第3.4讲 用比例知识解决问题(导学案)六年级数学寒假自学课（青岛版）

第3.4讲 用比例知识解决问题 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 （1）能运用正比例和反比例的知识解决简单的实际问题。 （2）掌握按比例分配问题的解题方法，能灵活运用。 （3）能根据题目条件判断数量关系，选择合适的比例知识解决问题。 （4）培养分析问题、解决问题的能力，增强应用数学的意识。 2、重难点 重点 ：掌握用正比例、反比例和按比例分配解决实际问题的方法。 难点 ：正确判断题目中数量之间的关系，选择合适的解题策略。 模块二 预习引导 一、用正比例知识解决问题 解题步骤： 判断题目中的两个量是否成正比例关系，找出已知的一组对应值，设未知数，列出比例式，解比例，检验并答题。 典型例题： 汽车2小时行驶120千米，照这样的速度，5小时能行驶多少千米？ 分析： 速度一定，路程和时间成正比例关系 解法： 设5小时能行驶x千米 2x = 120×5 2x = 600 x = 300 答：5小时能行驶300千米。 二、用反比例知识解决问题 解题步骤：判断题目中的两个量是否成反比例关系，找出已知的一组对应值，设未知数，列出比例式，解比例，检验并答题。 典型例题： 一批零件，每小时加工20个，15小时完成。如果每小时加工30个，几小时能完成？ 分析： 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系 解法： 设x小时能完成 300 = 30x x = 10 答：10小时能完成。 三、解决比例问题的策略 1. 判断数量关系的方法： 关系类型 判断标准 常见情况 正比例 比值一定 单价一定时，总价与数量；速度一定时，路程与时间 反比例 乘积一定 总价一定时，单价与数量；路程一定时，速度与时间 按比例分配 各部分的比确定 按一定比例分配总量 2. 解题注意事项： 仔细读题，找出题目中的数量关系 判断是否存在"一定"的量 正确设未知数，列出等式 解题后要检验答案的合理性 四、综合应用 在实际问题中，有时需要综合运用多种比例知识：先用按比例分配求出各部分，再用正比例或反比例解决后续问题，注意单位统一和数据的合理性。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．12颗草莓可以和4个苹果互换。96颗草莓可以换( )个苹果。 【答案】32 【分析】两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出草莓与苹果的数量比12∶4，设96颗草莓可以换x个苹果，根据草莓数量∶苹果数量＝12∶4，列出比例求出x的值即可。 【详解】解：设96颗草莓可以换x个苹果。 96∶x＝12∶4 12x＝96×4 12x＝384 12x÷12＝384÷12 x＝32 96颗草莓可以换32个苹果。 二、解答题 2．A、B两地相距240千米，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 行驶时间/时 2 3 4 5 6 8 … 每小时行驶的路程/千米 … （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用数量关系式表示它与行驶时间和速度的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 【答案】表格见详解 （1）240 （2）路程；路程＝速度×时间 （3）成反比例；原因见详解 【分析】根据每小时行驶的路程＝ A、B两地相距240千米÷行驶时间，据此完成表格即可； （1）将相对应的两个数相乘分别求出它们的乘积即可； （2）这个乘积表示路程，根据路程、速度和时间之间的关系解答即可； （3）两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且它们乘积一定，则这两个量成反比例；若它们的比值一定，则这两个量成正比例。。 【详解】240÷2＝120，240÷3＝80，240÷4＝60，240÷5＝48，240÷6＝40，240÷8＝30 表格如下： 行驶时间/时 2 3 4 5 6 8 … 每小时行驶的路程/千米 120 80 60 48 40 30 … （1）2×120＝240，3×80＝240，4×60＝240，5×48＝240，6×40＝240，8×30＝240 相对应的两个数的乘积都是240。 （2）这个乘积表示路程，路程＝速度×时间； （3）因为时间×速度＝路程（一定），积一定，行驶时间和速度成反比例。 3．东风－41是我国研发的洲际弹道导弹，它的飞行速度非常快，3分钟大约能飞行1500千米。照这样计算，飞行10000千米大约需要多长时间？ 【答案】20分钟 【分析】由题可知，3分钟大约能飞行1500千米，照这样计算，说明洲际弹道导弹的速度一定，即洲际弹道导弹的飞行路程与飞行时间成正比例，设飞行10000千米大约需要x分钟，列正比例方程即可解答。 【详解】解：设飞行10000千米大约需要x分钟。 3∶1500＝x∶10000   1500x＝3×10000 1500x＝30000 1500x÷1500＝30000÷1500 x＝20 答：飞行10000千米大约需要20分钟。 4．某天，亮亮测得一棵松树的高度和它的影子长度（如下图）。同一时刻他还测得另一棵大树的影子长度比这棵松树的影子长8米，这棵大树高多少米？ 【答案】11.2米 【分析】在同一时间、同一地点，不同物体的高度和它的影长的比值是一定的，此题用正比例知识解答，这棵大树的高度∶大树的影长＝松树的高度∶松树的影长，据此解答。 【详解】解：设这棵大树高x米。 x∶（6＋8）＝4.8∶6 x∶14＝4.8∶6 6x＝14×4.8 6x＝67.2 6x÷6＝67.2÷6 x＝11.2 答：这棵大树高11.2米。 5．中国凉都当雄县以“凉爽”而倍受欢迎，在这里可以品春茶雅韵，尝暖心羊肉，各地游客纷至沓来。如表所示为XX羊肉粉馆的小碗羊肉粉销量和销售额。 日期 6月8日 6月9日 6月10日 销量/碗 360 520 ？ 销售额/元 3960 5720 5280 6月10日这家羊肉粉馆的小碗羊肉粉销售了多少碗？（用比例解答） 【答案】480碗 【分析】小碗羊肉粉的单价是固定的，根据“单价＝销售额÷销量”，可知销售额与销量成正比例关系。设6月10日这家羊肉粉馆的小碗羊肉粉销售了x碗，根据正比例关系列出比例式解答即可。 【详解】解：设6月10日这家羊肉粉馆的小碗羊肉粉销售了x碗。 3960∶360＝5280∶x 3960x＝360×5280 3960x＝1900800 3960x÷3960＝1900800÷3960 x＝480 答：6月10日这家羊肉粉馆的小碗羊肉粉销售了480碗。 6．学校用方砖铺会议室的地面。原来打算用面积0.25平方米的方砖，需要540块。现在改用面积0.36平方米的方砖，需要多少块？ 【答案】375块 【分析】由题意可知：每块方砖的面积×方砖的块数＝会议室的面积（一定），所以每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，设改用面积是0.36平方米的方砖来铺，需要x块，根据每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系列出比例求解即可。 【详解】解：设改用面积是0.36平方米的方砖来铺，需要x块。 0.25×540＝0.36x 0.36x＝135 0.36x÷0.36＝135÷0.36 x＝375 答：需要375块。 7．一个足球是用12块黑皮和20块白皮缝制而成的，王师傅在缝制过程中一共用了60块黑皮，那么相应地用了多少块白皮？（用比例解答） 【答案】100块 【分析】根据题意，黑皮的数量比和白皮的数量比会相等。将白皮数量设为未知数，从而列出比例。将比例写成一般方程，等式两边同时除以12，解出未知数即可。 【详解】解：设相应地用了x块白皮。 答：相应地用了100块白皮。 8．美美手机超市门口放着一个按20∶1的比制作的手机模型。这个手机模型的高度是1.6米，手机的实际长度是多少厘米？（用比例方法解答） 【答案】8厘米 【分析】将手机的实际长度设为x厘米，根据“模型高度∶实际高度＝20∶1”列出比例。将比例改写成一般方程，再根据等式的性质，将等式两边同时除以20，求出手机的实际长度。 【详解】解：设手机的实际长度是x厘米。 1.6米＝160厘米 160∶x＝20∶1 20x＝160 20x÷20＝160÷20 x＝8 答：手机的实际长度是8厘米。 9．一辆汽车行驶30千米耗油4升，照这样计算，这辆汽车从甲地到乙地耗油45升，甲、乙两地相距多少千米？（用比例的方法解答） 【答案】337.5千米 【分析】根据题意可知：这辆车每千米耗油量不变，即耗油量÷总路程＝每千米耗油量（一定），比值一定，那么耗油量与行驶的总路程成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解即可。 【详解】解：设甲、乙两地相距x千米。 4∶30＝45∶x 4x＝30×45 4x＝1350 4x÷4＝1350÷4 x＝337.5 答：甲、乙两地相距337.5千米。 10．一棵15米高的树在太阳底下的影长为10米，在同一时刻和地点，小明直立站在树旁边，小明的影长为0.8米，小明的身高是多少？（用比例解） 【答案】1.2米 【分析】在同一时刻和地点的太阳光下，物体的高度与影长成正比例关系，据此列出比例方程进行解答即可。 【详解】解：设小明的身高是x米。 答：小明的身高是1.2米。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.4讲 用比例知识解决问题 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 （1）能运用正比例和反比例的知识解决简单的实际问题。 （2）掌握按比例分配问题的解题方法，能灵活运用。 （3）能根据题目条件判断数量关系，选择合适的比例知识解决问题。 （4）培养分析问题、解决问题的能力，增强应用数学的意识。 2、重难点 重点 ：掌握用正比例、反比例和按比例分配解决实际问题的方法。 难点 ：正确判断题目中数量之间的关系，选择合适的解题策略。 模块二 预习引导 一、用正比例知识解决问题 解题步骤： 判断题目中的两个量是否成正比例关系，找出已知的一组对应值，设未知数，列出比例式，解比例，检验并答题。 典型例题： 汽车2小时行驶120千米，照这样的速度，5小时能行驶多少千米？ 分析： 速度一定，路程和时间成正比例关系 解法： 设5小时能行驶x千米 2x = 120×5 2x = 600 x = 300 答：5小时能行驶300千米。 二、用反比例知识解决问题 解题步骤：判断题目中的两个量是否成反比例关系，找出已知的一组对应值，设未知数，列出比例式，解比例，检验并答题。 典型例题： 一批零件，每小时加工20个，15小时完成。如果每小时加工30个，几小时能完成？ 分析： 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系 解法： 设x小时能完成 300 = 30x x = 10 答：10小时能完成。 三、解决比例问题的策略 1. 判断数量关系的方法： 关系类型 判断标准 常见情况 正比例 比值一定 单价一定时，总价与数量；速度一定时，路程与时间 反比例 乘积一定 总价一定时，单价与数量；路程一定时，速度与时间 按比例分配 各部分的比确定 按一定比例分配总量 2. 解题注意事项： 仔细读题，找出题目中的数量关系 判断是否存在"一定"的量 正确设未知数，列出等式 解题后要检验答案的合理性 四、综合应用 在实际问题中，有时需要综合运用多种比例知识：先用按比例分配求出各部分，再用正比例或反比例解决后续问题，注意单位统一和数据的合理性。 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．12颗草莓可以和4个苹果互换。96颗草莓可以换( )个苹果。 二、解答题 2．A、B两地相距240千米，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 行驶时间/时 2 3 4 5 6 8 … 每小时行驶的路程/千米 … （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用数量关系式表示它与行驶时间和速度的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 3．东风－41是我国研发的洲际弹道导弹，它的飞行速度非常快，3分钟大约能飞行1500千米。照这样计算，飞行10000千米大约需要多长时间？ 4．某天，亮亮测得一棵松树的高度和它的影子长度（如下图）。同一时刻他还测得另一棵大树的影子长度比这棵松树的影子长8米，这棵大树高多少米？ 5．中国凉都当雄县以“凉爽”而倍受欢迎，在这里可以品春茶雅韵，尝暖心羊肉，各地游客纷至沓来。如表所示为XX羊肉粉馆的小碗羊肉粉销量和销售额。 日期 6月8日 6月9日 6月10日 销量/碗 360 520 ？ 销售额/元 3960 5720 5280 6月10日这家羊肉粉馆的小碗羊肉粉销售了多少碗？（用比例解答） 6．学校用方砖铺会议室的地面。原来打算用面积0.25平方米的方砖，需要540块。现在改用面积0.36平方米的方砖，需要多少块？ 7．一个足球是用12块黑皮和20块白皮缝制而成的，王师傅在缝制过程中一共用了60块黑皮，那么相应地用了多少块白皮？（用比例解答） 8．美美手机超市门口放着一个按20∶1的比制作的手机模型。这个手机模型的高度是1.6米，手机的实际长度是多少厘米？（用比例方法解答） 9．一辆汽车行驶30千米耗油4升，照这样计算，这辆汽车从甲地到乙地耗油45升，甲、乙两地相距多少千米？（用比例的方法解答） 10．一棵15米高的树在太阳底下的影长为10米，在同一时刻和地点，小明直立站在树旁边，小明的影长为0.8米，小明的身高是多少？（用比例解） 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $