精品解析：宁夏银川市北方民族大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

北方民族大学附属中学2025-2026学年度高二（上）期中 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 命题人：黄莉 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程，结合倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】由，得， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得. 故选：D 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线准线的概念，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得数列是周期为3的周期数列，. 【详解】由数列满足，，可得： ， ， ，， 故数列是周期为周期数列，. 故选：A 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 5. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 6. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 7. 阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答. 【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d， 由圆的性质得：，解得，， 所以C的长度为. 故选：B 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由轴可得：，不妨设点，设，，由，解得、，代入椭圆方程化简即可求解． 【详解】解：由轴可得：，不妨设点， 设，，由， 得，，代入椭圆方程得：， 结合，化简上式可得：， 所以椭圆的离心率为， 故选：． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的离心率为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分焦点在x轴或y轴上，即，或结合离心率讨论求解. 【详解】当时，焦点在x轴上，此时离心率为， 解得，满足 当时，焦点在y轴上，此时离心率为， 解得，满足 综上m的值为或3， 故选：AD． 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 因为直线恒过定点，而，即在圆内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确； 对于D，时，直线，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆C：的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆与椭圆C共焦点 C. 直线l的方程为 D. 椭圆C的内部（含边界）共有10个整数点 【答案】BC 【解析】 【分析】应用椭圆焦点坐标计算得出离心率判断A，求两个椭圆的焦点判断B，联立方程组点差法得出直线方程判断C，列举法判断零点个判断D. 【详解】A：由条件可知，，解得，所以椭圆C：，所以，椭圆C的离心率，A选项错误； B：椭圆的焦点为，与椭圆C共焦点，B选项正确； C：设，，代入椭圆C的方程，得 两式相减得． 由题意可知，，，所以，，所以， 所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，整理得，C选项正确； D：椭圆C：，故椭圆内满足，的整数点有，，，，， ，，，，，，共11个，D选项错误. 故选：BC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知、，进而求解方程即可. 【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 13. 已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 _____ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 故答案为： 14. 双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】可设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得， 计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 如图： 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： （1）以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； （2）离心率为，短轴长为8的椭圆. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出，即可； （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可. 【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为(，)，由焦点可得， 双曲线的渐近线方程为，可得， 又，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）当焦点在轴时，设椭圆方程为， 由题可得，解得，， 所以椭圆方程为； 当焦点在轴时，设椭圆方程为， 由题可得，解得，， 所以椭圆方程为； 所以综上可得椭圆方程为或. 16. 已知数列满足． （1）求； （2）记为的前项和，若，求n的取值范围（用集合表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量的计算即可求解； （2）由（1）得到，再结合即为，即可求解. 【小问1详解】 由可知数列是公差为1等差数列， 因为，所以， 解得 【小问2详解】 由（1）得， 因为，故，即 ，故， ，故． 17. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 【小问2详解】 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. （1）求椭圆方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北方民族大学附属中学2025-2026学年度高二（上）期中 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 命题人：黄莉 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A B. C. 2 D. 3 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 5. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的离心率为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得弦长为4 11. 已知椭圆C：的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B 椭圆与椭圆C共焦点 C. 直线l的方程为 D. 椭圆C的内部（含边界）共有10个整数点 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 13. 已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 _____ 14. 双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为_____. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： （1）以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； （2）离心率为，短轴长为8的椭圆. 16. 已知数列满足． （1）求； （2）记为的前项和，若，求n的取值范围（用集合表示）． 17. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $