专题02 二次根式（9重点+24题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

专题02 二次根式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：二次根式的定义 ◆1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数； ②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. ③ 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. ◆2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. ◆3、【规律方法】 二次根式有无意义的条件：如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0. 4．当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义. 知识点二 ：二次根式的性质 ◆1、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ◆2、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． ◆3、积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）. ◆4、商的算术平方根性质：（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 知识点三 ：最简二次根式 ◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 知识点四 ：同类二次根式 ●●同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式． ◆1、同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． ◆2、合并同类二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即 （a≥0） 【注意】 （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 知识点五 ：二次根式的加减法 ●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变． ★1、二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. ★2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. 【注意】 （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. 知识点六：二次根式的乘法 ●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 用字母表示为：•（a ≥0，b≥0）. ◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. ◆2、二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. ◆3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. 【注意】 1、此公式成立的条件是a ≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可. 2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外. 知识点七 ：二次根式的除法 ●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 用字母表示为：（a≥0，b＞0）． ◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件． ◆2、二次根式的除法法则推广： ①（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.，即 （a≥0，b＞0）. ◆3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简． 【注意】 1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. 2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. ★3、二次根式的乘除法与二次根式的加减法的比较 知识点八 ：有理化因式和分母有理化 ◆1、有理化因式定义：两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。 核心关键：乘积无根号，仅含有理数 / 整式. ◆2、分母有理化定义：把分母中的二次根式化去，使分母变成有理数的变形叫做分母有理化. （1）核心目的：分母无根号，便于计算和化简. （2）依据：分式的基本性质(分子分母同乘一个不为0的数，分式值不变)4.关键:分子分母同乘分母的有理化因式. 知识点九 ：二次根式的混合运算 ●●二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. ◆1、二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． ◆2、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 【题型1 二次根式的识别】 高妙技法 紧扣 “形如（a≥0）” 的定义，先看是否含二次根号，再验证被开方数（含字母需保证取值使被开方数非负），两者均满足则为二次根式 【典例1】（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 【变式1】下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 【题型2 二次根式有意义的条件】 高妙技法 分情况分析：仅含二次根式时，令被开方数≥0 列不等式；含分母时，需同时满足被开方数≥0 且分母≠0；含零 / 负指数幂时，额外保证底数≠0，解不等式得取值范围. 【典例1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，然后问题可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）当 时，有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分母不能为零，被开方数是非负数，建立不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 【变式2】（25-26八年级上·上海长宁·月考）等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此需保证每个根号下的表达式均大于等于零，由此计算即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使有意义，需，即； 要使有意义，需，即， 当且时，，因此等式成立， 故答案为：． 【题型3 二次根式的非负性的应用】 高妙技法 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均 为0. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和代数式求值，先根据二次根式的被开方数为非负数求出的值，再代入求出，最后求即可． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数， ， ， 将代入中，得， ∴． 故答案为：． 【变式1】若x，y都是实数，且满足y，化简：． 【分析】要化简，先确定题中各式在实数范围内有意义，应把握好以下几点：一是分母不能为零；二是二次根号下为非负数． 【详解】解：依题意，有，得x＝1，此时y， 所以1﹣y0， 所以1． 【点睛】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 【题型4 求二次根式中的参数】 高妙技法 1. 根据 “被开方数≥0” 列不等式，含分母需加 “分母≠0”，含零 / 负指数幂需加 “底数≠0”； 2. 解不等式（组）得参数取值范围. 【典例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 高妙技法 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式和绝对值的非负性，结合取值范围简化表达式．将根号内的表达式化为完全平方形式，再根据x的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故选：B． 【题型6 复合二次根式的化简】 高妙技法 1. 将被开方数凑成完全平方式（如a±2b​）；2. 利用(m±n)2​=∣m±n∣化简，注意结果非负. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得： ， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 【变式1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 【题型7 最简二次根式的识别】 高妙技法 1. 检查被开方数：不含分母； 2. 检查被开方数中无开得尽方的因数 / 因式，两者均满足则为最简. 3. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的条件进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列各组二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、根号下含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、是最简二次根式，本选项符合题意； C、根号下含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，根号下含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意． ∴ 选B． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 【题型8 化为最简二次根式】 高妙技法 1. 被开方数含分母：用商的性质转化为 “（a≥0，b＞0）”，再分母有理化； 2. 有开方因数 / 因式：分解后开方移到根号外. 【典例1】将二次根式化为最简二次根式　 　． 【答案】5． 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【解答】解：原式＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的概念． 【变式1】把化成最简二次根式为 　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 【变式1】设，，用含的代数式表示，结果为________． 【答案】 【分析】将化简后，代入a，b即可． 【详解】解：， ∵，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将化简变形，本题属于中等题型． 【题型9 已知最简二次根式求参数】 高妙技法 1. 根据最简条件列方程：被开方数不含分母、无开方因数 / 因式； 2. 解方程，结合参数使被开方数非负，确定参数值. 【典例1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【变式1】若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为______. 【答案】3 【分析】直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得. 【详解】∵a是正整数，是最简二次根式， ∴=， ∵a为1时，=3，a为2时，=2，均不是最简二次根式， a为3时，=，此时是最简二次根式， ∴a最小为3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键. 【变式2】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【题型10 同类二次根式的识别】 高妙技法 1. 先将所有根式化为最简二次根式； 2. 对比最简根式的被开方数，相同则为同类二次根式. 【典例1】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断，同类二次根式需化简后被开方数相同．选项D中两个二次根式化简后都被开方数为10s，因此是同类二次根式；其他选项化简后被开方数均不同． 【详解】解： A：，被开方数为，不符合题意； B：，化为最简二次根式后被开方数为，，被开方数为，不符合题意； C：被开方数为，被开方数不同，不符合题意； D：， ， 两者被开方数均为，是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 【题型11 已知同类二次根式求参数】 高妙技法 1. 先化简所有根式为最简；2. 令被开方数相等列方程，结合被开方数非负，求解参数. 【典例1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，理解最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键．先由被开方数相等列方程 ，然后验证被开方数非负且为最简二次根式． 【详解】由同类二次根式的定义，得： ， 移项整理： ， 解得，， 当 时，，不是最简二次根式，不符合题意， 当 时，，，最简二次根式，符合题意， 故答案为： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据同类二次根式的定义得到关于的方程组，解方程求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 化简得，， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式． 根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：10． 【题型12 二次根式的乘法】 高妙技法 1. 无系数：•(a≥0,b≥0)； 2. 含系数：系数相乘得新系数，根式按法则相乘，结果化简. 【典例1】计算的结果是（　　） A．16 B．±16 C．4 D．±4 【答案】C． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ＝4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法与二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 先根据二次根式的乘法进行计算，再化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【题型13 二次根式的除法】 高妙技法 1. 无系数：(a≥0,b>0)； 2. 含系数：系数相除得新系数，根式按法则相除，结果化简. 【典例1】计算的结果为（　　） A． B． C．2 D．4a 【答案】C． 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： . 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算除法，再进行分母有理化，最后化简，即可作答． 【详解】解： ． 【题型14 二次根式的乘除混合运算】 高妙技法 1. 按从左到右顺序计算，或统一化为根号内乘除； 2. 中间步骤及结果均化简. 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则是解题的关键． 先将各项根式化为最简形式，再根据二次根式的乘除运算法则，从左到右依次进行计算． 【详解】解： ． 【题型15 有理化因式】 高妙技法 确定有理化因式的关键是找到一个代数式，使其与原式相乘后结果不含二次根式，常用方法包括利用平方差公式和最简二次根式配对. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海长宁·月考）下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则的有理化因式是， 故选：D 【题型16 分母有理化】 高妙技法 1. 找分母的有理化因式； 2. 分子分母同乘该因式，消去分母根号，再化简结果. 【典例1】】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查二次根式化简，分母有理化等知识，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行分母有理化，再相加即可求解； （）把原式转化为，再进行分母有理化，最后相加即可求解； 本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简： ，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”． 【完成任务】 (1)如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简； (2)用“二次根式的因式分解法”化简（其中、）． 【答案】(1)（答案不唯一），化简结果为 (2) 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． （1）取，再根据二次根式的因式分解法进行化简即可； （2）根据二次根式的因式分解法进行化简即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2） ． 【题型17 二次根式的加减运算】 高妙技法 1. 化：将所有根式化为最简； 2. 找：找出同类二次根式； 3. 并：根号外系数相加，根指数和被开方数不变. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，求一个数的立方根；先根据二次根式的性质和立方根的定义化简，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解： 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算． 先化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解： 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先证明，再化简二次根式，最后根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵式子和有意义，且， ∴， ∴ ． 【题型18 二次根式的混合运算】 高妙技法 1. 按 “先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内” 顺序； 2. 用运算律（分配律等）、平方差 / 完全平方公式简化，结果化最简. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘除运算法则即可求解； （）先分母有理化，二次根式乘法运算，然后进行二次根式加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行分母有理化，二次根式的除法运算，以及化简二次根式，然后进行加减计算； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型19 二次根式的大小比较】 高妙技法 1. 平方法：两边平方（均非负），比较平方后数值； 2. 作差法：差值正负判断大小； 3. 分母有理化后对比分子. 【典例1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型20 已知字母的值，化简求值】 高妙技法 1. 先化简代数式（如分母有理化、合并同类根式）； 2. 代入字母值（确保使原式有意义），计算结果. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 先对进行分母有理化得，再利用完全平方公式化简，将的值代入所求的化简后的式子，进行计算求解即可． 【详解】解：对进行分母有理化得： 所求表达式化简得：， 由于，则 因此． 答：的值为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】 ， 【分析】结合二次根式的性质完成分式的化简，再将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ； ， 原式， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值、分母有理化、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握分式的化简求值． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】0，0 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先把整理得，以及把整理得，再运算，即可作答． 【详解】解：， ， 则， 当，时，则． 【题型21 已知条件式，化简求值】 高妙技法 1. 先化简条件式（如因式分解、开方），求出字母关系或值； 2. 化简待求式，代入条件计算，注意被开方数非负. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件求出，从而得出，将所求式子进行化简，最后代入、的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）已知、满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，解二元一次方程组，分母有理化． 根据二次根式的非负性、绝对值的非负性列二元一次方程组，求出a、b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即， 解得：， ∴ ． 【题型22 二次根式的实际应用】 高妙技法 1. 根据题意列二次根式表达式（如边长、距离公式）； 2. 计算表达式，结果按要求保留（精确值或近似值）. 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 【变式2】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【答案】(1)的值为； (2)天气晴朗时站在山之巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，算术平方根的应用． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以天气晴朗时站在山之巅能看到大海． 【题型23 二次根式的规律探究题】 高妙技法 1. 计算前 3-4 项，观察根号内 / 外的数字规律（如递推、平方关系）； 2. 归纳规律，验证规律正确性，用规律表示第 n 项. 【典例1】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【答案】（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【分析】本题考查了数字类规律的探索，此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的. （1）（2）（3）（4）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；（5）根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） 证明： ∵为正整数， ∴ ∴ . （5） 故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【变式1】（25-26八年级上·上海虹口·月考）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2)2024 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·月考）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 【题型24 二次根式与新定义问题】 高妙技法 1. 理解新定义规则（如新运算、新概念）； 2. 按规则代入二次根式进行计算，结合二次根式性质化简，注意定义域. 【典例1】若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到 ，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 【答案】(1) (2)和或和（答案不唯一） (3)①；② 【分析】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，由此代入计算验证即可； （3）①根据计算得到，由此代入计算即可； ②根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简，解题的关键在于正确掌握同类二次根式定义． 根据同类二次根式需化简后根号内部分相同．先将化简为，则需可化为（k为正整数）形式，即m需为3乘以一个完全平方数．求m的最小值，即取最小完全平方数1，进而即可得到m的最小值． 【详解】解：∵， ∴ 化简后根号内部分为3． ∵ 与是同类二次根式， ∴ 可化为（k为正整数），即． 当时，为最小值． ∴ m的最小值为3． 故选：B． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（   ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【详解】解： ， 故为型无理数， 故选：B． 5．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 6．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及正方形周长的计算，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键． 先根据大正方形面积求出边长，再结合的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长． 【详解】解：∵ 大正方形的面积是， ∴ 大正方形的边长， ∵ ， ∴ 长方形的宽为， ∴ 小正方形的边长为， ∴ 小正方形的周长为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）的整数部分为，小数部分为，则的值是（） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式是解题的关键． 先估算的取值范围，确定其整数部分和小数部分，再将、代入式子，利用平方差公式计算． 【详解】解：∵，即 ∴ ∴，即 ∴整数部分 ∴小数部分 ∴ ， 故选：A． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： = 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 二、填空题 9．（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 10．（25-26八年级上·上海青浦·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 11．（25-26八年级上·上海·月考）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．根据运算定义，分别计算和，再对结果进行运算． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 即结果为0． 故答案为：0． 三、解答题 14．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查二次根式的混合运算． （1）先化简括号中的二次根式及分母有理化，除法化为乘法，再合并同类二次根式，计算乘法； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）先化简二次根式，再计算加减法； （4）将分子、分母化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 15．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了分母有理化、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化将化简，得到，，再利用完全平方公式变形求值即可； （2）先求出的值，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 17．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 18．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)可能造成伤害，理由如下 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 19．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得 ， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得 ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 20．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______； (2)计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)22 (3) 【分析】（1）根据题意可以得到与有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法化简题目中的式子，再合并； （3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为；；． （2）解： ； （3）解：∵， 且， ∴， ∴， 解这个方程组，得， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算顺序和法则，是解答本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：二次根式的定义 ◆1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数； ②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. ③ 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. ◆2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. ◆3、【规律方法】 二次根式有无意义的条件：如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0. 4．当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义. 知识点二 ：二次根式的性质 ◆1、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ◆2、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． ◆3、积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）. ◆4、商的算术平方根性质：（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 知识点三 ：最简二次根式 ◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 知识点四 ：同类二次根式 ●●同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式． ◆1、同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． ◆2、合并同类二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即 （a≥0） （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 知识点五 ：二次根式的加减法 ●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变． ★1、二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. ★2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. 知识点六：二次根式的乘法 ●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 用字母表示为：•（a ≥0，b≥0）. ◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. ◆2、二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. ◆3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. 1、此公式成立的条件是a ≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可. 2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外. 知识点七 ：二次根式的除法 ●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 用字母表示为：（a≥0，b＞0）． ◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件． ◆2、二次根式的除法法则推广： ①（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.，即 （a≥0，b＞0）. ◆3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简． 1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. 2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. ★3、二次根式的乘除法与二次根式的加减法的比较 知识点八 ：有理化因式和分母有理化 ◆1、有理化因式定义：两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。 核心关键：乘积无根号，仅含有理数 / 整式. ◆2、分母有理化定义：把分母中的二次根式化去，使分母变成有理数的变形叫做分母有理化. （1）核心目的：分母无根号，便于计算和化简. （2）依据：分式的基本性质(分子分母同乘一个不为0的数，分式值不变)4.关键:分子分母同乘分母的有理化因式. 知识点九 ：二次根式的混合运算 ●●二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. ◆1、二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． ◆2、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公 式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 【题型1 二次根式的识别】 高妙技法 紧扣 “形如（a≥0）” 的定义，先看是否含二次根号，再验证被开方数（含字母需保证取值使被开方数非负），两者均满足则为二次根式 【典例1】（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 二次根式有意义的条件】 高妙技法 分情况分析：仅含二次根式时，令被开方数≥0 列不等式；含分母时，需同时满足被开方数≥0 且分母≠0；含零 / 负指数幂时，额外保证底数≠0，解不等式得取值范围. 【典例1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）当 时，有意义． 【变式2】（25-26八年级上·上海长宁·月考）等式成立的条件是 ． 【题型3 二次根式的非负性的应用】 高妙技法 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均 为0. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么 ． 【变式1】若x，y都是实数，且满足y，化简：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【题型4 求二次根式中的参数】 高妙技法 1. 根据 “被开方数≥0” 列不等式，含分母需加 “分母≠0”，含零 / 负指数幂需加 “底数≠0”； 2. 解不等式（组）得参数取值范围. 【典例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 ． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 高妙技法 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【题型6 复合二次根式的化简】 高妙技法 1. 将被开方数凑成完全平方式（如a±2b​）；2. 利用(m±n)2​=∣m±n∣化简，注意结果非负. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）计算： （1） ； （2） ． 【变式1】（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【题型7 最简二次根式的识别】 高妙技法 1. 检查被开方数：不含分母； 2. 检查被开方数中无开得尽方的因数 / 因式，两者均满足则为最简. 3. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列各组二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 化为最简二次根式】 高妙技法 1. 被开方数含分母：用商的性质转化为 “（a≥0，b＞0）”，再分母有理化； 2. 有开方因数 / 因式：分解后开方移到根号外. 【典例1】将二次根式化为最简二次根式　 　． 【变式1】把化成最简二次根式为 　 ． 【变式1】设，，用含的代数式表示，结果为________． 【题型9 已知最简二次根式求参数】 高妙技法 1. 根据最简条件列方程：被开方数不含分母、无开方因数 / 因式； 2. 解方程，结合参数使被开方数非负，确定参数值. 【典例1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【变式1】若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为______. 【变式2】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【题型10 同类二次根式的识别】 高妙技法 1. 先将所有根式化为最简二次根式； 2. 对比最简根式的被开方数，相同则为同类二次根式. 【典例1】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型11 已知同类二次根式求参数】 高妙技法 1. 先化简所有根式为最简；2. 令被开方数相等列方程，结合被开方数非负，求解参数. 【典例1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 【题型12 二次根式的乘法】 高妙技法 1. 无系数：•(a≥0,b≥0)； 2. 含系数：系数相乘得新系数，根式按法则相乘，结果化简. 【典例1】计算的结果是（　　） A．16 B．±16 C．4 D．±4 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【题型13 二次根式的除法】 高妙技法 1. 无系数：(a≥0,b>0)； 2. 含系数：系数相除得新系数，根式按法则相除，结果化简. 【典例1】计算的结果为（　　） A． B． C．2 D．4a 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： . 【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）计算：． 【题型14 二次根式的乘除混合运算】 高妙技法 1. 按从左到右顺序计算，或统一化为根号内乘除； 2. 中间步骤及结果均化简. 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·上海·月考）计算： 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【题型15 有理化因式】 高妙技法 确定有理化因式的关键是找到一个代数式，使其与原式相乘后结果不含二次根式，常用方法包括利用平方差公式和最简二次根式配对. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海长宁·月考）下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【题型16 分母有理化】 高妙技法 1. 找分母的有理化因式； 2. 分子分母同乘该因式，消去分母根号，再化简结果. 【典例1】】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）化简： (1)． (2)． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简： ，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”． 【完成任务】 (1)如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简； (2)用“二次根式的因式分解法”化简（其中、）． 【题型17 二次根式的加减运算】 高妙技法 1. 化：将所有根式化为最简； 2. 找：找出同类二次根式； 3. 并：根号外系数相加，根指数和被开方数不变. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【题型18 二次根式的混合运算】 高妙技法 1. 按 “先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内” 顺序； 2. 用运算律（分配律等）、平方差 / 完全平方公式简化，结果化最简. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）计算 (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 【题型19 二次根式的大小比较】 高妙技法 1. 平方法：两边平方（均非负），比较平方后数值； 2. 作差法：差值正负判断大小； 3. 分母有理化后对比分子. 【典例1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ ． 【题型20 已知字母的值，化简求值】 高妙技法 1. 先化简代数式（如分母有理化、合并同类根式）； 2. 代入字母值（确保使原式有意义），计算结果. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型21 已知条件式，化简求值】 高妙技法 1. 先化简条件式（如因式分解、开方），求出字母关系或值； 2. 化简待求式，代入条件计算，注意被开方数非负. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【变式1】（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）已知、满足，求的值． 【题型22 二次根式的实际应用】 高妙技法 1. 根据题意列二次根式表达式（如边长、距离公式）； 2. 计算表达式，结果按要求保留（精确值或近似值）. 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【变式2】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【题型23 二次根式的规律探究题】 高妙技法 1. 计算前 3-4 项，观察根号内 / 外的数字规律（如递推、平方关系）； 2. 归纳规律，验证规律正确性，用规律表示第 n 项. 【典例1】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【变式1】（25-26八年级上·上海虹口·月考）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·月考）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【题型24 二次根式与新定义问题】 高妙技法 1. 理解新定义规则（如新运算、新概念）； 2. 按规则代入二次根式进行计算，结合二次根式性质化简，注意定义域. 【典例1】若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 3．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（   ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 5．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）的整数部分为，小数部分为，则的值是（） A．6 B． C．12 D． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 二、填空题 9．（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：① ；② ； 10．（25-26八年级上·上海青浦·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 11．（25-26八年级上·上海·月考）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 12．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简 ． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为 ． 三、解答题 14．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）计算 (1) (2) (3) (4) 15．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 16．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 17．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 18．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 19．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 20．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______； (2)计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $