2=(a+b)2−2ab a2+b2=(a−b)2+2ab (a+b)2=(a−b)2+4ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 3. 常用拓展公式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3（立方和公式） (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3（立方差公式） 【知识点03.应用技巧】 1. 公式识别 平方差公式：寻找 "相同项" 和 "相反项" 完全平方公式：寻找 "两数和（或差）的平方" 结构 2. 符号处理 注意括号前的负号对结果的影响 例如：(−a+b)2=(b−a)2=b2−2ab+a2 3. 整体思想 将复杂代数式视为一个整体应用公式 例如：(x+y+z)(x+y−z)=[(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y)2−z2 4. 常见错误辨析 避免(a+b)2=a2+b2的错误 注意(−a−b)2=(a+b)2的正确变形 【典型例题解析】 1. 基础计算题 例 1：计算(3x+2y)(3x−2y) 解：=(3x)2−(2y)2=9x2−4y2 例 2：计算(2a−3b)2 解：=(2a)2−2×2a×3b+(3b)2=4a2−12ab+9b2 2. 公式变形题 例 3：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值 解：a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×3=25−6=19 例 4：已知x−y=4，x2+y2=10，求xy的值 解：由(x−y)2=x2−2xy+y2得42=10−2xy，解得xy=−3 3. 综合应用题 例 5：计算(x+2y−3z)(x−2y+3z) 解： =[x+(2y−3z)][x−(2y−3z)] =x2−(2y−3z)2=x2−(4y2−12yz+9z2)=x2−4y2+12yz−9z2 【知识点04.易错点警示】 1.公式混淆误区：区分清楚完全平方公式（结果为三项式）与平方差公式（结果为两项式），严禁出现“两数和的平方等于两数平方和”的错误。 2.符号处理失误：重点关注括号前的负号，牢记“两数差的平方”与“负号加两数和的平方”结果一致，计算时先定符号再展开，避免符号漏变、错变。 3.变形应用错误：公式变形核心是等式逆用，切勿混淆变形逻辑（如误判两数平方和与两数和的平方的关系），结合已知条件逐步推导，不盲目套用。 4.整体代换遗漏：面对复杂式子别盲目拆分计算，学会将同类代数式看作整体套用公式简化，再逐步展开，提升运算效率与准确率。 5.拓展公式误用：三项式平方等拓展内容，不可照搬两项式公式，展开时需涵盖所有两两相乘的2倍项，杜绝遗漏任意一项交叉项。 6.步骤规范缺失：不追求快速出结果而省略步骤，养成分步书写习惯，先判公式类型、再代入展开、最后整理结果，便于出错后溯源核对。 【题型1.平方差公式的计算应用】 【典例】计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的化简． 利用平方差公式简化表达式，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 故选：B． 【跟踪专练1】若，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的变形应用，解决本题的关键是对进行变形化简． 将原式利用平方差公式进行变形，然后代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴上式． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，且，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的应用和代数式的求值，关键是通过条件确定的符号． 由平方差公式可得，结合和的条件，即可求出的值，再代入求解． 【详解】， ． ，即， ． ， ， ． 故选：A． 【题型2.平方差公式的几何直观理解】 【典例】在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由大正方形与小正方形的面积之差是得出，阴影部分的面积为，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形与小正方形的面积之差是， ， 阴影部分的面积为：， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积； ∵这两个图形的面积是相等的， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平方差公式的几何背景及应用． 在（I）中，通过图形的剪拼，用两种方法表示平行四边形的面积，直观地推导得出平方差公式，体现了平方差公式的几何意义，即从图形面积的角度理解公式； 在（II）中，运用（I）中得到的平方差公式，对进行简便计算，体现了平方差公式在数的运算中的应用，利用公式可以快速计算两个数的平方差． 【详解】（I）解：方法一 ∵大正方形的边长为，面积是；小正方形的边长为，面积是， 又∵平行四边形是由大正方形挖去小正方形后剩余部分拼成的， ∴平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 即． 方法二 观察拼成的大平行四边形，它的底边长为，高为.根 ∴据平行四边形的面积公式：面积底高， 可得其面积为 （II）根据（I）中得出的， 可将，代入公式， 则 ． 【题型3.完全平方公式的计算应用】 【典例】若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式运用，利用完全平方公式解答即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】有个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加记为；将第二项与相加作为第三项；将加记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，则和第项的结果分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式规律，结合乘法公式计算是解题的关键． 通过已知条件，表示出第一项和第二项，再根据式子中的计算方式推导计算即可； 【详解】第一项：，第二项：， 第二项减去第一项得：， 得：， 第三项是第二项与相加：， 得：， 第四项是第三项与相加：， 得：， 第五项是第四项与相加：， 得：， 通过观察，可以发现： ，，，， 第项的形式为，即， 对于，计算得到； 故选． 【题型4.完全平方公式的变形求值技巧】 【典例】已知，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 【跟踪专练1】已知，则（    ） A．0 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式：利用完全平方公式将已知条件平方，展开后代入数值求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】若x满足，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 【题型5.完全平方公式的几何图形应用】 【典例】如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形．可以用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解题的关键．根据题意依次表示出阴影部分的面积、正方形的面积、长方形的面积，结合图形即可得出结论． 【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为， 阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个长方形的面积， ． 故选：B． 【跟踪专练1】如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个、的恒等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】解：大正方形边长为：，面积为：， 也可以用两个小正方形的面积，两个矩形的面积的和表示，即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 【题型6.完全平方式中字母系数的求解】 【典例】如果是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握利用完全平方式分解因式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征，比较系数确定的值即可． 【详解】解：由于是完全平方式，且常数项， 则 比较系数，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若是一个完全平方式，则（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去的2倍，据此可解答． 【详解】解：． ∵是一个完全平方式， ∴． ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】已知（，均为常数），则 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，求完全平方式中的字母系数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 展开左边完全平方式，根据多项式恒等条件，比较对应项系数，得到关于t和k的方程，求解t后代入求k． 【详解】解：左边，右边， 所以， 所以，， 由， 解得：或， 当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：10或． 【题型7.完全平方式的几何图形应用】 【典例】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ）    A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 从第3行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可确定第八行第三个数． 【详解】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第8行的数， 第3行第三个数为1， 第4行第三个数为， 第5行第三个数为， … 第8行第三个数为：． 故选：B． 【跟踪专练1】现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据所给的图形，用含，的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键． （1）根据图2中正方形的组成即可解决问题； （2）根据图3长方形的组成即可解决问题． 【详解】解：（1）由题可知，图2正方形的边长为， ∴， 根据长方形的组成得： ， ∴， 故答案为：． （2）由题可知，图3长方形的长和宽为和 ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 【题型8.整式的混合运算综合练习】 【典例】若，则代数式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴代数式是， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，四边形和都是正方形，它们的边长分别为、，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是阴影部分的面积的计算，同时考查去括号，整式的加减乘除的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，利用割补法，结合正方形的面积与三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：根据图形可得，阴影部分的面积为， 故选：A． 【跟踪专练2】已知实数x满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 通过换元法简化计算，利用完全平方公式展开并合并同类项求解． 【详解】解：设 ，则 ，， 代入原方程得： ∴． 故答案为：． 1．如果是完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．若，则A的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 通过乘以并利用平方差公式，将乘积化简为，进而得到，即可解答． 【详解】解： ． 故选B． 3．已知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用如图所示的几何图形可以证明（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平方差公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证． 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答． 【详解】解：根据图形大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 每个梯形的高为， 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 可得式子， 所以利用如图所示的几何图形可以证明， 故选：A． 4．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值；利用已知条件，将代数式因式分解，再整体代入化简求值． 【详解】解：由，得 故答案为：． 5．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式运算在几何图形中的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故答案为：． 6．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，由已知得，即得，进而得到，即得到，再利用完全平方公式即可求解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以 ，得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：． 7．有如图所示的类，类和类卡片各张，从中取出若干卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（无空隙，无重叠拼接），则拼成正方形的边长最长的可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用． 由已知可得所有卡片的面积总和，从而可得拼成正方形的所有可能边长，进行比较即可． 【详解】解：4张类卡片的面积为， 4张类卡片的面积为， 4张类卡片的面积为， ∴所有卡片的面积总和为， ∴拼成的正方形的边长可能为，或，或， ∵， ∴， ∴拼成正方形的边长最长的可以为． 故选：B． 8． 已知实数满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式和绝对值的非负性． 利用绝对值的非负性和完全平方公式得到，，即可解出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴，即 ∴， 由①②得，且， ∴， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：． 9．设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 则， 即代数式的最大值为3， 故选：C． 10．已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握利用非负数的性质求值是解题的关键．先将括号内的二次三项式配方，然后用整式乘法化简整理，再对整理后关于z的二次三项式配方，再根据非负数的性质分别求得x，y，z的值，即可进一步求解答案． 【详解】解：原方程可化为， ， ， ， ，，， ，， ， ，，， ． 故答案为：． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，熟知整式的乘法公式，并进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 12．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算（完全平方公式、平方差公式）及代数式求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与合并同类项的方法是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开原式，再合并同类项进行化简，最后代入、的值计算． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 13．已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 14．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______； (2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键． （1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长； （2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积； （3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果． 【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长； （2）解：阴影部分的面积第一种直接用， 第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为； （3）解：由（2）可得， ， 由题意可得，， 代入上式可得． 15.若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 16.已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $