第3.3讲 反比例的意义(导学案)六年级数学寒假自学课（青岛版）

第1.1讲 求一个数比另一个数多（少）百分之几 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 （1）理解反比例的意义，能正确判断两个量是否成反比例关系。 （2）掌握反比例关系的特征，理解"乘积一定"是反比例的本质特征。 （3）能用反比例的知识解决简单的实际问题。 （4）能区分正比例关系和反比例关系的不同特征。 2、重难点 重点 ：理解反比例的意义，掌握判断两个量是否成反比例的方法。 难点 ：理解"乘积一定"是反比例关系的本质特征，能区分反比例与正比例关系。 模块二 预习引导 一、从生活实例认识反比例 情境1：购买练习本 小明有24元钱买练习本，练习本的单价和能买的数量如下表： 单价（元/本） 1 2 3 4 6 8 数量（本） 24 12 8 6 4 3 观察表格，你发现了什么规律？单价增加，数量减少；单价减少，数量增加 单价×数量= 24（元），乘积保持不变 情境2：行驶路程一定 小华从家到学校的距离是360米，他用不同的速度行走，速度和时间的关系如下表： 速度（米/分） 30 40 60 90 120 180 时间（分） 12 9 6 4 3 2 观察表格，你又发现了什么规律？速度增加，时间减少；速度减少，时间增加 速度×时间 = 360（米），乘积保持不变 二、反比例的意义 1、反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、反比例关系的表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示： （一定）或 （k一定）其中k叫做比例系数。 三、反比例的特征 1、两个基本特征： （1）两种量是相关联的量（一种量变化，另一种量也随着变化） （2）相对应的两个数的乘积一定 2、变化规律： 当k > 0时，一种量增加，另一种量减少；一种量减少，另一种量增加，两种量的变化方向相反（一增一减）。 四、判断反比例关系的方法 判断步骤：看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量也变化），看相对应的两个数的乘积是否一定，如果乘积一定，就成反比例；如果乘积不一定，就不成反比例。 常见的反比例关系：总价一定，单价和数量成反比例；路程一定，速度和时间成反比例；工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例；长方形面积一定，长和宽成反比例。 五、正比例与反比例的区别 比较项目 正比例 反比例 本质特征 比值一定（） 乘积一定（） 变化规律 同增同减 一增一减 函数关系式 六、反比例的应用 利用反比例关系可以解决很多实际问题：根据总价和单价求数量，根据路程和速度求时间，根据已知的一组对应值，求另一组对应值。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．下面相关联的量成不成比例？成什么比例？（只填选项）。 A．不成比例    B．成正比例    C．成反比例 (1)开车从甲地到乙地，行驶的速度和时间( )。 (2)圆柱的高一定，它的体积和底面积( )。 (3)圆的周长一定，圆周率和直径( )。 (4)每台电脑价格一定，购买的台数和总价( )。 (5)零件合格率一定，合格零件数与零件总数( )。 (6)同种型号的铁钉，铁钉的数量和总质量( )。 (7)糊纸盒的总个数一定，平均每人糊的个数与人数( )。 【答案】(1)C (2)B (3)A (4)B (5)B (6)B (7)C 【分析】根据两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x/y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的乘积一定，即xy＝k（定值），那么这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答。 【详解】根据分析可得： （1）路程一定，速度和时间成反比例。选C。 （2）圆柱的高一定，体积和底面积成正比例。选B。 （3）圆的周长一定，圆周率与直径不成比例。选A。 （4）每台电脑价格一定，购买的台数和总价成正比例。选B。 （5）零件合格率一定，合格零件数与零件总数成正比例。选B。 （6）同种型号的铁钉，铁钉的数量和总质量成正比例。选B。 （7）糊纸盒的总个数一定，平均每人糊的个数与人数成反比例。选C。 2．下表中x和y两个量成反比例关系，把表格填写完整。 x 2 8 y 6 0.4 0.3 24 【答案】36；30；1.5；40；0.5；32 【分析】两种相关联的量成反比例关系，它们的乘积一定；已知x与y成反比例关系，根据这样的关系解答。 【详解】 x 2 30 8 40 0.5 y 6 36 0.4 1.5 0.3 24 32 3．平行四边形的面积、底和高三个量中，当( )一定时，( )和( )成反比例。 【答案】 面积 底 高 【分析】根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此进行分析。 【详解】平行四边形的面积＝底高，所以当面积一定时，底和高成反比例。 平行四边形的面积、底和高三个量中，当面积一定时，底和高成反比例。 4．m，n均不为0，当m＝5n时，m与n成( )比例；当m＝5÷n时，m与n成( )比例；当时，m与n成( )比例；当时，m与n成( )比例。 【答案】 正 反 反 正 【分析】由可知（一定），即m与n的比值一定，所以m与n成正比例； 由可得（一定），即m与n的乘积一定，所以m与n成反比例； 由可得（一定），即m与n的乘积一定，所以m与n成反比例； 由可得（一定），m与n的比值一定，所以m与n成正比例。 【详解】m，n均不为0，当时，m与n成正比例；当时，m与n成反比例；当时，m与n成反比例；当时，m与n成正比例。 5．乐乐看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 每天看的页数 60 40 20 15 10 5 … 所用的天数 2 3 6 8 12 24 … （1）表中( )随着( )的变化而变化，( )越少，( )越多。 （2）表中的两个量相对应的两个数的积是( )，这个积表示的意义是( )。 （3）由此可知，当这本书的总页数一定时，每天看的页数与所用的天数成( )比例关系。 【答案】 所用的天数 每天看的页数 每天看的页数 所用的天数 120 总页数 反 【分析】（1）根据表中的数据和项目，可知表中所用的天数和每天看的页数是两种相关联的量及数量的变化情况。 （2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的乘积是：、、、、、；根据“每天看的页数×所用的天数＝这本书的总页数”即可确定这个乘积表示什么。 （3）根据“每天看的页数×所用的天数＝这本书的总页数”，即可确定这本书的总页数一定时，每天看的页数和所用的天数成反比例关系。 【详解】（1）由分析可知，表中所用的天数随着每天看的页数的变化而变化，每天看的页数越少，所用的天数越多。 （2）由分析可知，表中的两个量相对应的两个数的积是120，这个积表示的意义是总页数。 （3）由此可知，当这本书的总页数一定时，每天看的页数与所用的天数成反比例关系。 6．下边的表格被弄脏了，如果x和y成正比例，那弄脏处的数是( )；如果x和y成反比例，那弄脏处的数是( )。 x 4 y 10 20 【答案】 8 2 【分析】（1）如果x和y成正比例，那么y与x的比值一定。已知x=4时，y=10，可先求出比值，再根据y=20求出对应的x。 （2）如果x和y成反比例，那么x与y的乘积一定。已知x=4时，y=10，可先求出乘积，再根据y=20求出对应的x。 【详解】（1）因为x和y成正比例，所以（一定）。当y=20时，。 （2）因为x和y成反比例，所以（一定）。当y=20时，。 7．增城荔枝上市啦！果园的工人们准备把新摘的荔枝装箱后运往商店，每箱装的质量和需要的箱数如下表。 每箱装的质量/kg 15 25 30 50 60 箱数 200 120 （1）把表格填写完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两个相关联的量。 （3）这两个相关联的量中，相对应的两个数的积是（    ），表示的是（                 ）。 （4）由此可知，表中两个相关联的量成（    ）比例。 【答案】（1）100；60；50 （2）每箱装的质量；箱数 （3）3000；荔枝的总质量 （4）反 【分析】（1）根据表中前两项的数据可知，每箱装的质量和箱数的积一定据此填表； （2）根据表中数据可知，每箱装的质量和箱数是两个相关联的量； （3）用每箱装的质量乘对应的箱数求出积，表示的是荔枝的总质量； （4）根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答。 【详解】（1） 每箱装的质量/kg 15 25 30 50 60 箱数 200 120 100 60 50 （2）表中每箱装的质量和箱数是两个相关联的量。 （3） 这两个相关联的量中，相对应的两个数的积是3000，表示的是荔枝的总质量。 （4）由（3）可知每箱装的质量和箱数的积一定，所以表中两个相关联的量成反比例。 二、选择题 8．比的前项一定，后项和（    ）成反比例。 A．前项 B．后项 C．比值 【答案】C 【分析】根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此进行分析。 【详解】在比中，比的前项、后项和比值有这样的关系：比的前项等于比的后项乘以比值，即前项＝后项×比值。题目中已知比的前项一定，由前项＝后项×比值可知，后项和比值的乘积是一定的（等于前项），根据反比例的定义，所以后项和比值成反比例。 故答案为：C 9．超市运来大米的袋数一定，卖出的袋数和剩下的袋数（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】C 【分析】反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例； 正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(商)一定，这两种量就叫做成正比例； 运来大米的袋数固定，但是卖出的袋数和剩下的袋数的比值不固定，所以他们不成比例。 【详解】卖出袋数除以剩下袋数的比值不固定，所以不成比例。 故答案为：C 10．下面两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．如果5x＝8y，x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和砖的数量。 C．圆的面积一定，半径和圆周率。 D．在一定时间里，行驶的路程和平均速度。 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例关系；如果是乘积一定，则成反比例关系。据此解答。 【详解】A．如果5x＝8y，即x∶y，是比值一定，那么x和y成正比例关系； B．因为每块砖的面积×砖的数量＝铺地面积（一定），是乘积一定，所以每块砖的面积与砖的数量成反比例关系； C．圆的面积S＝πr2，当圆的面积一定时，圆周率也是一个定值，所以这里圆的半径与圆周率不成比例； D．因为路程÷速度＝时间（一定），是比值一定，所以行驶的路程和平均速度成正比例关系。 综上，只有B选项成反比例关系。 故答案为：B 11．图表信息在计算器上按下面的程序操作，输入的数x与计算结果y（    ）。 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 【答案】C 【分析】根据操作程序得出x与y的数量关系，再依据正反比例的定义判断。根据程序操作，计算逻辑为“”，整理可得：（100是定值）。根据比例定义：两种相关联的量，若乘积一定，则成反比例。 【详解】由操作程序得​，即，乘积一定，因此输入的数x与计算结果y成反比例。 故答案为：C 三、解答题 12．汉服，全称汉民族传统服饰，即华夏衣冠，又称汉衣冠、汉装、华服。某服装厂订了一批制作汉服的布料，平均每车运的吨数和运货的车辆数如下表。 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 （1）请把上面表格补充完整。 （2）平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例吗？为什么？ （3）若6辆车运完这批货物，则平均每车运多少吨？ 【答案】（1）3；4；5 （2）成反比例。因为每车运的吨数×运货的车辆数＝运货的总量（一定）。 （3）300÷6＝50（t） 【分析】（1）先求出货物总吨数，再根据平均每车运的吨数求出运货的车辆数即可。 （2）因为平均每车运的吨数运货的车辆数货物总吨数（300）一定，符合反比例关系，所以平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例。 （3）根据平均每车运的吨数货物总吨数运货的车辆数，代入数据即可。 【详解】（1）（吨） （辆） （辆） （辆） 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 3 4 5 （2）成反比例。因为每车运的吨数×运货的车辆数＝运货的总量（一定）。 （3）（吨） 答：平均每车运50吨。 13．糖果厂生产一批水果糖。把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的粒数和装的袋数如下表： 每袋装的粒数 12 15 20 24 30 装的袋数 500 400 300 250 200 （1）写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，比较积的大小。 （2）每袋装的粒数和袋数成反比例吗？为什么？ 【答案】（1）见详解；相等 （2）成反比例；见详解 【分析】（1）根据统计表中的数据，写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，再比较积的大小。 （2）结合上一题的结论，根据反比例的意义进行判断。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【详解】（1）12×500＝6000（粒） 15×400＝6000（粒） 20×300＝6000（粒） 24×250＝6000（粒） 30×200＝6000（粒） 它们的积都相等。 （2）答：每袋装的粒数和袋数成反比例。因为每袋装的粒数×装的袋数＝水果糖的总粒数（一定），乘积一定，则每袋装的粒数和袋数成反比例。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.3讲 反比例的意义 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 （1）理解反比例的意义，能正确判断两个量是否成反比例关系。 （2）掌握反比例关系的特征，理解"乘积一定"是反比例的本质特征。 （3）能用反比例的知识解决简单的实际问题。 （4）能区分正比例关系和反比例关系的不同特征。 2、重难点 重点 ：理解反比例的意义，掌握判断两个量是否成反比例的方法。 难点 ：理解"乘积一定"是反比例关系的本质特征，能区分反比例与正比例关系。 模块二 预习引导 一、从生活实例认识反比例 情境1：购买练习本 小明有24元钱买练习本，练习本的单价和能买的数量如下表： 单价（元/本） 1 2 3 4 6 8 数量（本） 24 12 8 6 4 3 观察表格，你发现了什么规律？单价增加，数量减少；单价减少，数量增加 单价×数量= 24（元），乘积保持不变 情境2：行驶路程一定 小华从家到学校的距离是360米，他用不同的速度行走，速度和时间的关系如下表： 速度（米/分） 30 40 60 90 120 180 时间（分） 12 9 6 4 3 2 观察表格，你又发现了什么规律？速度增加，时间减少；速度减少，时间增加 速度×时间 = 360（米），乘积保持不变 二、反比例的意义 1、反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、反比例关系的表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示： （一定）或 （k一定）其中k叫做比例系数。 三、反比例的特征 1、两个基本特征： （1）两种量是相关联的量（一种量变化，另一种量也随着变化） （2）相对应的两个数的乘积一定 2、变化规律： 当k > 0时，一种量增加，另一种量减少；一种量减少，另一种量增加，两种量的变化方向相反（一增一减）。 四、判断反比例关系的方法 判断步骤：看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量也变化），看相对应的两个数的乘积是否一定，如果乘积一定，就成反比例；如果乘积不一定，就不成反比例。 常见的反比例关系：总价一定，单价和数量成反比例；路程一定，速度和时间成反比例；工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例；长方形面积一定，长和宽成反比例。 五、正比例与反比例的区别 比较项目 正比例 反比例 本质特征 比值一定（） 乘积一定（） 变化规律 同增同减 一增一减 函数关系式 六、反比例的应用 利用反比例关系可以解决很多实际问题：根据总价和单价求数量，根据路程和速度求时间，根据已知的一组对应值，求另一组对应值。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．下面相关联的量成不成比例？成什么比例？（只填选项）。 A．不成比例    B．成正比例    C．成反比例 (1)开车从甲地到乙地，行驶的速度和时间( )。 (2)圆柱的高一定，它的体积和底面积( )。 (3)圆的周长一定，圆周率和直径( )。 (4)每台电脑价格一定，购买的台数和总价( )。 (5)零件合格率一定，合格零件数与零件总数( )。 (6)同种型号的铁钉，铁钉的数量和总质量( )。 (7)糊纸盒的总个数一定，平均每人糊的个数与人数( )。 2．下表中x和y两个量成反比例关系，把表格填写完整。 x 2 8 y 6 0.4 0.3 24 3．平行四边形的面积、底和高三个量中，当( )一定时，( )和( )成反比例。 4．m，n均不为0，当m＝5n时，m与n成( )比例；当m＝5÷n时，m与n成( )比例；当时，m与n成( )比例；当时，m与n成( )比例。 5．乐乐看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 每天看的页数 60 40 20 15 10 5 … 所用的天数 2 3 6 8 12 24 … （1）表中( )随着( )的变化而变化，( )越少，( )越多。 （2）表中的两个量相对应的两个数的积是( )，这个积表示的意义是( )。 （3）由此可知，当这本书的总页数一定时，每天看的页数与所用的天数成( )比例关系。 6．下边的表格被弄脏了，如果x和y成正比例，那弄脏处的数是( )；如果x和y成反比例，那弄脏处的数是( )。 x 4 y 10 20 7．增城荔枝上市啦！果园的工人们准备把新摘的荔枝装箱后运往商店，每箱装的质量和需要的箱数如下表。 每箱装的质量/kg 15 25 30 50 60 箱数 200 120 （1）把表格填写完整。 （2）表中（     ）和（     ）是两个相关联的量。 （3）这两个相关联的量中，相对应的两个数的积是（     ），表示的是（                  ）。 （4）由此可知，表中两个相关联的量成（     ）比例。 二、选择题 8．比的前项一定，后项和（    ）成反比例。 A．前项 B．后项 C．比值 9．超市运来大米的袋数一定，卖出的袋数和剩下的袋数（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 10．下面两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．如果5x＝8y，x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和砖的数量。 C．圆的面积一定，半径和圆周率。 D．在一定时间里，行驶的路程和平均速度。 11．图表信息在计算器上按下面的程序操作，输入的数x与计算结果y（    ）。 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 三、解答题 12．汉服，全称汉民族传统服饰，即华夏衣冠，又称汉衣冠、汉装、华服。某服装厂订了一批制作汉服的布料，平均每车运的吨数和运货的车辆数如下表。 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 （1）请把上面表格补充完整。 （2）平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例吗？为什么？ （3）若6辆车运完这批货物，则平均每车运多少吨？ 13．糖果厂生产一批水果糖。把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的粒数和装的袋数如下表： 每袋装的粒数 12 15 20 24 30 装的袋数 500 400 300 250 200 （1）写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，比较积的大小。 （2）每袋装的粒数和袋数成反比例吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $