第3.2讲 正比例的意义(导学案)六年级数学寒假自学课（青岛版）

第3.2讲 正比例的意义 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解正比例的意义，能正确判断两个量是否成正比例关系。 （2）掌握正比例关系的特征，理解"比值一定"是正比例的本质特征。 （3）能用正比例的知识解决简单的实际问题。 （4）初步感受函数思想，为中学学习正比例函数奠定基础。 2、重难点。 重点 ：理解正比例的意义，掌握判断两个量是否成正比例的方法。 难点 ：理解"比值一定"是正比例关系的本质特征，能区分正比例与其他数量关系。 模块二 预习引导 一、从生活实例认识正比例 情境1：购买苹果 小明去水果店买苹果，苹果的单价是5元/千克。 苹果重量（千克） 1 2 3 4 5 总价（元） 5 10 15 20 25 观察表格，你发现了什么规律？苹果重量增加，总价也增加 总价÷重量= 5（元/千克），比值保持不变 情境2：匀速运动 小华骑自行车匀速前进，速度是15千米/时。 时间（时） 1 2 3 4 5 路程（千米） 15 30 45 60 75 观察表格，你又发现了什么规律？时间增加，路程也增加 路程÷时间 = 15（千米/时），比值保持不变 二、正比例的意义 1、正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2、正比例关系的表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示： （一定）或 （k一定）其中k叫做比例系数。 三、正比例的特征 1、两个基本特征： （1）两种量是相关联的量（一种量变化，另一种量也随着变化） （2）相对应的两个数的比值一定 2、变化规律： 当k > 0时，一种量增加，另一种量也增加；一种量减少，另一种量也减少，两种量的变化方向相同（同增同减）。 四、判断正比例关系的方法 判断步骤：看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量也变化），看相对应的两个数的比值是否一定，如果比值一定，就成正比例；如果比值不一定，就不成正比例。 常见的正比例关系：单价一定，总价和数量成正比例；速度一定，路程和时间成正比例；每小时工作量一定，工作总量和工作时间成正比例；长方形的宽一定，面积和长成正比例。 五、正比例的应用 利用正比例关系可以解决很多实际问题：根据单价和数量求总价，根据速度和时间求路程，根据已知的一组对应值，求另一组对应值。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．x，y均大于0，在括号里填“成”或“不成”。 (1)，x和y( )正比例。 (2)x2y＝10，x和y( )正比例。 (3)3x4y＝0，x和y( )正比例。 (4)x＋y＝7，x和y( )正比例。 (5)10÷x＝y，x和y( )正比例。 (6)7x＝8y，x和y( )正比例。 【答案】(1)成 (2)不成 (3)成 (4)不成 (5)不成 (6)成 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为。 【详解】（1），整理得（一定），x和y的比值一定，所以x和y成正比例； （2），整理得，x和y的比值不一定，所以x和y不成正比例； （3），整理得（一定），x和y的比值一定，所以x和y成正比例； （4），x和y的比值不一定，所以x和y不成正比例； （5），整理得，x和y的比值不一定，所以x和y不成正比例； （6），整理得（一定），x和y的比值一定，所以x和y成正比例。 2．中国载人空间站“天宫”在太空中绕地球飞行，其飞行情况记录如下。 时间/秒 1 2 3 4 … 路程/km 7.68 15.36 23.04 30.72 … (1)表格中( )和( )是两种相关联的量，路程随着( )的变化而变化。 (2)路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是( )，这个比值表示“天宫”飞行的( )。 (3)因为“天宫”飞行的( )一定，所以“天宫”飞行的( )和( )成( )比例。 【答案】(1) 时间 路程 时间 (2) 7.68 速度 (3) 速度 路程 时间 正 【分析】（1）表格中存在时间和路程两种量，路程随着时间的变化而变化，所以时间和路程是两种相关联的量，路程随时间的变化而变化。 （2）计算路程与时间相对应的比值，根据路程、时间和速度的关系即路程÷时间＝速度，发现比值都为7.68，这个比值表示天宫的飞行速度。 （3）因为路程与时间的比值（速度）一定，根据正比例关系的定义，当两种相关联的量的比值一定时，这两种量成正比例，所以天宫飞行的路程和时间成正比例。 【详解】（1）表格中时间和路程是两种相关联的量，路程随时间的变化而变化。 （2）路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是7.68，这个比值表示“天宫”飞行的速度。 （3）因为“天宫”飞行的速度一定，所以“天宫”飞行的路程和时间成正比例。 3．已知x和y成正比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 2 3 12 y 6.4 16 2 【答案】 x 2 3 5 0.625 12 y 6.4 9.6 16 0.8 2 38.4 【分析】根据正比例关系的性质，先求出x与y的比值（即比例系数），即用6.4除以2得到3.2，再利用该比值计算表格中缺失的数。 【详解】因为x和y成正比例，所以，代入 ，，得； 当时，； 当时，； 当时，； 当时； 当时， 填表如下： x 2 3 5 0.625 12 y 6.4 9.6 16 0.8 2 38.4 4．车轮的直径一定，车轮滚过的距离与转动的圈数成( )比例。 【答案】正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】车轮滚动一周的距离即车轮的周长，因为车轮的直径一定，根据圆的周长公式C=πd（C表示周长，d表示直径，π是圆周率），可知车轮的周长C是一定的。 车轮滚过的距离S等于转动的圈数n乘以周长C，即S=Cn，也就是车轮滚过的距离与转动的圈数的比值一定。 所以车轮滚过的距离与转动的圈数成正比例。 5．如图表示的是某款汽车行驶路程和耗油量之间的变化情况。根据图像判断，汽车行驶路程和耗油量成( )关系；5升汽油可以行驶( )千米。 【答案】 正 37.5 【分析】由于正比例的图像是一条直线，通过观察图像可知：汽车耗油量与所行路程成正比例关系；2升汽油可以行驶15千米，用2÷15即可求出每千米消耗的油量；进而求出5升汽油可以行驶的千米数。 【详解】由于正比例的图像是一条直线，通过观察图像可知：汽车行驶路程和耗油量成正关系。 5÷（2÷15） ＝5÷ ＝5× ＝37.5（千米） 5升汽油可以行驶37.5千米。 6．食堂买6桶花生油花了780元，照这样算，买9桶花生油要花多少钱？ (1)根据“照这样算”可知，买的花生油的( )一定，也就是说买的花生油的总价与数量的( )一定，所以花生油的总价与数量成( )比例关系。 (2)用比例知识解答，设买9桶花生油要花x元，列式为( )。 【答案】(1) 单价 比值 正 (2) 【分析】（1）根据题意，买6桶花生油花了780元，“照这样算”可知，买的花生油的单价一定，总价÷数量＝单价（一定），即买的花生油的总价与数量的比值一定，所以花生油的总价与数量成正比例关系； （2）根据花生油的总价与数量成正比例关系，列出比例方程，即可解答。 【详解】（1）根据“照这样算”可知，买的花生油的单价一定，也就是说买的花生油的总价与数量的比值一定，所以花生油的总价与数量成正比例关系。 （2）设买9桶花生油要花x元，列式为。 7．中国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日冕扫描，获得光谱的数量情况大约如下表。 扫描时长/秒 5 10 20 46 光谱数量/条 500 1000 2000 4600 (1)光谱数量随着扫描时长的增加而( )。 (2)计算比值：500∶5＝( )，1000∶10＝( )，2000∶20＝( )，4600∶46＝( )。 (3)发现光谱数量和扫描时长的( )一定，所以光谱数量和扫描时长成( )。 【答案】(1)增加 (2) 100 100 100 100 (3) 比值 正比例 【分析】观察数据变化，进行分析解答。观察数据可知，扫描时长越长，光谱数量越多，即光谱数量随着扫描时长的增加而增加；计算比值，用比的前项除以比的后项，计算出结果即可；两种相关联的量，一个量变化另一个量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此根据光谱数量÷扫描时长，进行分析。 【详解】（1）观察数据可知，扫描时长越长，光谱数量越多，即光谱数量随着扫描时长的增加而增加； （2）；；； 则；；； （3）光谱数量÷扫描时长＝100（一定） 则发现光谱数量和扫描时长的比值一定，所以光谱数量和扫描时长成正比例。 8．园园家用水量与水费总价的关系如下表。 用水量/吨 3.5 4 4.5 5 9 总价/元 7 8 9 10 18 (1)从上表可以看出，( )和( )是两种相关联的量。因为这两种量中对应的两个数的( )一定，即＝单价（一定），所以这两种量叫作( )的量。 (2)若某月园园家用水4.8吨，则要交水费( )元；若交水费17元，则用水( )吨。 【答案】(1) 总价 用水量 比值 成正比例 (2) 9.6 8.5 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化；如果这两种量中对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，用字母表示为：（一定），据此解答。 【详解】（1）由上表可以看出，总价随着用水量的变化而变化，因此，用水量和总价是两种相关联的量。 （一定），用水量与总价的比值一定，所以这两种量叫做成正比例的量。 （2）解：设若某月园园家用水4.8吨，则要交水费x元。 解：设若交水费17元，则用水y吨。 因此，若某月园园家用水4.8吨，则要交水费9.6元；若交水费17元，则用水8.5吨。 二、选择题 9．下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 【答案】A 【分析】相关联的量必须满足一个量变化，另一个量也随之变化的关系。根据这样的定义判断。 【详解】A.正方形面积＝边长×边长，正方形的面积随着边长的变化而变化，所以正方形的面积与边长是两个相关联的量。 B.人的身高与长相没有固定的数学依赖关系，人的身高不会随着长相变化而变化，所以人的身高与长相不是两个相关联的量。 C.自行车的款式与行驶的路程没有固定的数学依赖关系，自行车的款式不会随着行驶的路程变化而变化，所以自行车的款式与行驶的路程不是两个相关联的量。 D.天气和时间没有固定的数学依赖关系，天气不会随着时间变化而变化，所以天气与时间不是两个相关联的量。 故答案为：A 10．下面的说法不正确的是（    ）。 A．分母一定，分子和分数值成正比例。 B．一种产品的合格率是98%，不合格产品的数量和产品总量成正比例。 C．全校人数一定，出勤人数与出勤率成正比例。 D．园园今年5岁，妈妈30岁。园园母子的年龄成正比例。 【答案】D 【分析】判断两个相关联的量之间是否成正比例，就看这两个量是否对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例。 【详解】A.分母一定，分子÷分数值＝分母，这两个量是比值一定，所以分子和分数值成正比例，该选项正确； B.，这两个量比值一定，所以成正比例关系，该选项正确； C.出勤人数÷出勤率＝全校人数（一定），这两个量比值一定，所以成正比例，该选项正确； D.妈妈的年龄－园园的年龄＝年龄差（一定），这两个量差一定，所以既不是正比例也不是反比例，该选项错误。 故答案为：D 11．新趋势 图表信息 售卖蘑菇的质量与天数的情况如下图，下列说法不正确的是（    ）。（填序号） A．这是一个正比例图像 B．点（5，150）在这条直线上 C．7天可以售卖180kg蘑菇 D．售卖蘑菇的质量与天数成正比例 【答案】C 【分析】根据正比例关系定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x/y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断B、C、D选项。 根据正比例关系图像：从图像上看，成正比例关系的图像就像一条经过原点的直线。判断A选项。 【详解】A选项：根据（kg），（kg），……比值一定且是一条经过原点的直线，所以这是一个正比例图像，说法正确。 B选项：，与比值30相等，所以点（5，150）在这条直线上，说法正确。 C选项：（kg），所以7天可以售卖210kg蘑菇，说法错误。 D选项：售卖蘑菇的质量与天数的比值一定，成正比例，说法正确。 故答案为：C 12．下面各图表示的两种量成正比例的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】依据正比例的定义：两种相关联的量，若相对应的两个数的比值一定，则成正比例，其图像是过原点的直线。 【详解】A：表示“面积与边长”的关系，面积＝边长²，面积与边长的比值（边长）不是定值，图像是曲线，不成正比例； B：表示“宽与长”的关系，宽随长增大而减小，是反比例关系（或和一定），比值不定，图像是折线，不成正比例； C：表示“周长与边长”的关系，正方形周长＝边长×4，周长与边长的比值（4）是定值，图像是过原点的直线，成正比例。 故答案为：C 三、解答题 13．下表是底为9cm的三角形的面积与底边上的高相对应的数据。判断它们是否成正比例，并说明理由。 面积/ 4.5 9 18 27 高/cm 1 2 4 6 【答案】三角形的面积与底边上的高成正比例。因为三角形的面积随着高的增大而增大，且三角形的面积与底边上的高的比值一定，都是4.5。 【分析】根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断两个量是否成正比例，即判断两个量的比值是否一定。 【详解】观察表格数据，随着高的增大，三角形的面积也随之增大，计算面积与高的比值，；；；，比值均为4.5，是一定的。 答：三角形的面积与底边上的高成正比例。因为三角形的面积随着高的增大而增大，且三角形的面积与底边上的高的比值一定，都是4.5。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.2讲 正比例的意义 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解正比例的意义，能正确判断两个量是否成正比例关系。 （2）掌握正比例关系的特征，理解"比值一定"是正比例的本质特征。 （3）能用正比例的知识解决简单的实际问题。 （4）初步感受函数思想，为中学学习正比例函数奠定基础。 2、重难点。 重点 ：理解正比例的意义，掌握判断两个量是否成正比例的方法。 难点 ：理解"比值一定"是正比例关系的本质特征，能区分正比例与其他数量关系。 模块二 预习引导 一、从生活实例认识正比例 情境1：购买苹果 小明去水果店买苹果，苹果的单价是5元/千克。 苹果重量（千克） 1 2 3 4 5 总价（元） 5 10 15 20 25 观察表格，你发现了什么规律？苹果重量增加，总价也增加 总价÷重量= 5（元/千克），比值保持不变 情境2：匀速运动 小华骑自行车匀速前进，速度是15千米/时。 时间（时） 1 2 3 4 5 路程（千米） 15 30 45 60 75 观察表格，你又发现了什么规律？时间增加，路程也增加 路程÷时间 = 15（千米/时），比值保持不变 二、正比例的意义 1、正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2、正比例关系的表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示： （一定）或 （k一定）其中k叫做比例系数。 三、正比例的特征 1、两个基本特征： （1）两种量是相关联的量（一种量变化，另一种量也随着变化） （2）相对应的两个数的比值一定 2、变化规律： 当k > 0时，一种量增加，另一种量也增加；一种量减少，另一种量也减少，两种量的变化方向相同（同增同减）。 四、判断正比例关系的方法 判断步骤：看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量也变化），看相对应的两个数的比值是否一定，如果比值一定，就成正比例；如果比值不一定，就不成正比例。 常见的正比例关系：单价一定，总价和数量成正比例；速度一定，路程和时间成正比例；每小时工作量一定，工作总量和工作时间成正比例；长方形的宽一定，面积和长成正比例。 五、正比例的应用 利用正比例关系可以解决很多实际问题：根据单价和数量求总价，根据速度和时间求路程，根据已知的一组对应值，求另一组对应值。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．x，y均大于0，在括号里填“成”或“不成”。 (1)，x和y( )正比例。 (2)x2y＝10，x和y( )正比例。 (3)3x4y＝0，x和y( )正比例。 (4)x＋y＝7，x和y( )正比例。 (5)10÷x＝y，x和y( )正比例。 (6)7x＝8y，x和y( )正比例。 2．中国载人空间站“天宫”在太空中绕地球飞行，其飞行情况记录如下。 时间/秒 1 2 3 4 … 路程/km 7.68 15.36 23.04 30.72 … (1)表格中( )和( )是两种相关联的量，路程随着( )的变化而变化。 (2)路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是( )，这个比值表示“天宫”飞行的( )。 (3)因为“天宫”飞行的( )一定，所以“天宫”飞行的( )和( )成( )比例。 3．已知x和y成正比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 2 3 12 y 6.4 16 2 4．车轮的直径一定，车轮滚过的距离与转动的圈数成( )比例。 5．如图表示的是某款汽车行驶路程和耗油量之间的变化情况。根据图像判断，汽车行驶路程和耗油量成( )关系；5升汽油可以行驶( )千米。 6．食堂买6桶花生油花了780元，照这样算，买9桶花生油要花多少钱？ (1)根据“照这样算”可知，买的花生油的( )一定，也就是说买的花生油的总价与数量的( )一定，所以花生油的总价与数量成( )比例关系。 (2)用比例知识解答，设买9桶花生油要花x元，列式为( )。 7．中国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日冕扫描，获得光谱的数量情况大约如下表。 扫描时长/秒 5 10 20 46 光谱数量/条 500 1000 2000 4600 (1)光谱数量随着扫描时长的增加而( )。 (2)计算比值：500∶5＝( )，1000∶10＝( )，2000∶20＝( )，4600∶46＝( )。 (3)发现光谱数量和扫描时长的( )一定，所以光谱数量和扫描时长成( )。 8．园园家用水量与水费总价的关系如下表。 用水量/吨 3.5 4 4.5 5 9 总价/元 7 8 9 10 18 (1)从上表可以看出，( )和( )是两种相关联的量。因为这两种量中对应的两个数的( )一定，即＝单价（一定），所以这两种量叫作( )的量。 (2)若某月园园家用水4.8吨，则要交水费( )元；若交水费17元，则用水( )吨。 二、选择题 9．下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 10．下面的说法不正确的是（    ）。 A．分母一定，分子和分数值成正比例。 B．一种产品的合格率是98%，不合格产品的数量和产品总量成正比例。 C．全校人数一定，出勤人数与出勤率成正比例。 D．园园今年5岁，妈妈30岁。园园母子的年龄成正比例。 11．售卖蘑菇的质量与天数的情况如下图，下列说法不正确的是（    ）。（填序号） A．这是一个正比例图像 B．点（5，150）在这条直线上 C．7天可以售卖180kg蘑菇 D．售卖蘑菇的质量与天数成正比例 12．下面各图表示的两种量成正比例的是（    ）。 A．B． C． 三、解答题 13．下表是底为9cm的三角形的面积与底边上的高相对应的数据。判断它们是否成正比例，并说明理由。 面积/ 4.5 9 18 27 高/cm 1 2 4 6 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $