精品解析：江苏省徐州市睢宁县第二中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级形成性测试数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．） 1. 在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 与轴有两个交点 C. 函数有最大值2 D. 当时，随增大而减小 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，四边形是的内接四边形，且，连接并延长交的切线于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 6. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知ABC与DEF相似且对应周长的比为2：3，则ABC与DEF的面积比为（　　） A. 2：3 B. 16：81 C. 9：4 D. 4：9 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在异侧把扩大到原来的3倍，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（共有10小题，每小题2分，共20分） 9. 若，则的值为________． 10. 若α为锐角，且，则_______． 11. 用圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为_____cm． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 13. 二次函数的图象经过原点，则a的值为______． 14. 已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长______． 15. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____． 16. 如图，中，，，，以斜边上的一点O为圆心所作的半圆分别与相切于点D、E，则为________． 17. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________． 18. 如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为______． 三、解答题（共有9小题，共76分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 已知关于的一元二次方程： （1）求证：该方程总有两个实数根． （2）若该方程两个实数根异号，且差为，求的值． 21. 如图，中D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径r． 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求出的面积． （3）当时，的取值范围是_______； （4）若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 23. ☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图(1)是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图(2)，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图(2)中， ． （2）靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置，如图(3)，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处(点E)． ① °； ②求乘客水杯的最大高度． (参考数据： ) 24. 每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元，设每辆轮椅降价元．每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式并写出的取值范围； （2）每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 25. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求证：； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如图2，如果把它加工成矩形零件，问这个矩形的最大面积是多少？ 26. 在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： （1）观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； （2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） （3）在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 27. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系：_________． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级形成性测试数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．） 1. 在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例尺，要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【详解】解：设这两处景点的实际距离为x厘米， 则：， 解得， 3200000厘米千米． 故选：B． 2. 对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 与轴有两个交点 C. 函数有最大值2 D. 当时，随增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、二次函数的图象的顶点为，故本选项说法错误； B、令，则，该方程没有实数解 ， ∴二次函数的图象与x轴没有交点，故本选项说法错误； C、∵二次函数的图象开口向上，顶点为， ∴函数y有最小值，为，本选项说法错误； D、∵二次函数的图象开口向上，故对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确． 故选：D 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元一次不等式组，对于一元二次方程，根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；解题时还需注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．据此列出关于k的不等式组，解不等式组即可求出答案． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得且， 故选：C． 4. 如图，四边形是的内接四边形，且，连接并延长交的切线于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质是解题的关键． 连接，，利用圆的性质，连接圆心到圆上的点和，形成三角形和．根据圆周角定理得出，然后圆内接四边形的性质求出，进而求出，再利用等腰三角形的性质得出，最后求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，，则． 四边形是的内接四边形， ， ， ． ， ， ． 故选C． 5. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称性，代数式求值，先求出点关于对称轴的对称点，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：对称轴是直线， 点关于对称轴的对称点为，即， 将代入，得：， 故选：A． 6. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，正确识别对应线段是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，找出线段与的比例关系，再通过已知线段长度计算比值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 7. 已知ABC与DEF相似且对应周长的比为2：3，则ABC与DEF的面积比为（　　） A. 2：3 B. 16：81 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答． 【详解】解：∵ABC与DEF相似且对应周长的比为2：3， ∴两三角形的相似比等于2：3， ∴S△ABC：S△DEF＝4：9． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在异侧把扩大到原来的3倍，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似的性质，解题的关键是正确理解位似的性质． 利用位似的性质进行求点的坐标即可． 【详解】解：根据位似的性质和关于原点对称的性质可得， ∵ ∴点关于原点对称点的坐标为， ∴ 故选：D． 二、填空题（共有10小题，每小题2分，共20分） 9. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质和分式运算；解题的关键是利用比例关系，将变量用同一参数表示，再代入所求分式化简求值根据比例关系设参数表示未知数，代入目标表达式化简求值． 【详解】由 ，设 ，（），则 ． 故答案为 ． 10. 若α为锐角，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵α为锐角，且， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 用圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为_____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】解：半径为6cm的扇形的弧长是cm， 设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=4π， 解得：r=2cm． 此圆锥的底面半径为2cm． 故答案为：2 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 所以 ． 故答案为：7． 13. 二次函数的图象经过原点，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题的关键是知道图象过原点，可得出，从而分析求值． 根据题意将代入二次函数，即可得出的值． 【详解】解：将代入得， 解得，或， 当时，二次函数二次项为0，故不符合题意， ∴， 故答案为： ． 14. 已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割，解题的关键是清楚黄金比例概念以及黄金分割比为． 根据黄金分割点的定义即可进行解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，线段的长是，线段为较长线段， ∴， 故答案为：． 15. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意可知：，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长． 【详解】解：由题意可得：，，，， ， ， 即， 解得：， 树高， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，以斜边上的一点O为圆心所作的半圆分别与相切于点D、E，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握见切线连圆心与切点得垂直的辅助线作法是解题的关键． 连接，设的长度为x，根据切线的性质，先证四边形是矩形，再根据圆的性质得到，再根据，得到，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】解：如图连接，设的长度为x， 半圆分别与相切， ， 又， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ， ， ， ，解得， 的长度为． 故答案为：． 17. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18. 如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点D在上时，的值最小， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，轨迹，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 三、解答题（共有9小题，共76分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程． （1）先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算各项，再计算加减即可得答案； （2）先化为一般形式，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ; （2）, ∴, ∴, 解得． 20. 已知关于的一元二次方程： （1）求证：该方程总有两个实数根． （2）若该方程两个实数根异号，且差为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）求出的值即可证明； （）解方程可得，，根据方程的根异号可得，得到，再根据方程两个实数根相差为，得到，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵ = = = =， ∵ ∴ ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵方程的两个根异号， ∴， ∴， 又∵方程两个实数根相差为， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴的值为． 21. 如图，中D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径r． 【答案】（1）见详解； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意得，结合圆和等腰三角形的性质得，则，结合已知得，即可证明； （2）根据题意知和，则，解得和，求得，即可得半径． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 且是半径， 则是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故的半径． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的判定和性质． 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求出的面积． （3）当时，的取值范围是_______； （4）若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）先求出，再求得点到的距离为5，从而可求得的面积； （3）先得出抛物线的开口方向向下，最大值为5，再分别求出当、时的函数值，从而可确定的取值范围； （4）先得出平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1，从而可得平移后的二次函数的解析式． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵令，即， 解得， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴点到的距离为5， ∴的面积是； 【小问3详解】 ∵二次函数，二次项系数为，顶点坐标为， ∴抛物线的开口方向向下，最大值为5， 把代入， 得， 把代入， 得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； 【小问4详解】 ∵将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点， ∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1， 即顶点变为， ∴平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，抛物线与x轴的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23. ☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图(1)是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图(2)，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图(2)中， ． （2）靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置，如图(3)，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处(点E)． ① °； ②求乘客水杯的最大高度． (参考数据： ) 【答案】（1）125 （2）①55；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点B作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点E作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：125． 【小问2详解】 解：①当靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：55． ②如图，过点E作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 24. 每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元，设每辆轮椅降价元．每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式并写出的取值范围； （2）每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）总利润=单个利润×总数量进行计算，即可解答； （2）利用二次函数的顶点坐标公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，可得： ， ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， 解得； 答：与的函数关系式为，的取值范围是； 【小问2详解】 解：函数中， ∵， ∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴，随增大而增大， ∴当时，． 答：当每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 25. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求证：； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如图2，如果把它加工成矩形零件，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，注意数形结合的运用． （1）根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）设正方形零件的边长为，则，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （3）根据矩形面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ， ． 【小问2详解】 解：设正方形零件的边长为，则， ， ， ， ， ， 解得：． 答：正方形零件的边长为． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， 故当时，此时矩形的面积最大，最大面积为． 26. 在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： （1）观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； （2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） （3）在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 【答案】（1）③④； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系——相切，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． （1）根据直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可判断； （2）过点C作出三角形的一条高，然后利用直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可解决； （3）根据直线与相切时有唯一公共点可知：高，利用面积法即可解答． 【小问1详解】 解：图①已知一个角及它所对的边，而另外两个角可以任意变动，故图①不能求出其余未知元素； 图②已知三个角，而三个边可以任意变动，故图②不能求出其余未知元素； 图③已知两个角及其夹边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图③其余未知元素； 图④已知两角及其中一个角的对边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图④其余未知元素； 故答案为：③④； 【小问2详解】 解：如图1，过点C作于点D， 中，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，过点B作于E，过点C作于点D， 当与直线相切时，与所在的直线有唯一的公共点， 此时， ， ， ， 故答案为： 27. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系：_________． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）； 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或1 【解析】 【分析】（1）由可证，可得； （2）通过证明，可证，即可求解； （3）分两种情况：①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图3，此时交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ②当四边形为矩形时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或1． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $