宁夏银川市灵武市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年宁夏银川市灵武一中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共9小题，共113分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知点B是在坐标平面xOy内的射影，则(    ) A. B. C. 5 D. 3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点的椭圆的标准方程为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.直线：，：，则是的(    ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.无论为何值，直线过定点(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是(    ) A. B. C. D. 7.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则(    ) A. B. C. D. 6 8.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，P是C上一点，且轴，直线与椭圆C的另一个交点为Q，若，则椭圆C的离心率为(    ) A. B. C. D. 9.已知，以下结论正确的有(    ) ①； ②的最大值为26； ③的最大值是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10.过点且截距互为相反数的直线方程为        . 11.已知直线：与：互相垂直，则实数a的值为        . 12.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，过且垂直于的直线与E交于B、C两点，则的周长为          . 13.已知集合与满足，则r的取值范围是       14.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为        . 15.已知实数，，则的取值范围是      . 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题12分 已知的三个顶点分别是，， 求BC边上的高所在的直线方程； 若直线l过点A，且与直线平行，求直线l的方程； 求BC边上的中线所在的直线方程. 17.本小题12分 已知圆C：，点 求过点P的圆C的切线l的方程； 若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 18.本小题12分 如图，直三棱柱中，，M，N分别是，的中点， 求异面直线BM与AN所成角的余弦值； 求点A到平面BCM的距离. 19.本小题12分 如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面 求证：平面ABE； 求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值； 在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的余弦值为，若存在，求出线段BP的长度，若不存在，请说明理由. 20.本小题12分 设x，，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且 求点的轨迹C的方程； 设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，求的面积. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可． 【解答】 解：直线方程为， 即，由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 先求出，由此能求出 本题考查点到原点的距离的求法，考查射影、空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】 解：点B是点在坐标平面Oxy内的射影， ， 则 故选： 3.【答案】C  【解析】解：当椭圆的焦点在y轴上时，短半轴长为3，则长半轴长为9，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在x轴上时，长半轴长为3，则短半轴长为1，所以椭圆的方程为； 所以椭圆方程为或 故选： 分椭圆的焦点在x轴、y轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程． 本题主要考查椭圆方程的求解，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：若，则，且，可得， 即是的充要条件． 故选： 根据直线平行的充要条件列方程可得a的值． 本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线恒过定点问题，考查运算能力，属于基础题． 先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点． 【解答】 解：将直线方程可化为， 无论为何值，可理解为与无关，即有， 可得， 直线恒过定点 故选： 6.【答案】B  【解析】解：， 故选： 利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出． 本题考查了向量的平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】D  【解析】解：正方形的一组对边所在的直线方程分别为和， 另一组对边所在的直线方程分别为和， 根据正方形的两组对边间的距离相等，可得， 则， 故选： 利用正方形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可． 本题考查了正方形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题． 8.【答案】D  【解析】解：由轴可得：，不妨设点， 设，由， 得，，代入椭圆方程得：， 结合，化简上式可得：， 所以椭圆的离心率为， 故选： 由轴可得：，不妨设点，设，由，得，，代入椭圆方程化简即可求解． 本题考查了椭圆的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题． 9.【答案】D  【解析】解：①由题意，令，即， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 解得或，故①正确； ②， 表示圆上的点到点距离的平方加1， 故最大值为到的距离加上半径2，平方后再加1， 即，故②正确； ③将代入下面式子得： ， 表示圆上的点到的距离减去到距离的差的两倍， 显然：，故③正确． 故选： ①令，即，将问题转化为直线与圆的位置关系求解； ②结论表示的是圆上的点到的距离的平方，据此求解； ③原式表示圆上的点到点和距离的差，据此求最大值． 本题考查圆的方程以及直线与圆的位置关系及其应用，距离公式等，属于中档题． 10.【答案】或  【解析】解：当直线过原点时，显然符合条件，可得过点的直线的方程为，即， 当直线不过原点时，由题意设直线的方程为，， 将点代入直线的方程可得，即， 此时直线的方程为 综上所述：直线的方程为或 故答案为：或 分直线过原点和不过原点两种情况讨论，设直线的方程，将点P的坐标代入，可得参数的值，即求出直线的方程． 本题考查分类讨论求直线在坐标轴上的截距互为相反数的直线方程的求法，属于基础题． 11.【答案】0或3  【解析】解：因为直线：与：互相垂直， 可得，解得或 故答案为：0或 由两条直线垂直的充要条件，列方程，解得a的值． 本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题． 12.【答案】16  【解析】解：椭圆，可得，，， 则，，， 椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，且垂直于的直线与椭圆E交于B，C两点，如图， 为线段的垂直平分线， ，， 则的周长为 故答案为： 根据条件可得，，然后根据椭圆的定义求解即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，弦长的求法，是中档题． 13.【答案】  【解析】解：集合与， M表示圆及圆内的点，N表示圆上以及圆内的点， ，， 小圆内切或内含于大圆， 圆心距，， 故答案为： 先根据交集定义判断两个圆的位置关系，再结合位置关系得到圆心距小于等于半径之差，列式计算能求出半径的取值范围． 本题考查集合的运算，考查交集定义、圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】  【解析】解：依题意，则为直线AP的斜率， 观察图形知，当直线AP与半圆相切于第一象限时，k最小，此时， 且直线AP：，所以，解得， 所以的最小值为 故答案为： 根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值． 本题考查直线与圆的位置关系、圆的切线问题，属于中档题． 15.【答案】  【解析】解：因为实数，，所以， 设，则，所以函数，其中， 求导数， 令，解得， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以在时取得最小值为， 又因为时，时，， 所以的取值范围是 故答案为： 化，设，构造函数，，利用导数判断的单调性，求出最值，即可求出的取值范围． 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了转化思想，是中档题． 16.【答案】解：，，， 故可得直线BC的斜率为， 则所求直线的斜率为3，而BC边上的高经过点A， 则可得BC边上的高所在的直线方程为， 即； 依题意， 设直线l的方程为， 而直线l过点， 则，解得， 所以直线l的方程为； 依题意，BC边的中点， 所以BC边上的中线所在直线的斜率， 所以BC边上的中线所在直线的方程为，即  【解析】本题考查两条直线垂直的判定及应用，两条直线平行的判定及应用，直线方程的综合求法及应用，属于基础题． 利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； 设出直线l的方程，利用待定系数法求出直线方程； 求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得． 17.【答案】解：因为点在圆上，， 切线斜率为， 切线方程为，即； 过P的直线被圆C截得的弦长为8， 圆心到直线的距离， 当直线斜率k不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为，即， 圆心到直线的距离，解得， 直线方程为， 综上所述，直线的方程为或  【解析】求得直线OP的斜率可求切线斜率； 分类讨论，利用过P的直线被圆C截得的弦长为8，圆心到直线的距离，即可求该直线的方程． 本题考查直线与圆的位置关系，属基础题． 18.【答案】    【解析】解：根据题意可建系如： 则，，，，， ，， 所以异面直线BM与AN所成角的余弦值为： ，； 因为，，， 设平面BCM的法向量为， 则，取， 所以点A到平面BCM的距离为 建系，利用向量法，即可求解； 建系，利用向量法，即可求解． 本题考查线线角的求解，点面距的求解，属基础题． 19.【答案】解：证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示； 则，，，， ，， 设平面ABE的法向量为， ， 不妨设， ， ， ； 平面ABE， 平面ABE； ，， 设平面BEF的法向量为， ， 令，则，， ， ， 平面ABE与平面EFB夹角的余弦值是； 设，； ，， 平面ABE的法向量为， 直线BP与平面ABE所成角的余弦值为， 设BP与平面ABE所成角为， ， ， 化简得， 解得或； 当时，，； 当时，，； 综上，  【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，平面与平面所成角的向量求法，线面平行的向量表示，属于中档题． 取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量与向量，根据证明；从而证明平面ABE； 求平面BEF的法向量，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值； 设，，求向量与平面ABE的法向量所成角的余弦值，列出方程解方程得的值，从而求出的值． 20.【答案】    【解析】解：由已知，， 所以点到与的距离之和为4， 则点M轨迹是以与为焦点，长轴长为4的椭圆， 即，，，所以点M的轨迹C的方程为； 联立切线与曲线C方程，，得， 由相切可得，整理得， 联立直线与椭圆E方程，，得， 所以，， 则， 原点O到直线AB的距离， 又，所以的面积为 根据题意列出关于x，y的方程，结合椭圆定义可得化简后的点M轨迹方程； 联立切线与曲线C方程，根据相切可化简得到k和m的关系式，再联立直线与椭圆E方程，写出韦达定理，可求和原点O到直线AB的距离d表达式，列出的面积表达式，由k和m的关系式代入化简可得的面积． 本题主要考查点的轨迹方程和直线与椭圆的综合，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $