专题7.2 幂的乘方与积的乘方（知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年苏科版（2024）数学七年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦幂的乘方与积的乘方核心知识点，系统梳理幂的乘方“底数不变、指数相乘”及积的乘方“各因式分别乘方再相乘”法则，前承同底数幂乘法（指数相加），后接整式乘除，通过知识荟萃、题型讲练与分层训练构建完整学习支架。 资料设计亮点突出，通过对比辨析幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算差异培养抽象能力，设置逆用题型（如已知a^m、a^n求数量关系）提升运算能力，结合地球表面积计算等实际问题发展应用意识。分层训练兼顾基础夯实与培优拔高，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

专题7.2 幂的乘方与积的乘方 （知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：幂的乘方法则 1 知识点梳理02：积的乘方法则 2 题型讲练 2 题型1：幂的乘方运算 2 题型2：幂的乘方的逆用 3 题型3：积的乘方运算 4 题型4：积的乘方的逆用 6 中考真题 7 分层训练 9 基础夯实 9 培优拔高 12 知识点梳理01：幂的乘方法则 底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点梳理02：积的乘方法则 把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型1：幂的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了幂的乘方； （1）根据幂的乘方法则进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方法则进行计算即可求解． 【规范解答】解：（1）； （2）． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （）； （）； （）； （）． 括号内依次填入 、 、 、 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：（）； （）； （）； （）； 故答案为：，，，． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）球体表面积的计算公式为．地球可近似的看成一个球体，其半径r约为，那么地球的表面积约为多少平方米？（取） 【答案】 地球的表面积约为 平方米． 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方，把地球的半径代入公式计算，即可得到地球的表面积． 【规范解答】解：地球的表面积约为 (平方米)， 答：地球的表面积约为 平方米． 题型2：幂的乘方的逆用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）我们知道还可以用怎样的式子来表示？请说出你这样表示的依据． 【答案】或（合理即可） 【思路点拨】本题考查幂的运算（幂的乘方、同底数幂乘法），运用了公式逆用的方法，解题关键是掌握幂的运算公式，易错点是混淆幂的乘方与同底数幂乘法的法则． 【规范解答】解：还可以表示为，依据幂的乘方法则： 这里，，； 也可表示为，依据同底数幂乘法法则： . 【变式训练1】（24-25七年级下·四川南充·期中）若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为： 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·月考）在幂的运算中规定：若且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题：已知，，若，求m，n满足的数量关系． 【答案】 【思路点拨】题目主要考查有理数的乘方运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意得出，再由同底数幂相乘即可得出结果． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3：积的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，正确应为 (2)不正确，正确应为 (3)不正确，正确应为 (4)不正确，正确应为 【思路点拨】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此可根据积的乘方“每个因式都乘方，然后把结果相乘”进行求解（1）（2）（3）（4）． 【规范解答】（1）解：计算不正确，正确过程如下： ； （2）解：计算不正确，正确过程如下： ； （3）解：计算不正确，正确过程如下： ； （4）解：计算不正确，正确过程如下： ． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【答案】(1)①225，225②36,36 (2) (3)，理由见解析 (4) 【思路点拨】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据（1）中的计算结果猜想即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义证明即可； （4）利用以上得到的结论计算即可． 【规范解答】（1）解：计算下面两组算式：①；． ②； （2）解：根据（1）计算结果猜想：； （3）解：当n为正整数时，． 理由：当n为正整数时，． 即：当n为正整数时，． （4）解：． 【变式训练2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：第n个单项式为，然后作答即可． 【规范解答】解： 第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 第5项：， 第n项为． 故选A． 题型4：积的乘方的逆用 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了积的乘方运算． 逆用积的乘方运算法则计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数积的乘方的逆用，利用积的乘方法则，将原式转化为进行计算． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的乘方，积的乘方；将原式中的拆分为，再与结合，利用积的乘方运算法则计算. 【规范解答】解：原式 . 故答案为：. 1．（2024·浙江杭州·中考真题）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【答案】B 【思路点拨】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据所给等式整理推出，再结合幂的乘方，同底数幂的乘法将整理为，最后将代入求解，即可解题． 【规范解答】解： ， ， 即， 整理得， ； 故选：B． 2．（2024·全国·中考真题）计算：（    ） A． B． C．4 D．1 【答案】A 【思路点拨】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则，积的乘方法则，是解决问题的关键． 逆用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，进行计算即可求解． 【规范解答】解： ， 故选：A． 3．（2024·陕西咸阳·中考真题）数是一个 位数． 【答案】十/10 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法逆用、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先将数变形为，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【规范解答】解：数 ， 所以数是一个十位数， 故答案为：十． 4．（2024·湖南张家界·中考真题）已知：，则m的值为 ． 【答案】1007 【思路点拨】这道题考查的是指数的运算性质．需要将不同底数的幂转换为相同底数的幂，通过等式两边的指数相等来求解未知数 的值．本题主要考查了指数的运算性质，熟练掌握指数运算性质和等式两边指数相等的解题方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， 解得， 故答案为： ． 5．（2024·山东青岛·中考真题）（1）已知，求m． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则． （1）利用幂的乘方法则，将左边化简后指数相等求解； （2）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将指数拆解后代入已知值计算，即可求解． 【规范解答】解：（1）， ∴， 解得； （2）∵， ∴． 基础夯实 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方，掌握以上知识是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【规范解答】解：A．，故A选项错误，不符合题意； B．，故B选项错误，不符合题意； C．和不是同类项，不能合并，故C选项错误，不符合题意； D．，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级下·上海·期中）均为整数，若成立，则（   ） A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 【答案】D 【思路点拨】本题考查幂的运算，乘方运算，掌握算理是解决问题的关键．根据积的乘方可知，由幂的乘方可知，由乘方的性质知当为奇数时，据此解答即可． 【规范解答】解：， ∴当n为奇数时，． 故选：D． 4．（24-25七年级下·重庆万州·月考）计算： ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：4． 5．（25-26七年级下·福建厦门·期中）（1） ；    （2） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 对于（1）应用积的乘方法则；对于（2）应用幂的乘方法则． 【规范解答】解：（1） ； （2）； 故答案为：；． 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查积的乘方，根据积的乘方法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴； 故答案为：6． 7．（25-26七年级下·北京·期中）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据，求出 的值，再代入所求代数式计算出答案即可． 【规范解答】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）请说明能被5整除的理由． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查幂的乘方的逆用及同底数幂乘法的逆用，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据幂的乘方及同底数幂的乘法的逆用进行求解即可． 【规范解答】解： ， ∵， ∴能被5整除． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题（结果用科学记数法表示，可以借助计算器计算）： (1)某圆形湖面的半径为，请计算湖面的面积．（取） (2)太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为，太阳的体积大约是多少？（取，其中，分别为球的体积与半径） (3)光的速度约为．太阳光照射到地球上大约需要．地球与太阳的距离大约是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了科学记数法．将数字用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据圆的面积公式进行列式计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． （2）根据球体的体积公式进行列式计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． （3）根据地球与太阳的距离等于光的速度×时间，进行计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，， ∴湖面的面积为； （2）解：依题意，， ∴太阳的体积大约是； （3）解：依题意，， ∴地球与太阳的距离大约是 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的逆用，根据题意得，，根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法得出，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ． 培优拔高 11．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，， 则 等于(　　) A．7 B．10 C．20 D．45 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．根据题意把转化为，逆用运算性质，即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴． 故选：C． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了积的乘方的逆用． 逆用幂的运算将原式化为，进而逆用积的乘方法则计算即可． 【规范解答】 故选：B 14．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算、有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂乘法的运算法则将原式写成，再运用有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算进行简便运算即可． 【规范解答】解： ． 故答案为． 15．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）计算： ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查积的乘方逆运算，将原式变形为，利用积的乘方逆运算求解即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：3． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查同底数幂相乘及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂乘法运算，最后合并同类项． 【规范解答】（1）原式； （2）原式． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，解题的关键是利用幂的乘方的逆运算对各式变形，变成指数相同的形式．变形为，然后比较底数即可． 【规范解答】解： ， ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求x的值． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了积的乘方的逆用，将等式两边化为同底数的幂的形式，通过比较指数建立方程求解． 【规范解答】解：∵ ∴ 解得： 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3)1000000 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂乘法、积的乘方的逆用、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先逆用同底数幂乘法法则可得，再运用乘法运算律以及逆用积的乘方运算法则求解即可； （2）直接逆用积的乘方运算法则求解即可； （3）先运用用幂的乘方可得，即，再逆用积的乘方运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可； （2）先根据积的乘方、幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 幂的乘方与积的乘方 （知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：幂的乘方法则 1 知识点梳理02：积的乘方法则 1 题型讲练 2 题型1：幂的乘方运算 2 题型2：幂的乘方的逆用 2 题型3：积的乘方运算 3 题型4：积的乘方的逆用 3 中考真题 3 分层训练 4 基础夯实 4 培优拔高 5 知识点梳理01：幂的乘方法则 底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点梳理02：积的乘方法则 把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型1：幂的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （）； （）； （）； （）． 括号内依次填入 、 、 、 ． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）球体表面积的计算公式为．地球可近似的看成一个球体，其半径r约为，那么地球的表面积约为多少平方米？（取） 题型2：幂的乘方的逆用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）我们知道还可以用怎样的式子来表示？请说出你这样表示的依据． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川南充·期中）若，，则 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·月考）在幂的运算中规定：若且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题：已知，，若，求m，n满足的数量关系． 题型3：积的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【变式训练2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A． B． C． D． 题型4：积的乘方的逆用 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算： ． 【变式训练1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算： 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期中）计算： ． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 2．（2024·全国·中考真题）计算：（    ） A． B． C．4 D．1 3．（2024·陕西咸阳·中考真题）数是一个 位数． 4．（2024·湖南张家界·中考真题）已知：，则m的值为 ． 5．（2024·山东青岛·中考真题）（1）已知，求m． （2）已知，求． 基础夯实 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期中）均为整数，若成立，则（   ） A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 4．（24-25七年级下·重庆万州·月考）计算： ． 5．（25-26七年级下·福建厦门·期中）（1） ；    （2） ． 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 ． 7．（25-26七年级下·北京·期中）已知，则 ． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）请说明能被5整除的理由． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题（结果用科学记数法表示，可以借助计算器计算）： (1)某圆形湖面的半径为，请计算湖面的面积．（取） (2)太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为，太阳的体积大约是多少？（取，其中，分别为球的体积与半径） (3)光的速度约为．太阳光照射到地球上大约需要．地球与太阳的距离大约是多少？ 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 培优拔高 11．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，， 则 等于(　　) A．7 B．10 C．20 D．45 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ． 15．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）计算： ． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系为 ．（用“”连接） 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求x的值． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $