第3.1讲 比例的意义和基本性质(导学案)六年级数学寒假自学课（青岛版）

第3.1讲 比例的意义和基本性质 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解比例的意义，能正确判断两个比是否能组成比例。 （2）掌握比例的基本性质，理解内项积等于外项积的规律。 （3）能运用比例的基本性质解比例，掌握解比例的基本步骤。 （4）能够运用比例知识解决生活中的实际问题。 2、重难点。 重点 ：理解比例的意义，掌握比例的基本性质和解比例的方法。 难点 ：运用比例的基本性质将比例转化为方程进行求解。 模块二 预习引导 一、比例的意义 1、比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。如：2:3 = 4:6 或 2、比例的各部分名称： 在比例 a:b = c:d 中，a和d叫做比例的外项，b和c叫做比例的内项。 3、判断两个比能否组成比例的方法： 计算两个比的比值，如果比值相等，就能组成比例；如果比值不相等，就不能组成比例。 二、比例的基本性质 1、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 即：如果 a:b = c:d，那么 ad = bc（其中b≠0，d≠0） 2、性质的理解：这个性质是解比例的重要依据，可以用这个性质来验证比例是否正确，利用这个性质可以将比例转化为方程。 三、解比例 1、解比例的定义：求比例中未知项的过程叫做解比例。 2、解比例的步骤： （1）根据比例的基本性质，把比例转化为方程 （2）解这个方程 （3）检验（将求得的解代入原比例验证） 3、解比例的示例： 解比例：x : 8 = 3 : 4 解：根据比例的基本性质得：4x = 8×3 4x = 24 x = 6 检验：6 : 8 = 3 : 4 ✓ 四、比例的应用 比例在实际生活中有广泛应用：地图比例尺、工程问题中的效率比、购物中的价格比等。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．如图，组成比例的四个数，叫做比例的( )，两端的两项叫做比例的( )，中间的两项叫做比例的( )。 【答案】 项 外项 内项 【分析】根据比例的各部分名称解答即可。在比例中，组成比例的四个数叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，例如图中的3和4；中间的两项叫做比例的内项，例如图中的2和6。 【详解】由分析可得，组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 2．表示两个比相等的式子叫作( )，要根据比例的意义判断两个比能否组成比例。 【答案】比例 【详解】根据比例的意义可知，表示两个比相等的式子叫作比例，要根据比例的意义判断两个比能否组成比例。 如：1∶2和3∶6； 1∶2＝ 3∶6＝ 因为＝，所以1∶2和3∶6能组成比例，即1∶2＝3∶6。 3．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是 。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；乘积是1的两个数互为倒数；两个外项互为倒数，即两个外项之积等于1，则两个内项之积等于1，由此求出另一个内项，据此解答。 【详解】1÷ ＝1× ＝ 在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是。 4．下图中小红身高与小树高的比是( )，小红影长与小树影长的比是( )，组成比例是( )，还可以组成比例( )。             【答案】 3∶4 3∶4 0.9∶1.2＝1.5∶2 1.5∶0.9＝2∶1.2 【分析】根据比的意义：两个量相除，叫做两个量的比。用小红的身高∶小树的高，小红影长∶小树影长，化简即可； 再根据比例的意义：表示两个比值相等的比，叫做比例，用小红的身高∶小树的高＝小红的影长∶小树的影长，也可以用小红的身高∶小红的影长＝小树的高∶小树的影长，据此解答（答案不唯一）。 【详解】1.5∶2 ＝（1.5×10）∶（2×10） ＝15∶20 ＝（15÷5）∶（20÷5） ＝3∶4 0.9∶1.2 ＝（0.9×10）∶（1.2×10） ＝9∶12 ＝（9÷3）∶（12÷3） ＝3∶4 0.9∶1.2＝1.5∶2 1.5∶0.9＝2∶1.2 小红身高与小树高的比是3∶4，小红影长与小树影长的比是3∶4，组成比例是0.9∶1.2＝1.5∶2，还可以组成比例1.5∶0.9＝2∶1.2。 5．如果a×2＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )。 【答案】 5 2 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，据此解答。 【详解】因为a×2＝b×5，2a＝5b，则：A∶B＝5∶2 【点睛】此题考查比例的性质和应用。 6．如图，解比例的过程中第一步的依据是( )的基本性质，第二步的依据是( )的基本性质。 3∶x＝2∶6 解：2x＝18 2x÷2＝18÷2 x＝9 【答案】 比例 等式 【分析】比例的基本性质是指“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，而解比例的关键就是先把比例式转化为乘积式，进而解方程得解；据此判断。 【详解】由分析可得：解比例的过程中第一步的依据是比例的基本性质，第二步的依据是等式的基本性质。 7．一个比例中，两个外项的积是28，其中一个内项是，另一个内项是( )。 【答案】112 【分析】根据比例的基本性质：两个内项的乘积＝两个外项的乘积，所以两个内项的乘积也是28，用28÷，即可解答。 【详解】28÷＝28×4＝112 所以一个比例中，两个外项的积是28，其中一个内项是，另一个内项是112。 8．已知a、b、c、d均大于0，请根据，把下面的比例补充完整。 a∶b＝( )∶( )，c∶d＝( )∶( )。 【答案】 8 10 12 16 【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，，则8b＝10a，a和10同时为比例的外项，b和8同时为比例的内项，同理，，则12d＝16c，c和16同时为比例的外项，d和12同时为比例的内项，据此解答。 【详解】分析可知，，则8b＝10a，12d＝16c，所以a∶b＝8∶10，c∶d＝12∶16。 9．若3x＝4y（x、y均不为0），则x∶y＝( )∶( )，y∶x＝( )∶( )。 【答案】 4 3 3 4 【分析】比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积。根据比例的基本性质，要得到x∶y的形式，可将x看作比例的一个外项，y看作比例的一个内项。因为3x＝4y，所以与x相乘的3就是比例的另一个外项，与y相乘的4就是比例的另一个内项，由此可写出比例x∶y＝4∶3。 要得到y∶x的形式，将y看作比例的一个外项，x看作比例的一个内项，那么与y相乘的4就是比例的另一个外项，与x相乘的3就是比例的另一个内项，所以可写出比例y∶x＝3∶4。 【详解】由分析得：若3x＝4y（x、y均不为0），则x∶y＝4∶3，y∶x＝3∶4。 二、选择题 10．已知一个比例的两个外项的积是50，两个内项不可能是（    ）。 A．25和2 B．100和0.5 C．26和24 D．和 【答案】C 【分析】在比例里，两个外项之积等于两个内项之积，计算出每个选项中两个数的积，如果两个数的积等于50，则这两个数是比例的内项，如果不等于50，不是比例的内项。据此逐项解答。 【详解】A．25×2＝50，所以25和2是比例的两个内项； B．100×0.5＝50，所以100和0.5是比例的两个内项； C．26×24＝624，624≠50，26和24不是比例的内项； D．＝50，所以和是比例的两个内项。 故答案为：C 11．能与0.15∶0.1组成比例的是（    ）。 A．∶ B．0.3∶2 C．2∶3 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】0.15∶0.1＝0.15÷0.1＝1.5 A．∶＝÷＝×3＝1.5，比值相等，能与0.15∶0.1组成比例； B．0.3∶2＝0.3÷2＝0.15，0.15≠1.5，比值不相等，不能组成比例； C．2∶3＝2÷3＝，≠1.5，比值不相等，不能组成比例。 故答案为：A 三、计算题 12．下列哪组的两个比可以组成比例？说说判断理由，写出组成的比例。 12∶18和24∶36        ∶和0.5∶2        ∶和∶ 【答案】12∶18和24∶36能组成比例，组成的比例为：12∶18＝24∶36； ∶和∶能组成比例，组成的比例为：∶＝∶ 【分析】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，据此解答。 【详解】（1）12∶18和24∶36 12×36＝432，18×24＝432，所以能组成比例，组成的比例为：12∶18＝24∶36； （2）∶和0.5∶2 ×≠0.5×2，因此∶和0.5∶2所以不能组成比例； （3） ∶和∶ ×＝，×＝，所以能组成比例，组成的比例为：∶＝∶。 【点睛】本题主要考查比例的基本性质的应用。 13．解比例。 3∶8＝24∶               ∶＝∶             ＝ 【答案】＝64；＝；＝3 【分析】（1）先根据比例的基本性质把比例方程改写成3＝8×24，然后方程两边同时除以3，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成＝×，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质把比例方程改写成28＝12×7，然后方程两边同时除以28，求出方程的解。 【详解】（1）3∶8＝24∶ 解：3＝8×24 3＝192 3÷3＝192÷3 ＝64 （2）∶＝∶ 解：＝× ＝1 ÷＝1÷ ＝1× ＝ （3）＝ 解：28＝12×7 28＝84 28÷28＝84÷28 ＝3 四、解答题 14．下面是某超市苹果的销售数量和总价统计表。 数量（千克） 2 3 4 5 6 总价（元） 8.4 12.6 16.8 21 25.2 单价（元/千克） （1）把上表填完整。 （2）根据上面的结果写出一个比例。 （3）算一算，如果买10千克苹果，要花多少元？ 【答案】（1）见详解 （2）8.4∶2＝12.6∶3 （3）42元 【分析】（1）根据单价＝总价÷数量，代入数据计算即可解答； （2）比例表示两个比相等的式子。因为单价＝总价÷数量，且计算可知表格中苹果单价始终为4.2元/千克，即总价与数量的比值固定。比如选取8.4元2千克和12.6元3千克这两组数据，列出比例为：8.4∶2＝12.6∶3，也可选其他总价、数量组合写比例，只要比值相等即可； （3）用数量×单价，即可求出总价，据此解答。 【详解】（1）8.4÷2＝4.2（元/千克） 12.6÷3＝4.2（元/千克） 16.8÷4＝4.2（元/千克） 21÷5＝4.2（元/千克） 25.2÷6＝4.2（元/千克） 填表如下： 数量（千克） 2 3 4 5 6 总价（元） 8.4 12.6 16.8 21 25.2 单价（元/千克） 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 （2）由分析可得： 8.4÷2＝4.2（元/千克） 12.6÷3＝4.2（元/千克） 答：写出比例为8.4∶2＝12.6∶3。 （3）4.2×10＝42（元） 答：要花42元。 15．两个比的比值都是，它们组成的比例的外项分别是和，请你写出一个符合要求的比例。 【答案】∶＝∶或∶＝∶ 【分析】已知两个比的比值都是，它们组成的比例的外项分别是和，前一个比不知比的后项，后一个比不知比的前项，根据“比值＝前项∶后项”可知，比的后项＝前项÷比值，比的前项＝比值×后项；据此解答。 【详解】情况一：当是第一个比的前项，是第二个比的后项时； 第一个比的后项是：÷＝×＝ 第二个比的前项是：×＝ 这个比例是∶＝∶。 情况二：当是第一个比的前项，是第二个比的后项时； 第一个比的后项是：÷＝×＝ 第二个比的前项是：×＝ 这个比例是∶＝∶。 两个比的比值都是，它们组成的比例的外项分别是和，这个比例是∶＝∶或∶＝∶。 16．已知一个比例里两个内项的和是43，差是17，两个比的比值都是3，请你写出符合条件的比例。 【答案】；39∶13＝30∶10。 【分析】比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。先假设另一个内项的值为x，根据题目的数量关系列出等式并求解，那么较大的内项是30。再用减法求出较小的内项的值为13。两个比的比值是3，如果30是第一个比的内项，用第一个内项乘3即可求出第一个比的外项，再用第二个内项除以3求出第二个外项的值；如果13是第一个比的内项，用第一个内项乘3即可求出第一个比的外项，再用第二个内项除以3求出第二个外项的值。 【详解】解：设其中一个较大的内项是x，则另一个内项是（43－x）。 x－（43－x）＝17     x－43＋x＝17 2x－43＝17 2x－43＋43＝17＋43 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 43－30＝13 所以这两个内项分别是30和13。 ①   此时组成的比例是。 ②13×3＝39   30÷3＝10 此时组成的比例是39∶13＝30∶10 符合条件的比例有和39∶13＝30∶10。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.1讲 比例的意义和基本性质 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解比例的意义，能正确判断两个比是否能组成比例。 （2）掌握比例的基本性质，理解内项积等于外项积的规律。 （3）能运用比例的基本性质解比例，掌握解比例的基本步骤。 （4）能够运用比例知识解决生活中的实际问题。 2、重难点。 重点 ：理解比例的意义，掌握比例的基本性质和解比例的方法。 难点 ：运用比例的基本性质将比例转化为方程进行求解。 模块二 预习引导 一、比例的意义 1、比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。如：2:3 = 4:6 或 2、比例的各部分名称： 在比例 a:b = c:d 中，a和d叫做比例的外项，b和c叫做比例的内项。 3、判断两个比能否组成比例的方法： 计算两个比的比值，如果比值相等，就能组成比例；如果比值不相等，就不能组成比例。 二、比例的基本性质 1、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 即：如果 a:b = c:d，那么 ad = bc（其中b≠0，d≠0） 2、性质的理解：这个性质是解比例的重要依据，可以用这个性质来验证比例是否正确，利用这个性质可以将比例转化为方程。 三、解比例 1、解比例的定义：求比例中未知项的过程叫做解比例。 2、解比例的步骤： （1）根据比例的基本性质，把比例转化为方程 （2）解这个方程 （3）检验（将求得的解代入原比例验证） 3、解比例的示例： 解比例：x : 8 = 3 : 4 解：根据比例的基本性质得：4x = 8×3 4x = 24 x = 6 检验：6 : 8 = 3 : 4 四、比例的应用 比例在实际生活中有广泛应用：地图比例尺、工程问题中的效率比、购物中的价格比等。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．如图，组成比例的四个数，叫做比例的( )，两端的两项叫做比例的( )，中间的两项叫做比例的( )。 2．表示两个比相等的式子叫作( )，要根据比例的意义判断两个比能否组成比例。 3．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是 。 4．下图中小红身高与小树高的比是( )，小红影长与小树影长的比是( )，组成比例是( )，还可以组成比例( )。             5．如果a×2＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )。 6．如图，解比例的过程中第一步的依据是( )的基本性质，第二步的依据是( )的基本性质。 3∶x＝2∶6 解：2x＝18 2x÷2＝18÷2 x＝9 7．一个比例中，两个外项的积是28，其中一个内项是，另一个内项是( )。 8．已知a、b、c、d均大于0，请根据，把下面的比例补充完整。 a∶b＝( )∶( )，c∶d＝( )∶( )。 9．若3x＝4y（x、y均不为0），则x∶y＝( )∶( )，y∶x＝( )∶( )。 二、选择题 10．已知一个比例的两个外项的积是50，两个内项不可能是（    ）。 A．25和2 B．100和0.5 C．26和24 D．和 11．能与0.15∶0.1组成比例的是（    ）。 A．∶ B．0.3∶2 C．2∶3 三、计算题 12．下列哪组的两个比可以组成比例？说说判断理由，写出组成的比例。 12∶18和24∶36        ∶和0.5∶2        ∶和∶ 13．解比例。 3∶8＝24∶               ∶＝∶             ＝ 四、解答题 14．下面是某超市苹果的销售数量和总价统计表。 数量（千克） 2 3 4 5 6 总价（元） 8.4 12.6 16.8 21 25.2 单价（元/千克） （1）把上表填完整。 （2）根据上面的结果写出一个比例。 （3）算一算，如果买10千克苹果，要花多少元？ 15．两个比的比值都是，它们组成的比例的外项分别是和，请你写出一个符合要求的比例。 16．已知一个比例里两个内项的和是43，差是17，两个比的比值都是3，请你写出符合条件的比例。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $