专题01 集合及其运算（重点+二级结论+12题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题01 集合及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】集合的概念与元素特性 1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的． 【考点02】元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【考点03】集合的表示方法 1、自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ 2、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开；集合中的元素必须是明确的；集合中的元素不能重复；集合中的元素可以是任何事物． 3、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． 4、图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法． 【考点04】集合间的基本关系 1、子集、真子集、相等、空集 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【考点05】集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； 【二级结论1】集合中的一元二次方程问题 1.一元二次方程根的个数 一元二次方程根的个数，由判别式的符号来确定．若，则方程有两个不等实数根；若，则方程有两个相等实数根；若，则方程没有实数根． 坑神敲黑板 对于方程，二次项系数含参，应先考虑a是否为0，若：①时，方程是一次方程，有唯一解；②时，方程恒成立，有无数解；③时，方程无解． 2.解一元二次方程的方法 （1）配方法：将方程配成的形式，当时，直接开平方求解；当时，方程没有实数根．（） （2）公式法：对于方程，当时，；当时，；当时，方程没有实数根． （3）因式分解法：将方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的积，再令这两个一次因式分别等于0求解． 3.根与系数的关系 若一元二次方程的两个实根分别为，则，． 注：十字相乘法→是因式分解的一种方法，主要用于解一元二次方程和一元二次不等式 根据，用“十字相乘法”对形如的二次三项式进行因式分解．第一列的积为二次项系数，第二列的积为常数项，列间的交叉乘积的和为一次项系数，则． 对于十字相乘法，当二次项系数为1时，“拆常数项，凑一次项系数”；当二次项系数不为1时，“拆二次项系数和常数项，凑一次项系数”，因此十字相乘法可概括为“竖拆，叉乘，横写”． 注意这里渗透了大除法思想： 【二级结论2】德·摩根定律 设U为全集，A，B为U的子集，则 ①，即两个集合并集的补集是这两个集合补集的交集，其图形解释如图1所示； ②，即两个集合交集的补集是这两个集合补集的并集，其图形解释如图2所示． 上述两个结论统称为德·摩根定律，简记为“并之补等于补之交，交之补等于补之并”． 【二级结论3】容斥原理 1.容斥原理 容斥原理实质上就是一种计数方法，在计数时我们先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后把计数时重复计算的数目排斥出去，最终使得计算结果既无遗漏又无重复． 2.二元容斥原理及其内涵 用表示有限集合中元素的个数． ①二元容斥原理：对于集合A，B来说，有． ②二元容斥原理的内涵：首先画出Venn图（如图），由Venn图可以发现与相比，多算了1次集合中元素的个数，因此需要减掉． 从而得到二元容斥原理． 此时回到开头的问题，相当于，根据二元容斥原理可直接得到，因此该团体节目最多能安排33人． 3.三元容斥原理及其内涵 ①三元容斥原理：对于集合来说，有． ②三元容斥原理的内涵：与二元情形一样的思路，画出Venn图（如图），由Venn图可以发现与相比，多算了集合两两相交区域中的元素个数，因此需要减掉区域中元素的个数．但是在减掉区域中元素个数的过程中，我们把区域中的元素个数减了3次，而计算时将区域中的元素个数只计算了3次，于是需要再加上1次． 因此得到三元容斥原理 ． 【题型1 元素与集合关系的判定】 高妙技法 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则 D． 3．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【题型2 根据元素与集合的关系求参数】 高妙技法 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 6．（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 7．（22-23高一上·浙江杭州·期中）集合，若，则 8．（25-26高一上·辽宁·月考）已知，则实数的取值集合为 . 9．（20-21高一上·河北沧州·期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 10．（25-26高一上·福建漳州·月考）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【题型3 根据集合中元素个数求参数】 高妙技法 根据集合元素个数的要求，分析元素的构成规律。列出关于参数的方程或不等式，结合集合元素的确定性、互异性等特性，求解参数的取值范围或具体值，注意排除使元素个数不符合条件的解。 注：对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解. 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 12．（23-24高三上·江苏南通·期末）集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 13．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 14．（25-26高一上·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，集合，若中有且只有三个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 16．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【题型4 集合与集合间关系的判定】 高妙技法 判断集合间关系的常用方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。 17．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 18．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知集合，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一上·福建厦门·期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【题型5 根据集合间的关系求参数】 高妙技法 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 21．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 22．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 23．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 24．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【题型6 确定集合的子集或真子集】 高妙技法 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 28．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合A满足 则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 30．【多选】（21-22高一上·福建福州·期中）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·广东·期末）设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 32．（25-26高一上·全国·单元测试）集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 33．（25-26高一上·云南文山·月考）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【题型7 集合相等及其应用】 高妙技法 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 34．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知集合，，若，则a等于（    ） A．-1或3 B．0或1 C．3 D．-1 35．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 37．（23-24高一上·湖南·月考）已知集合，若，则 . 38．（25-26高一上·陕西西安·月考）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为 . 39．（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 40．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【题型8 空集的运算及其性质应用】 高妙技法 0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 41．（24-25高一上·山西大同·月考）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 42．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 43．【多选】（20-21高一上·广东汕尾·期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【题型9 集合的交并补混合运算】 高妙技法 集合运算的基本类型 （1）具体集合的运算：具体集合（给出或可以求出集合中元素的具体值（范围））的交、并、补运算，其解法是化简集合，利用列举法或借助数轴、Venn图等求解； （2）抽象集合的运算：没有给出具体元素的集合间关系的判断和运算，解决此类问题的途径有二：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用Venn图化抽象为直观. 44．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 46．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 48．（21-22高一上·湖北孝感·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高三上·河北保定·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高二下·江苏淮安·期末）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 51．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·江苏盐城·期末）若集合，，则（ ） A． B． C． D． 53．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 54．（21-22高一上·江苏扬州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 56．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型10 根据集合的运算结果求参数】 高妙技法 利用集合的运算求参数的方法 （1）若已知集合的运算结果（实质是集合间的关系）求参数的值（范围），一般先确定不同集合间的关系，即元素之间的关系，再列方程或不等式求解.在求解过程中要注意空集的讨论，避免漏解； （2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化. 58．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 59．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 60．（22-23高一上·江苏徐州·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 61．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 62．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和 . 63．（21-22高一上·江苏连云港·期末）已知集合，集合． (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围． 64．（22-23高一上·江苏连云港·期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 已知集合． (1)若，求； (2)若________，求实数a的取值范围． 【题型11 Venn图在集合运算中的应用】 高妙技法 韦恩图的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。 65．【多选】（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 66．（23-24高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 67．【多选】（23-24高一上·广东江门·月考）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 68．（21-22高三上·江苏南通·期末）如图，集合均为的子集，表示的区域为（    ）      A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 69．（24-25高一上·江苏·期末）已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 71．（21-22高一上·江苏宿迁·期末）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一、二题都没答对的有 人． 72．（22-23高一上·湖北·月考）国内某地为进一步提高城市市花一桂花知名度和美誉度，促进城市品牌的建设提速强效，相关部门于近期组织开展“蟾宫折桂，大学生认养古桂花树”系列活动，以活动为载体，带动桂花产业、文化、旅游、经济发展．着力打造以桂花为主题的城市公共品牌和城市标识，力争通过活动和同步的媒体宣传，实现从“中国桂花之乡”到“中国桂花城”的转变．会上，来自该市的部分重点高中共计100名优秀高中应届毕业生现场认养了古桂花树，希望他们牢记家乡养育之恩，不忘桂乡桑梓之情，积极对外宣传推介家乡，传播桂花文化．这100名学生在高三的一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有 ． 【题型12 集合运算的创新问题】 高妙技法 在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。 73．（23-24高二下·江苏连云港·期末）定义：集合且.若，则（    ） A． B． C． D． 74．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 75．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 76．（20-21高一上·江苏苏州·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若，则为（    ） A． B． C． D． 77．（22-23高一上·贵州遵义·期中）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 78．（21-22高一上·江苏连云港·月考）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 79．（20-21高一上·上海浦东新·月考）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（     ） （1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则. A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·期末）设为实数，，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（20-21高一上·江苏南京·期末）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为 ，且．类似地，对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（22-23高一上·辽宁·月考）已知全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·江苏无锡·期末）设，若，则m的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 12．（21-22高一上·全国·课前预习）已知集合，，下列命题正确的是（    ） A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．存在实数a使得 13．（20-21高一上·福建三明·月考）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（    ） A．若A，且，则 B．若A，且，则 C．若A，且，则 D．存在A，，使得 14．（19-20高一上·江苏南通·期末）已知全集，集合、满足⫋，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（25-26高三上·上海宝山·期末）若全集，集合，则 ． 16．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知集合，则 . 17．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有 人. 18．（25-26高一上·广东·期末）集合，，若，则 ． 19．（20-21高二上·江苏淮安·期末）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为 ． 20．（25-26高一上·陕西商洛·月考）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有 人. 21．（25-26高一上·云南昆明·月考）非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为 . 22．（25-26高一上·山西晋中·月考）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为 . 23．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合，若，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题 24．（21-22高一上·山东济南·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围. 25．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）（1）设全集，集合，求并写出的所有子集； （2）集合，求． 26．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知集合，集合. (1)求集合A和集合. (2)已知集合是集合A的子集，求实数的取值范围. 27．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知集合， (1)求 (2)已知集合，且，求实数m的取值范围． 28．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 29．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 30．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 31．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】集合的概念与元素特性 1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的． 【考点02】元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【考点03】集合的表示方法 1、自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ 2、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开；集合中的元素必须是明确的；集合中的元素不能重复；集合中的元素可以是任何事物． 3、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． 4、图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法． 【考点04】集合间的基本关系 1、子集、真子集、相等、空集 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【考点05】集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； 【二级结论1】集合中的一元二次方程问题 1.一元二次方程根的个数 一元二次方程根的个数，由判别式的符号来确定．若，则方程有两个不等实数根；若，则方程有两个相等实数根；若，则方程没有实数根． 坑神敲黑板 对于方程，二次项系数含参，应先考虑a是否为0，若：①时，方程是一次方程，有唯一解；②时，方程恒成立，有无数解；③时，方程无解． 2.解一元二次方程的方法 （1）配方法：将方程配成的形式，当时，直接开平方求解；当时，方程没有实数根．（） （2）公式法：对于方程，当时，；当时，；当时，方程没有实数根． （3）因式分解法：将方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的积，再令这两个一次因式分别等于0求解． 3.根与系数的关系 若一元二次方程的两个实根分别为，则，． 注：十字相乘法→是因式分解的一种方法，主要用于解一元二次方程和一元二次不等式 根据，用“十字相乘法”对形如的二次三项式进行因式分解．第一列的积为二次项系数，第二列的积为常数项，列间的交叉乘积的和为一次项系数，则． 对于十字相乘法，当二次项系数为1时，“拆常数项，凑一次项系数”；当二次项系数不为1时，“拆二次项系数和常数项，凑一次项系数”，因此十字相乘法可概括为“竖拆，叉乘，横写”． 注意这里渗透了大除法思想： 【二级结论2】德·摩根定律 设U为全集，A，B为U的子集，则 ①，即两个集合并集的补集是这两个集合补集的交集，其图形解释如图1所示； ②，即两个集合交集的补集是这两个集合补集的并集，其图形解释如图2所示． 上述两个结论统称为德·摩根定律，简记为“并之补等于补之交，交之补等于补之并”． 【二级结论3】容斥原理 1.容斥原理 容斥原理实质上就是一种计数方法，在计数时我们先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后把计数时重复计算的数目排斥出去，最终使得计算结果既无遗漏又无重复． 2.二元容斥原理及其内涵 用表示有限集合中元素的个数． ①二元容斥原理：对于集合A，B来说，有． ②二元容斥原理的内涵：首先画出Venn图（如图），由Venn图可以发现与相比，多算了1次集合中元素的个数，因此需要减掉． 从而得到二元容斥原理． 此时回到开头的问题，相当于，根据二元容斥原理可直接得到，因此该团体节目最多能安排33人． 3.三元容斥原理及其内涵 ①三元容斥原理：对于集合来说，有． ②三元容斥原理的内涵：与二元情形一样的思路，画出Venn图（如图），由Venn图可以发现与相比，多算了集合两两相交区域中的元素个数，因此需要减掉区域中元素的个数．但是在减掉区域中元素个数的过程中，我们把区域中的元素个数减了3次，而计算时将区域中的元素个数只计算了3次，于是需要再加上1次． 因此得到三元容斥原理 ． 【题型1 元素与集合关系的判定】 高妙技法 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 2．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则 D． 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】是有序实数对，且满足，故． 故答案为： 3．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再判断元素与集合的关系. 【详解】， 因为元素与集合的关系是属于和不属于，所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系判断各个选项； 【详解】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 【题型2 根据元素与集合的关系求参数】 高妙技法 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 6．（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，即可根据求解. 【详解】因为，所以， 故选：C 7．（22-23高一上·浙江杭州·期中）集合，若，则 【答案】 【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】解：因为， 所以，若，则可得或2， 当时，，不满足互异性，舍去， 当时，，满足题意; 若，则，此时，不满足互异性，舍去； 综上 故答案为： 8．（25-26高一上·辽宁·月考）已知，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 9．（20-21高一上·河北沧州·期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍. 10．（25-26高一上·福建漳州·月考）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 【题型3 根据集合中元素个数求参数】 高妙技法 根据集合元素个数的要求，分析元素的构成规律。列出关于参数的方程或不等式，结合集合元素的确定性、互异性等特性，求解参数的取值范围或具体值，注意排除使元素个数不符合条件的解。 注：对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解. 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【详解】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 12．（23-24高三上·江苏南通·期末）集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】二次项系数进行分类讨论，结合方程的根的性质计算即可得. 【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求； 当时，对，需，即； 故答案为：或. 13．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 14．（25-26高一上·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，集合，若中有且只有三个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式不等式转化为一元二次不等式，再分开口向上和开口向下来讨论另一个零点的分布区间即可求解. 【详解】由不等式 由于中有且只有三个元素，则或， 解得， 故选：A. 15．（24-25高一上·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 16．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 【题型4 集合与集合间关系的判定】 高妙技法 判断集合间关系的常用方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。 17．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A错误； 对于选项B：由元素与集合的关系可知，故B正确； 对于选项C：由元素与集合的关系可知，故C错误； 对于选项D：由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：B 18．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定A的元素，根据元素和集合的关系以及集合间的关系判断各选项，即得答案. 【详解】由题意知集合，即 , 故，正确； ，错误； ，正确； 由于A中元素，故，正确， 故选：B 19．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知集合，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算得到，据此得到集合的关系. 【详解】，， 故错误；错误，错误；正确. 故选：D 20．（22-23高一上·福建厦门·期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析即可. 【详解】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍， 即是与的公倍数，，且， ∴由集合中元素的互异性，集合中元素有，，，，，， 对于集合，当时，是的正整数倍， ∴集合中元素有，，，，，， ∴. 故选：C. 【题型5 根据集合间的关系求参数】 高妙技法 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 21．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【分析】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【详解】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B 22．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 【答案】C 【分析】由可以得到中的元素都在集合中，从而求出实数a的值． 【详解】解：，由，可得且， 集合， 当时，， 当时，则或2， 经检验均符合要求， 故或2或， 故选：C 23．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 24．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【详解】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A ． 25．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【详解】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C 26．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式得集合，根据包含关系即可得出答案. 【详解】由题意，因为，且不是空集，所以 . 故选：C 27．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据集合间的关系列不等式，可得解. 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【题型6 确定集合的子集或真子集】 高妙技法 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 28．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 29．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合A满足 则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知若A中有三个元素，则，仅此1种情况； 若A中有四个元素，则在包含三数的前提下，还可包含1或2024或2026，有3种情况； 若A中有五个元素，则在包含三数的前提下，可包含或或，有3种情况； 综上所述满足条件的集合A的个数是7个. 故选：A 30．【多选】（21-22高一上·福建福州·期中）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】，，，，， 可以是、和. 故选：ABC. 31．（25-26高一上·广东·期末）设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合子集的个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合， 所以集合的子集个数有． 故选：C． 32．（25-26高一上·全国·单元测试）集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由题可得为4的倍数且满足，据此可得答案. 【详解】由题可得，因为，所以为4的倍数且满足，故，此时对应的，满足题意，故，非空子集为，共7个. 故选：B 33．（25-26高一上·云南文山·月考）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】由，得中含有，再结合的真子集即可求解. 【详解】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 【题型7 集合相等及其应用】 高妙技法 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 34．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知集合，，若，则a等于（    ） A．-1或3 B．0或1 C．3 D．-1 【答案】C 【分析】根据集合相等求出的值，最后还要注意检验. 【详解】根据，故，解得或. 当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确. 经检验可知符合题意. 故选：C. 35．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合相等列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C 36．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 37．（23-24高一上·湖南·月考）已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 38．（25-26高一上·陕西西安·月考）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性列方程求，，由此可求结论. 【详解】因为有意义，所以， 因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以，， 所以，又， 所以， 此时，，满足要求， 所以. 故答案为：. 39．（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 40．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 【题型8 空集的运算及其性质应用】 高妙技法 0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 41．（24-25高一上·山西大同·月考）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 42．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 43．【多选】（20-21高一上·广东汕尾·期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】先判断时， 符合题意，再由时化简集合B，即得或，解得结果即可. 【详解】依题意， 当时， ，满足题意； 当时，，要使，则有或，解得. 综上，或或. 故选：ABC. 【题型9 集合的交并补混合运算】 高妙技法 集合运算的基本类型 （1）具体集合的运算：具体集合（给出或可以求出集合中元素的具体值（范围））的交、并、补运算，其解法是化简集合，利用列举法或借助数轴、Venn图等求解； （2）抽象集合的运算：没有给出具体元素的集合间关系的判断和运算，解决此类问题的途径有二：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用Venn图化抽象为直观. 44．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合并集的定义得结果. 【详解】由集合，，可得. 故选：B. 45．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用并集的定义与运算，直接求解，即可得到答案. 【详解】由集合， 根据集合并集的概念与运算，可得. 故选：B. 46．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由区间及并集定义可得答案. 【详解】由题， 则. 故选：C 47．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的概念判断即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：. 48．（21-22高一上·湖北孝感·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，解得，所以， 又，所以， 故选：C. 49．（25-26高三上·河北保定·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 故， 故选：D 50．（24-25高二下·江苏淮安·期末）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，集合，所以，故中的元素个数为3. 故选：C． 51．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再由补集的定义即可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 52．（24-25高一下·江苏盐城·期末）若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集运算即可得解. 【详解】∵，，∴. 故选：C. 53．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两个集合的关系，即可求交集. 【详解】，，则是整数中的偶数， 所以集合中的元素都是集合的元素，但集合中的元素有不是集合的元素， 所以集合是集合的真子集， 所以. 故选：C 54．（21-22高一上·江苏扬州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集及交集计算即可. 【详解】因为集合，， 则， 则. 故选：A. 55．（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合交并补运算的定义直接运算即可. 【详解】因为，所以. 又，所以. 故选：D 56．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合venn图即可求解； 【详解】 由图可知，，不是空集， 故选：C 57．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由补集、交集和并集定义依次求出、、和，再由子集定义结合交集和并集定义即可逐项判断各选项得解. 【详解】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 【题型10 根据集合的运算结果求参数】 高妙技法 利用集合的运算求参数的方法 （1）若已知集合的运算结果（实质是集合间的关系）求参数的值（范围），一般先确定不同集合间的关系，即元素之间的关系，再列方程或不等式求解.在求解过程中要注意空集的讨论，避免漏解； （2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化. 58．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用，找到不等式组，求出实数的取值范围即可； （2）在满足的前提下，对分空集和不是空集分类讨论即可. 【详解】（1）因为，所以解得， 即实数的取值范围是． （2）若，即，此时，满足； 若，即，因为， 所以，或，解得． 综上，实数的取值范围是． 59．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得或，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，即； （2）解：因为， 所以或， 所以. 60．（22-23高一上·江苏徐州·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解； （2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以； 综上，实数的取值范围为. 61．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，又或， 故或， 或或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 62．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和 . 【答案】36 【分析】由题意可知，将等式两边平方整理得，根据判别式可得，再依次经检验得，再根据可得满足条件的所有集合B，即可计算元素的和. 【详解】根据题意，将等式两边平方得 继续平方整理得，故该方程有解； 所以，即，解得. 又因为，故； 当时，即，解得，代入验证可知不符合题意； 当时，即，解得或，代入验证可知符合题意； 当时，即，解得，代入验证可知符合题意； 当时，即，解得，代入验证可知符合题意； 故，由，可知集合B是集合A的子集； 所以，满足条件的所有集合B共有，，，，，，， 所以，所有元素之和为. 故答案为：36. 63．（21-22高一上·江苏连云港·期末）已知集合，集合． (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或， (2) 【分析】（1）根据集合的运算，画数轴解决即可；（2）根据集合的并集，画数轴解决即可. 【详解】（1）由题得，集合，集合 所以或， 所以. （2）由（1）得或 由题得，， 因为， 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 64．（22-23高一上·江苏连云港·期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 已知集合． (1)若，求； (2)若________，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）化简集合，根据集合的运算直接计算即可得到结果. （2）根据条件分集合为空集与集合不为空集分别讨论计算，即可得到结果. 【详解】（1）， 当时，，所以或 所以或 （2）由(1)知， 若选①：由，得 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是 若选②：当时，，即； 当时，或 解得或不存在. 综上所述，实数的取值范围是 【题型11 Venn图在集合运算中的应用】 高妙技法 韦恩图的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。 65．【多选】（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 66．（23-24高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知影部分所表示的集合为，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 67．【多选】（23-24高一上·广东江门·月考）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 68．（21-22高三上·江苏南通·期末）如图，集合均为的子集，表示的区域为（    ）      A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】B 【分析】根据集合间的运算分析判断. 【详解】因为表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ， 所以表示与集合A的公共部分，即为Ⅱ. 故选：B. 69．（24-25高一上·江苏·期末）已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知，再根据集合的关系及交集和补集的运算，结合文恩图依次判断选项. 【详解】由可知，故AB错误； 如图， 对于C选项，，正确； 对于D选项，，错误. 故选：C 70．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 71．（21-22高一上·江苏宿迁·期末）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一、二题都没答对的有 人． 【答案】5 【分析】集合元素计算，只对第一题，只对第二题，二题都答对和二题都不对，总数为35人. 【详解】设第一、二题都没答对的有人， 则 ，所以 故答案为：5 72．（22-23高一上·湖北·月考）国内某地为进一步提高城市市花一桂花知名度和美誉度，促进城市品牌的建设提速强效，相关部门于近期组织开展“蟾宫折桂，大学生认养古桂花树”系列活动，以活动为载体，带动桂花产业、文化、旅游、经济发展．着力打造以桂花为主题的城市公共品牌和城市标识，力争通过活动和同步的媒体宣传，实现从“中国桂花之乡”到“中国桂花城”的转变．会上，来自该市的部分重点高中共计100名优秀高中应届毕业生现场认养了古桂花树，希望他们牢记家乡养育之恩，不忘桂乡桑梓之情，积极对外宣传推介家乡，传播桂花文化．这100名学生在高三的一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有 ． 【答案】7 【分析】根据集合的交与并的元素个数之间的关系列式计算即可. 【详解】设参加语文竞赛的学生组成的集合为，参加数学竞赛的学生组成的集合为，参加外语竞赛的学生组成的集合为，则表示参加语文和数学竞赛的同学组成的集合，表示参加数学和外语竞赛的同学组成的集合，表示参加语文和外语竞赛的同学组成的集合，由已知集合中有39个元素，集合中有49个元素，集合中有41个元素，集合中有15个元素，集合中有13个元素，集合中有9个元素， 因为1人三项都没有参加，且共100名学生，所以中含有99个元素， 设三项都参加的有x人，结合图象可得集合，，的元素个数和减去集合，，的元素个数和再加上的元素的个数可得99，所以 ，解得 故答案为：7. 【题型12 集合运算的创新问题】 高妙技法 在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。 73．（23-24高二下·江苏连云港·期末）定义：集合且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意计算即可. 【详解】由定义得. 故选：A. 74．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【分析】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 75．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 76．（20-21高一上·江苏苏州·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解对数不等式得集合，然后根据新定义分析即可. 【详解】， ，故. 故选：B. 77．（22-23高一上·贵州遵义·期中）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合中阴影部分元素在但不在中，故可以用表示这些元素构成的集合，同理集合中阴影表示的集合可以用表示，整个阴影部分表示的集合为这两部分的并集. 【详解】集合中阴影部分表示的集合为且 集合中阴影部分元表示的集合为且， 故整个阴影部分表示， 故选：D. 78．（21-22高一上·江苏连云港·月考）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】对子集分，，，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解. 【详解】，与是的子集，， 对子集分情况讨论： 当时，，，，，有种情况； 当时，，，有种情况； 当时，，，有种情况； 当 时，，有种情况； 所以共有种， 故选：D. 79．（20-21高一上·上海浦东新·月考）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（     ） （1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则. A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】由①可知. 对于（1），若，对任意的，，则， 所以，，这与矛盾，（1）正确； 对于（2），若且，则，，， 依此类推可得知，，，，，，（2）正确； 对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则， 所以，，（3）正确； 对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·期末）设为实数，，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用集合之间的关系求解参数即可. 【详解】由题意得，当，时，解得.本情况符合题意，其它情况下不符合题意，故排除. 故选：B 2．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 6．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 二、多选题 9．（20-21高一上·江苏南京·期末）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为 ，且．类似地，对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】利用集合的新定义逐一判断即可. 【详解】由差集的定义可知，对于选项A， 若，则中的元素均在中，则，故选项A正确； 对于选项B，若，则中的元素均在中，则，故选项B错误； 对于选项C，若，则、无公共元素，则，故选项C正确； 对于选项D，若，则，故选项D正确； 故选：ACD． 10．（22-23高一上·辽宁·月考）已知全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可. 【详解】由图可知. 故选：AB 11．（22-23高一上·江苏无锡·期末）设，若，则m的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】先求出集合A中元素，当明显符合，当时，根据可得m的值. 【详解】， ， 当时，，符合； 当时，， 或， 或. 故选：ABC. 12．（21-22高一上·全国·课前预习）已知集合，，下列命题正确的是（    ） A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．存在实数a使得 【答案】AD 【分析】A.由相等集合判断；B.由求解判断； C.由，得到判断；D.由求解判断.， 【详解】A.由相等集合的概念可得，即，得此方程组无解， 故不存在实数使得集合A=B，因此A正确； B.若，则，即，此不等式组无解，因此B错误； C.当时，得为空集，不满足，因此C错误； D. 若，则，解得，若，则，无解，综上：，故D正确. 故选：AD. 13．（20-21高一上·福建三明·月考）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（    ） A．若A，且，则 B．若A，且，则 C．若A，且，则 D．存在A，，使得 【答案】ABD 【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可． 【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确； 对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确； 对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误； 对于D选项，时，，，D正确； 故选：ABD． 14．（19-20高一上·江苏南通·期末）已知全集，集合、满足⫋，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据真子集的性质，结合集合补集、交集和并集的定义逐一判断即可. 【详解】因为⫋，所以，，因此选项A错误，B正确； 因为⫋，所以存在， 因此有，所以，因此选项C不正确； 因为⫋，所以都有，而， 所以，因此选项D正确， 故选：BD 三、填空题 15．（25-26高三上·上海宝山·期末）若全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由全集，集合，则. 故答案为： 16．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 17．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有 人. 【答案】7 【分析】根据题意结合韦恩图运算求解即可. 【详解】作出韦恩图，如图所示：    可知持有交通卡或有自行车的人数为， 所以既无交通卡又无自行车的人数为. 故答案为：7. 18．（25-26高一上·广东·期末）集合，，若，则 ． 【答案】0或 【分析】根据集合并集的性质，结合方程解的情况分类讨论进行求解即可. 【详解】集合， 因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，，则， 解得， 综上所述，或． 故答案为：0或． 19．（20-21高二上·江苏淮安·期末）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【解析】分别化简两个集合，由集合A，B构成“偏食”，可得实数t的取值范围． 【详解】集合， 若集合A，B构成“偏食”，则 则，实数t的取值范围为 故答案为： 20．（25-26高一上·陕西商洛·月考）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】 【分析】设三项比赛都参加的有人，分别求得只参加100米、200米、400米的同学的人数，列出方程，即可求解. 【详解】设参加100米的同学构成集合 、200米的同学构成集合、400米的同学构成集合 设三项比赛都参加的有人，如图所示， 则只参加100米的同学为人 只参加200米的同学为人； 只参加400米的同学为人， 所以，解得， 所以三项比赛都参加的有人. 故答案为：.    21．（25-26高一上·云南昆明·月考）非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为 . 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设参加傣族孔雀舞的学生集合为，参加傣族泼水节的学生集合为，参加傣族织锦技艺的学生集合为. 由题意：，，，， ，，， 又， 所以. 即三项活动都参加的人数为17. 故答案为：17 22．（25-26高一上·山西晋中·月考）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为 . 【答案】4 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. 23．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 24．（21-22高一上·山东济南·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，再根据集合运算求解即可； （2）根据题意得或，再解不等式即可得答案. 【详解】（1）解：当时，， 所以， 又或， 所以. （2）因为，或，， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是. 25．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）（1）设全集，集合，求并写出的所有子集； （2）集合，求． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）先求得集合，根据集合的补集计算即可； （2）根据集合的补集和集合的并集计算得到答案. 【详解】（1）根据题意得，，所以， 的子集为． （2）由题得，，所以， 所以． 26．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知集合，集合. (1)求集合A和集合. (2)已知集合是集合A的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解分式不等式得到集合A，然后求出; （2）根据集合是集合A的子集列出不等式求解即可. 【详解】（1）或， 所以， （2）且集合是集合A的子集， 所以或， 解得或， 故实数的取值范围为. 27．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知集合， (1)求 (2)已知集合，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由交集和并集的运算即可求解； （2）由得到求解即可. 【详解】（1）集合，又集合， 所以， ． （2）因为， 所以有， 解得， 所以实数的取值范围为． 28．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 29．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据交集，并集和补集的定义，即可求解； （2）分和两种情况，讨论当时，的取值范围. 【详解】（1）当，，或， 或， ，所以； （2）当，，得， 当时，若，则，解得：， 综上可知的取值范围为. 30．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择见解析，答案见解析 【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解； （2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 又因为关于不等式的解集， 所以，解得，所以实数的值为. （2）选择条件①，因为，， 又，由图知， ，解得. 选择条件②，因为，， 又，即，由图知， ，解得. 31．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【详解】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而                      下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $