江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

高三年级数学试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B C B A A D B BD ABC ACD 12. 13. 14. 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得 ， 即， 因 代入上式，可得，.................................................................................5分 因，则得， 又，所以......................................................................................................7分 （2）由余弦定理，，即① △的周长为，即② 由①②解得，.............................................................................................................11分 所以△的面积..............................................................................13分 16． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 2 【详解】（1）取的中点，连接， 在中，且， 又， 所以，，所以四边形是平行四边形 所以． 又平面，平面 所以平面 ..........................................................................................................5分 （2）过点作的垂线，垂足为 因为平面平面，平面平面， ，平面 所以平面PMC，又平面，所以 因为平面，平面，所以 因为，平面，平面 所以平面．又平面，所以.............................................10分 （3）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系 因为，为的中点，所以 设，，所以 设平面的法向量 取 同理设平面的法向量 取 设平面与平面的夹角为 所以， ..............................................................................15分 17．【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）设等差数列的公差为 因为，即 又因为，则，， 可得，即 则，解得 所以数列的通项公式.........................................................6分 （2）由（1）可知：，.................................................8分 则.............................................................................10分 ........12分 因为， 所以...........................................................................................................................15分 18．【答案】（1）（2）或（3）直线过定点 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，则，，又，解得，，所以椭圆的方程；......................3分 （2）因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设，， 由，消去y整理得，则，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点，则， 所以，即.................................7分 整理得，所以， 即，解得或，因为， 显然当或时，成立，所以直线l的方程为或；...............10分 （3）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意. 所以直线斜率存在，设直线的方程为.设，， 由得，所以，.   因为，所以，..................................................................14分 即，整理得，化简得， 所以直线的方程为，所以直线过定点..................................17分 19．【答案】(1)极大值为，极小值为0 (2) (3) 【详解】（1），则 由，得到或， 当时，解得或，所以和为函数增区间， 当时，解得，所以为函数减区间 所以在处取到极大值，极大值为 在处取到极小值，极小值为0 故函数的极大值为，极小值为0..........................................................................4分 （2）设直线为曲线在点处的切线， 所以，即 设直线为曲线在点处的切线， 所以，即 由题意知，可得： 令，则在上有零点， 令，则，， 令，解得；令，解得 在区间上单调递增，在区间上单调递减 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减 且 当时，，故在上恒有零点，从而恒成立 当时，，无零点，不成立 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增 且当时， 则，解得 综上所述：实数的取值范围是................................................................10分 （3）（i）当时与最多有两个交点，不符合题意舍去 （ii）当时，此时 设，， 令，， 令，则，所以在是递增的， 在是递减的，所以 i. 若，即时此时则， 所以，又是增函数 又，则只有一的零点 ii. 若，即时，， ，所以有两个零点， 其中，，所以 在是增区间，是减区间，是增区间 有零点存在定理得： 取点1： 设，，则在上递增 所以，所以 取点2：，， 所以一定有，，所以有三个零点..............................17分 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学阶段学业考核题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。 2.答题前务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择 题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，，且，则（     ） A．24 B．20 C．16 D．12 5．设，若，则（     ） A． B． C． D． 6．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（ ） A．3等星的亮度是8等星亮度的100倍 B．8等星的亮度是3等星亮度的100倍 C．3等星的亮度是8等星亮度的10倍 D．8等星的亮度是3等星亮度的10倍 7．已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（     ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．的图象可由函数的图象向右平移个 单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 D．若，则或 10．在长方体中，，，，，分别为棱，的中点，则（     ） A． B．该长方体的外接球表面积为 C．平面平面 D．四棱锥的体积为 11．已知点，直线为坐标原点，动点到点的距离是点到直线的距离的一半．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（     ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．满足的点有且仅有4个 D．若点形成的轨迹为曲线，且矩形内接于曲线，则矩形面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，若∥，则实数= ． 13．已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为 . 14．若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，若数列的前n项和为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在△中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)已知，△的周长为，求△的面积． 16．（15分） 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点．   (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在(2)的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 17．（15分） 已知为等差数列，，记分别为数列，的前n项和，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于不同的两点和． (1) 求椭圆的标准方程； (2) 直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程； (3) 已知点，若点是椭圆的右顶点，和两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 19．（17分） 已知函数（，且）、（，且）、. (1)若、，求函数的极值； (2)若函数与（，且）的图象存在公切线，求实数的取值范围； (3)已知且，若函数与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ (  ) 高三年级数学 答题纸 （ 总分值：150分 时间：120分钟） ( 姓 名 班 级 学 号 准考证号 ) 准 考 证 号                                                                                                     ( 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、准考证号填写清楚 并认真填涂考号下方的 涂点。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不折叠、不破损。 注意事项 正确填涂 错误填涂 例 样 填 涂 ) (   ) ( 缺考涂1，违纪涂2，考生禁涂 ) ( 一、单项选择题： 本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求 . 二、多项选择题： 本 大题共 3 个小 题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的不得分 . 三、填空题（ 3 × 5＝ 15 分） 1 2 . 1 3 . 1 4 . ) ( 1     2     3     4     5     6     7     8     ) ( 9     10     11     ) (  ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 1 5 ．（1 3 分） ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) (  ) ( 1 6 ．（1 5 分） ) (  ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框 限定区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 17 ．（1 5 分） ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) (  ) (  ) ( 19 ．（1 7 分） ) ( 18 ．（1 7 分） ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) (  ) (  ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各 题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 学科网（北京）股份有限公司 $