专题1：带电粒子在磁场中运动 专项训练-2026届高考物理二轮电学压轴题

高考二轮复习电学压轴题专题训练 专题1 带电粒子在磁场中的运动 1. 围绕地球周围的磁场分布是两极强中间弱的空间分布，为了研究这种磁场对太阳风高能带电粒子的俘获作用，有人在实验室通过某种装置形成如图所示的磁场分布区域MM。磁场关于轴旋转对称，在该区域中磁感强度B的大小沿轴从左到右，由强变弱，再由弱变强，变化极为缓慢，对称面为PP。已知轴上点磁感强度的大小为，两端M点的磁感应强度大小为。现有一个质量为，带电量为+q，速度大小为的粒子，在点以与轴成投射角=30°向右半空间发射。设磁场足够强，粒子只能在紧邻轴的磁感线围成的横集面积很小的“磁力管”内运动。提示：理论上已经证明粒子在细“磁力管”内运动时垂直于方向的速度大小的平方与磁力管轴上的磁感强度的大小B之比为一常量，即=常数。 （1）带电粒子在第一个周期内运动的空间，磁场变化很缓慢，可近似认为是磁感应强度为的匀强磁场，求粒子第一次经过z轴时离原点O的距离△z多大？ （2）z轴上某点A的磁感应强度为B，当粒子运动到A点时，求此时速度和轴的夹角为多少？ （3）要使这个粒子被这个磁场俘获，不能跑出磁场区域，则两端M点的磁感应强度大小满足什么条件？ （4）如果M点的磁感应强度取第3小题的临界值，为了能俘获这个粒子，M处的磁场的横截面的半径至少多大？ 2. 天文学家范·艾伦发现在地球大气层之外存在着一个辐射带包裹着地球，这一辐射带被命名为“范·艾伦辐射带”，它是由于地球磁场捕获了大量带电粒子而形成，分为内层和外层，如图1所示。由于地球两极附近区域磁场强，其他区域磁场弱，当宇宙射线进入地磁场后会使带电粒子沿磁感线做螺线运动，遇到强磁场区域被反射回来，在地磁两极间来回“弹跳”，被“捕获”在地磁场中。不过还是有一些宇宙射线粒子可以“溜进”地球大气层，它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了绚丽多彩的极光。大气中最主要的成分是氮和氧，波长557.7nm的绿色和630nm附近的红色极光主要由氧原子发出，波长高于640nm的红色极光由氮气分子发出。（计算时普朗克常量取h=6.6×J·s，真空中光速c取3×108m/s） （1）a.求放出一个波长为630nm的红色光子时，氧原子的能量变化△E（结果取1位有效数字）； b.请说明带电粒子和空气分子碰撞产生辐射的过程中能量是如何转化的。 （2）图2所示的是质量为m、电荷量为q的带电粒子在具有轴对称性的非均匀磁场中做螺线运动的示意图，若将粒子沿轴线方向的分速度用表示，与之垂直的平面内的分速度用表示。 a.某时刻带电粒子的=，=，所在处磁感应强度大小为B，如果将粒子从此刻起在垂直平面内做圆周运动的一个周期时间内，所到达区域的磁场按匀强磁场（方向沿轴线）进行估算，求粒子在垂直平面内做圆周运动的半径r和在一个周期时间内沿轴线前进的距离（螺距）d； b.实际上带电粒子的半径和螺距都会不断变化，已知带电粒子在从弱磁场区向强磁场区运动的同时，在垂直平面内的速度会变大，在此已知的基础上请用高中物理的知识解释为什么带电粒子在从弱磁场区向强磁场区螺旋前进时，分速度会减小到零，并继而沿反方向前进。 3.（2025山西吕梁模拟）蜜蜂飞行时依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜蜂的运动。如图甲所示，空间存在足够大垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、下边界分别为MN、PQ，间距为d。MN与PQ之间存在沿水平方向且大小始终为E=的匀强电场，当粒子通过MN进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子在纸面内以初速度从A点垂直MN射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度回到A点。磁场Ⅱ的磁感应强度=，不计粒子重力。求：（最后结果可带根号）            (1)粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小v； (2)磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (3)撤去电场，且将磁场Ⅰ的磁感应强度大小改为，粒子从A点与MN成30°角以初速度'入射，如图乙所示： a.若粒子经一次“8”字形运动即回到A点，求'的值； b.求上述情况以外所有能使粒子回到A点的'的值。 4.（2025福建福州模拟）2024年6月13日消息，中国环流三号”项目，在国际上首次发现并实现了一种先进磁场结构，对提升核聚变装置的控制运行能力具有重要意义。中国环流三号”是我国自主设计建造的规模最大、参数最高的先进磁约束托卡马克装置，被誉为新一代人造太阳。磁约束即用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动。某一磁约束装置如图所示，现有一个环形区域，其截面内圆半径R1=d，外圆半径R2=d，圆心均为O点。环形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，已知磁感应强度大小为B。A点为内圆右侧上一点，从A点可向各个方向发射质量为、电荷量为的带正电粒子以不同速度垂直射入磁场，不计粒子重力，且不考虑粒子之间的相互作用力。【答案可用含根号与的表达式表示】 (1)若带电粒子在沿相切与内圆向上的方向射入磁场，刚好不穿越外圆边界，求粒子的速度大小； (2)若带电粒子沿着OA方向垂直射入磁场，刚好不穿越外圆边界，求粒子速度大小； (3)求带电粒子以（2）中的速度从A点射入磁场到再次返回A点时所需的时间。 5.（2025·陕西西安期末）如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场（含边界），磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成α＝53°角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏（质子打到荧光屏上发光且不再反弹），P、Q两点的坐标分别为P，Q。已知质子比荷＝k，sin 53°＝0.8。求：（结果均可用分数表示） （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少； （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 6. (2024·辽宁大连高三期末)如图5所示，虚线MO与水平线PQ相交于点O，二者夹角θ＝30°，在MO右侧区域存在一矩形匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，MO为磁场的一条边界线。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内沿某一方向以速度v从O点射入磁场，粒子从边界线MO射出时，速度方向平行于PQ向左。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： 图5 (1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R及该粒子在边界线MO上的出射点到O点的距离L； (2)粒子在磁场中的运动时间； (3)矩形磁场区域的最小面积。 7.(2024·湖北重点高中智学联盟高三联考)如图7所示，平行边界M、N间存在垂直纸面向里的匀强磁场，边界间距为d＝3.0 m，磁感应强度为B＝0.10 T。质量为m＝1.6×10－10 kg、电荷量为q＝3.2×10－9 C的负离子(不计重力)从边界M上的A点进入磁场，速度与边界的夹角为θ＝60°，从边界N上的C点垂直边界射出磁场。求：(计算结果保留2位有效数字) 图7 (1)负离子进入磁场时的速度大小v0； (2)负离子在磁场中运动的时间t； (3)若入射速度不变，要使负离子不能从边界N射出磁场，磁感应强度B′应满足什么条件。 8.(2024·广州阶段测试)如图8所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠B＝30°，∠C＝90°，BC＝L。BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为＋q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求： 图8 (1)离子的发射速率v； (2)从AB边射出的离子占全部离子的占比(结果用百分比表示，保留3位有效数字)； (3)从AB边射出的离子在磁场中运动的最短时间tmin。 9.[2023湖北]如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场.t＝0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰.碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周.已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q.假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响.求： （1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小； （2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小； （3）t＝时刻粒子甲、乙的位置坐标及从第一次碰撞到t＝的过程中粒子乙运动的路程.（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 10.（2024湖北“宜荆荆恩”起点考试]如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，其边界上的O点存在一个粒子发射源，发射源不定时地向磁场发射速度大小和方向均不同的同种粒子.已知此粒子的质量为m，电荷量为q（q＞0）.在某段时间内，发射源在纸面内先后向磁场的左上方、右上方发射了两个粒子，其中粒子1的速度大小为v0，方向与MN的夹角α＝37°；粒子2的速度大小为2v0，方向与MN的夹角β＝53°.粒子1、2分别从磁场边界上的A、B两点（图中未画出）射出，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，sin37°＝cos53°＝0.6. （1）求两粒子在磁场边界上的射出点A、B之间的距离d； （2）若两粒子在射出磁场后恰能在直线MN下方的无场区域相碰，求两粒子从发射源发射的时间间隔Δt. 11.如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力. （1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； （2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离. 12.如图所示，有一磁感应强度B＝9.1×10－3 T的匀强磁场，C、D为垂直于磁场方向的同一平面内的两点，它们之间的距离l＝0.1 m，今有一电子在此磁场中运动，它经过C点的速度v的方向和磁场垂直，且与CD之间的夹角θ＝30°(电子的质量m＝9.1×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C)。 (1)电子在C点时所受的磁场力的方向如何？ (2)若此电子在运动过程中经过D点，则它的速度应是多大？ (3)电子从C点到D点所用的时间是多少？ 13 （2024年高考海南卷）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响） （1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R； （2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t； （3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考二轮复习电学压轴题专题训练 专题1 带电粒子在磁场中的运动 1. 围绕地球周围的磁场分布是两极强中间弱的空间分布，为了研究这种磁场对太阳风高能带电粒子的俘获作用，有人在实验室通过某种装置形成如图所示的磁场分布区域MM。磁场关于轴旋转对称，在该区域中磁感强度B的大小沿轴从左到右，由强变弱，再由弱变强，变化极为缓慢，对称面为PP。已知轴上点磁感强度的大小为，两端M点的磁感应强度大小为。现有一个质量为，带电量为+q，速度大小为的粒子，在点以与轴成投射角=30°向右半空间发射。设磁场足够强，粒子只能在紧邻轴的磁感线围成的横集面积很小的“磁力管”内运动。提示：理论上已经证明粒子在细“磁力管”内运动时垂直于方向的速度大小的平方与磁力管轴上的磁感强度的大小B之比为一常量，即=常数。 （1）带电粒子在第一个周期内运动的空间，磁场变化很缓慢，可近似认为是磁感应强度为的匀强磁场，求粒子第一次经过z轴时离原点O的距离△z多大？ （2）z轴上某点A的磁感应强度为B，当粒子运动到A点时，求此时速度和轴的夹角为多少？ （3）要使这个粒子被这个磁场俘获，不能跑出磁场区域，则两端M点的磁感应强度大小满足什么条件？ （4）如果M点的磁感应强度取第3小题的临界值，为了能俘获这个粒子，M处的磁场的横截面的半径至少多大？ 【解析】（1）粒子第一次经过z轴时，t=， 粒子第一次经过z轴时离原点O的距离△z=tcos=cos （2）根据题意可知 = 解得：sinα=sin （3） 要使这个粒子被这个磁场俘获，不能跑出磁场区域，速度方向沿z轴分量为零，则有 解得：= （4）洛伦兹力提供向心力，q=m 解得：r= 2. 天文学家范·艾伦发现在地球大气层之外存在着一个辐射带包裹着地球，这一辐射带被命名为“范·艾伦辐射带”，它是由于地球磁场捕获了大量带电粒子而形成，分为内层和外层，如图1所示。由于地球两极附近区域磁场强，其他区域磁场弱，当宇宙射线进入地磁场后会使带电粒子沿磁感线做螺线运动，遇到强磁场区域被反射回来，在地磁两极间来回“弹跳”，被“捕获”在地磁场中。不过还是有一些宇宙射线粒子可以“溜进”地球大气层，它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了绚丽多彩的极光。大气中最主要的成分是氮和氧，波长557.7nm的绿色和630nm附近的红色极光主要由氧原子发出，波长高于640nm的红色极光由氮气分子发出。（计算时普朗克常量取h=6.6×J·s，真空中光速c取3×108m/s） （1）a.求放出一个波长为630nm的红色光子时，氧原子的能量变化△E（结果取1位有效数字）； b.请说明带电粒子和空气分子碰撞产生辐射的过程中能量是如何转化的。 （2）图2所示的是质量为m、电荷量为q的带电粒子在具有轴对称性的非均匀磁场中做螺线运动的示意图，若将粒子沿轴线方向的分速度用表示，与之垂直的平面内的分速度用表示。 a.某时刻带电粒子的=，=，所在处磁感应强度大小为B，如果将粒子从此刻起在垂直平面内做圆周运动的一个周期时间内，所到达区域的磁场按匀强磁场（方向沿轴线）进行估算，求粒子在垂直平面内做圆周运动的半径r和在一个周期时间内沿轴线前进的距离（螺距）d； b.实际上带电粒子的半径和螺距都会不断变化，已知带电粒子在从弱磁场区向强磁场区运动的同时，在垂直平面内的速度会变大，在此已知的基础上请用高中物理的知识解释为什么带电粒子在从弱磁场区向强磁场区螺旋前进时，分速度会减小到零，并继而沿反方向前进。 【解析】（1）a. 氧原子的能量变化△E等于所放出的红色光子的能量，△E=hv=hc/λ 代入相关数据。△E=3×J b. 带电粒子与空气分子碰撞，会通过碰撞将一部分能量传递给空气分子，使空气分子从基态跃迁到激发态，空气分子重激发态自发回到基态的过程中，就会将减少的能量以光子的形式放出，所放出光子的能量等于空气分子激发态与基态间的能级差。 （2）a. 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，q=m 周期 T= 沿轴线方向做匀速直线运动， d=T 解得 r=, d= b. 带电粒子只受到洛伦兹力作用，由于洛伦兹力不做功，因此粒子的总动能不变。已知带电粒子在从弱磁场区向强磁场区运动的同时，在垂直平面内的速度会变大，即对应的动能变大，则对应的动能变小，可以理解为通过洛伦兹力将对应的动能转化为对应的动能，由此可以解释带电粒子在从弱磁场区向强磁场区螺旋前进时，分速度会减小到零。 3. 由于上述从功能的角度证明了分速度会减小。那么可以反推，此过程中粒子一定受到了与相反的洛伦兹力的分力F.，当分速度减小到零的时刻，由于磁场和分速度的情况都没有改变，可以判断与相反的分力F与前一时刻相同。因此分速度减小到零后继而沿反方向前进。 3.（2025山西吕梁模拟）蜜蜂飞行时依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜蜂的运动。如图甲所示，空间存在足够大垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、下边界分别为MN、PQ，间距为d。MN与PQ之间存在沿水平方向且大小始终为E=的匀强电场，当粒子通过MN进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子在纸面内以初速度从A点垂直MN射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度回到A点。磁场Ⅱ的磁感应强度=，不计粒子重力。求：（最后结果可带根号）            (1)粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小v； (2)磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (3)撤去电场，且将磁场Ⅰ的磁感应强度大小改为，粒子从A点与MN成30°角以初速度'入射，如图乙所示： a.若粒子经一次“8”字形运动即回到A点，求'的值； b.求上述情况以外所有能使粒子回到A点的'的值。 【解析】: (1) 带电粒子在电场中运动，竖直方向 d=t， 水平方向 aE=ma，E=，解得a= 水平方向速度 =at== 粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小v==2，方向与PQ的夹角为30°。 （2）设粒子在磁场I和II中运动的半径分别为和，洛伦兹力提供向心力， qv=m，=，联立解得=d/4 带电粒子每次在电场中沿电场方向运动的距离x=t==d， 由2x-2sin30°= 解得 =d 由q=m，解得= (3) a。 粒子经一次“8”字形运动即回到A点的粒子（从磁场区回到A点）运动轨迹如图乙。 粒子在两个区域圆周运动，q=m，q=m，几何关系 ×= + 联立解得： b。带电粒子从无场区回到A点的粒子运动轨迹如图丙。3. 几何关系 ×=（n-1） + （n=1,2,3···） 解得 （n=1,2,3···） 4.（2025福建福州模拟）2024年6月13日消息，中国环流三号”项目，在国际上首次发现并实现了一种先进磁场结构，对提升核聚变装置的控制运行能力具有重要意义。中国环流三号”是我国自主设计建造的规模最大、参数最高的先进磁约束托卡马克装置，被誉为新一代人造太阳。磁约束即用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动。某一磁约束装置如图所示，现有一个环形区域，其截面内圆半径R1=d，外圆半径R2=d，圆心均为O点。环形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，已知磁感应强度大小为B。A点为内圆右侧上一点，从A点可向各个方向发射质量为、电荷量为的带正电粒子以不同速度垂直射入磁场，不计粒子重力，且不考虑粒子之间的相互作用力。【答案可用含根号与的表达式表示】 (1)若带电粒子在沿相切与内圆向上的方向射入磁场，刚好不穿越外圆边界，求粒子的速度大小； (2)若带电粒子沿着OA方向垂直射入磁场，刚好不穿越外圆边界，求粒子速度大小； (3)求带电粒子以（2）中的速度从A点射入磁场到再次返回A点时所需的时间。 【解析】（1）由题意可知，当带电粒子从A点与内园相切向上射入磁场，刚好不穿越外圆边界，轨迹恰好与外圆相切，如图甲。 由几何关系，2r1=R2-R1 解得：r1=d 洛伦兹力提供向心力，qv1B=m 解得v1== （2）带电粒子沿着OA方向垂直射入磁场，刚好不穿越外圆边界，粒子运动轨迹与外圆相切，如图乙所示。 根据图乙中几何关系， 解得 =d 洛伦兹力提供向心力，qv2B=m 解得v2= （3）带电粒子以速度v2=沿OA方向射入磁场时，则有 tanθ==, 解得θ= 其运动轨迹如图丙所示。 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动周期T=, 带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为， 粒子从A点射入磁场到再次返回A点时在磁场中运动的时间为t1=3·T=2T， 粒子从A点射入磁场到再次返回A点时在磁场外运动的时间为t2=3·= 粒子从A点射入磁场到再次返回A点d的时间为t=t1+t2=2+6·T=(6+4π)， 5.（2025·陕西西安期末）如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场（含边界），磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成α＝53°角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏（质子打到荧光屏上发光且不再反弹），P、Q两点的坐标分别为P，Q。已知质子比荷＝k，sin 53°＝0.8。求：（结果均可用分数表示） （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少； （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 答案：（1）　（2）≤v≤ 解析：（1）质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示 由周期公式T＝ 又由几何关系可知θ＝2，则质子在磁场中运动的最长时间t＝T＝。 （2）当质子轨迹与PQ相切时，如图甲所示，设此时初速度为v1，轨迹半径为R，由几何关系可得R＋Rcos α＝0.4l 又qBv1＝ 联立解得v1＝＝ 当质子运动轨迹与磁场边界相切时，如图乙所示， 设此时初速度为v2，轨迹半径为R'，由几何关系可得R'＋R'sin α＝l 又qBv2＝ 解得v2＝＝ 综上可得≤v≤。 6. (2024·辽宁大连高三期末)如图5所示，虚线MO与水平线PQ相交于点O，二者夹角θ＝30°，在MO右侧区域存在一矩形匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，MO为磁场的一条边界线。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内沿某一方向以速度v从O点射入磁场，粒子从边界线MO射出时，速度方向平行于PQ向左。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： 图5 (1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R及该粒子在边界线MO上的出射点到O点的距离L； (2)粒子在磁场中的运动时间； (3)矩形磁场区域的最小面积。 答案　(1)　　(2)　(3) 解析　(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子在MO边界射出点为N 由洛伦兹力提供向心力得qvB＝① 解得R＝② 由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角α＝60°③ 则O、N间的距离L＝R＝。④ (2)设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则T＝⑤ 粒子在匀强磁场中运动的时间为t＝T⑥ 联立②③⑤⑥解得t＝。⑦ (3)由题知矩形磁场面积最小范围应是如图所示的矩形，设其长、宽分别为d1、d2 则d1＝L⑧ 由几何关系知d2＝R(1－cos 30°)⑨ 磁场最小面积S＝d1d2⑩ 联立②④⑧⑨⑩解得S＝。 7.(2024·湖北重点高中智学联盟高三联考)如图7所示，平行边界M、N间存在垂直纸面向里的匀强磁场，边界间距为d＝3.0 m，磁感应强度为B＝0.10 T。质量为m＝1.6×10－10 kg、电荷量为q＝3.2×10－9 C的负离子(不计重力)从边界M上的A点进入磁场，速度与边界的夹角为θ＝60°，从边界N上的C点垂直边界射出磁场。求：(计算结果保留2位有效数字) 图7 (1)负离子进入磁场时的速度大小v0； (2)负离子在磁场中运动的时间t； (3)若入射速度不变，要使负离子不能从边界N射出磁场，磁感应强度B′应满足什么条件。 答案　(1)12 m/s　(2)0.26 s　(3)B′≥0.30 T 解析　(1)作出负离子在匀强磁场中的运动轨迹如图甲所示，设粒子做圆周运动的轨道半径为r1 由几何关系得cos 60°＝① 由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m② 联立①②解得r1＝6.0 m，v0＝12 m/s。③ 甲 (2)由几何关系得，负离子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为30°，设负离子在磁场中做圆周运动的周期为T，则T＝④ 负离子在磁场中运动的时间为t＝T⑤ 联立③④⑤解得t＝0.26 s。⑥ (3)若负离子恰好不能从边界N射出磁场，作出负离子在磁场中的运动轨迹如图乙所示，设负离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r2，磁感应强度为B′ 乙 由几何关系得r2＋r2cos 60°≤d⑦ 由洛伦兹力提供向心力得qv0B′＝m⑧ 联立③⑦⑧解得B′≥0.30 T。 8.(2024·广州阶段测试)如图8所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠B＝30°，∠C＝90°，BC＝L。BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为＋q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求： 图8 (1)离子的发射速率v； (2)从AB边射出的离子占全部离子的占比(结果用百分比表示，保留3位有效数字)； (3)从AB边射出的离子在磁场中运动的最短时间tmin。 答案　(1)　(2)33.3%　(3) 解析　(1)离子刚好从C点沿AC方向射出，作出该离子的运动轨迹如图甲所示 由几何关系有 R＝×＝① 离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m② 联立①②解得v＝。③ (2)设离子入射速度方向与SB边夹角为α时，离子轨迹恰好与AB边相切，作出轨迹图如图乙所示 轨迹图中O为轨迹的圆心，OD与OS为半径，由几何关系有＝tan 30°④ 联立①④解得α＝60°⑤ 即在离子入射速度与SB夹角小于等于60°时离子能够从AB边射出，由于离子是均匀地向三角形内的各个方向发射，则从AB边射出的离子占全部离子的占比为η＝×100%≈33.3%。⑥ (3)当入射点与出射点连线垂直于AB边时，弦长最小，对应轨迹历时最短，作出轨迹如图丙所示 轨迹图中O′为轨迹的圆心，O′S与O′J为半径，由几何关系有 xSJ＝·sin 30°＝R⑦ 即△O′JS为等边三角形，即轨迹对应的圆心角为 α′＝60° 圆周运动的周期T＝⑧ 最短时间tmin＝·T⑨ 解得tmin＝。 9.[2023湖北]如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场.t＝0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰.碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周.已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q.假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响.求： （1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小； （2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小； （3）t＝时刻粒子甲、乙的位置坐标及从第一次碰撞到t＝的过程中粒子乙运动的路程.（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 答案　（1）　（2）m　　（3）甲（－6a，0）　乙（0，0）　67πa 解析　（1）由题意可知，粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入磁场并运动到达点O，则粒子甲的轨迹半径 r甲0＝a 又qv甲0B＝m，解得v甲0＝ （2）由题意可知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则 T甲＝2T乙 根据qvB＝mr＝m有 T＝ 故＝，则m乙＝m，粒子甲、乙碰撞过程，取y轴负方向为速度正方向，有 mv甲0＋m乙v乙0＝mv甲1＋m乙v乙1 m＋m乙＝m＋m乙 又v甲1＝－3v甲0 联立解得v乙0＝－5v甲0，v乙1＝3v甲0 则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为 （3）已知在t1＝时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有v甲1＝－3v甲0，v乙1＝3v甲0 则根据qvB＝m可知，第一次碰撞后乙粒子的运动半径为r乙1＝r甲0＝a 第一次碰撞后甲粒子的运动半径为 r甲1＝3r甲0＝3a 又T甲＝2T乙，则在t2＝时，甲、乙粒子发生第二次碰撞且从甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞的过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为s1＝6πa 且在第二次碰撞时有 mv甲1＋m乙v乙1＝mv甲2＋m乙v乙2 m＋m乙＝m＋m乙 解得＝v甲0，v乙2＝－5v甲0 则根据qvB＝m可知第二次碰撞后，甲粒子的运动半径为r甲2＝r甲0＝a 乙粒子的运动半径为r乙2＝r甲0＝a 经分析可知在t3＝时，甲、乙粒子发生第三次碰撞且从甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞的过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为 s2＝10πa 且在第三次碰撞时有 mv甲2＋m乙v乙2＝mv甲3＋m乙v乙3 m＋m乙＝m＋m乙 解得v甲3＝－3v甲0，v乙3＝3v甲0 依次类推 在t9＝时，甲、乙粒子发生第九次碰撞且从甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞的过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为 s8＝10πa 且在第九次碰撞后有 ＝－3v甲0，v乙9＝3v甲0 第九次碰撞后，r甲9＝3a，r乙9＝a，从t9＝到t＝的过程中，甲粒子刚好运动半周，则t＝时甲粒子运动到点（－6a，0）处，从t9＝到t＝的过程中，乙粒子刚好运动一周，则t＝时乙粒子回到坐标原点，即此时乙的位置坐标为（0，0） 且此过程中乙粒子走过的路程为s9＝3πa 故整个过程中乙粒子运动的总路程为 s＝4×6πa＋4×10πa＋3πa＝67πa. 10.（2024湖北“宜荆荆恩”起点考试]如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，其边界上的O点存在一个粒子发射源，发射源不定时地向磁场发射速度大小和方向均不同的同种粒子.已知此粒子的质量为m，电荷量为q（q＞0）.在某段时间内，发射源在纸面内先后向磁场的左上方、右上方发射了两个粒子，其中粒子1的速度大小为v0，方向与MN的夹角α＝37°；粒子2的速度大小为2v0，方向与MN的夹角β＝53°.粒子1、2分别从磁场边界上的A、B两点（图中未画出）射出，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，sin37°＝cos53°＝0.6. （1）求两粒子在磁场边界上的射出点A、B之间的距离d； （2）若两粒子在射出磁场后恰能在直线MN下方的无场区域相碰，求两粒子从发射源发射的时间间隔Δt. 答案　（1）　（2） 解析　（1）由题意可知粒子1、2在磁场中受到洛伦兹力的作用做匀速圆周运动，则有qv0B＝m q·2v0B＝m 结合左手定则作出粒子1、2在磁场中运动的轨迹如图所示 由几何关系可知∠OO1A＝2α，∠OO2B＝2β 则A、B之间的距离为d＝LOB－LOA＝2r2sinβ－2r1sinα 联立解得d＝ （2）由T＝可得T1＝T2＝ 设两粒子在直线MN下方的C点相碰，如图所示，由几何关系可知，粒子1从O点运动至C点所用的时间为t1＝T1＋ 粒子2从O点运动至C点所用的时间为 t2＝T2＋ 则两粒子从发射源发射的时间间隔为Δt＝｜t1－t2｜ 联立解得Δt＝. 11.如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力. （1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； （2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离. 答案　（1）磁场方向垂直于纸面向里　　（2）　（2－）h 解析　（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有 qv0B＝m　① 由此可得R＝　② 粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h　③ 由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子的运动半径最大，由此得Bm＝　④ （2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R'＝2h　⑤ 粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系有 sinα＝＝　⑥ 则α＝　⑦ 由几何关系可得，P点与x轴的距离为 yP＝2h（1－cosα）　⑧ 联立⑦⑧式得yP＝（2－）h 12.如图所示，有一磁感应强度B＝9.1×10－3 T的匀强磁场，C、D为垂直于磁场方向的同一平面内的两点，它们之间的距离l＝0.1 m，今有一电子在此磁场中运动，它经过C点的速度v的方向和磁场垂直，且与CD之间的夹角θ＝30°(电子的质量m＝9.1×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C)。 (1)电子在C点时所受的磁场力的方向如何？ (2)若此电子在运动过程中经过D点，则它的速度应是多大？ (3)电子从C点到D点所用的时间是多少？ 答案　(1)斜向下　(2)1.6×108 m/s　 (3)6.5×10－10 s 解析　 (1)电子以垂直磁场方向的速度在磁场中做匀速圆周运动，电子质量较小，重力可忽略，洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可判断电子在C点所受磁场力的方向垂直于速度方向斜向下方。 (2)电子在洛伦兹力作用下在磁场中做匀速圆周运动，且速度方向与CD连线夹角θ＝30°，根据几何知识可知圆弧CD所对的圆心角α为60°，即∠DOC＝60°，则△CDO为等边三角形，则轨道半径R＝l① 由牛顿第二定律有evB＝② 联立①②解得v＝＝1.6×108 m/s。③ (3)电子在磁场中做圆周运动的周期T＝④ 设电子从C点到D点所用时间为t，则有 t＝T⑤ 联立④⑤解得t≈6.5×10－10 s。 13 （2024年高考海南卷）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响） （1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R； （2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t； （3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离。 【答案】（1），；（2）；（3）， 【解析】 （1）根据动能定理得 解得 粒子进入区域I做匀速圆周运动，根据题意某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ，故可知此时粒子的运动轨迹半径与区域Ⅰ的半径R相等，粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力 解得 （2）带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度沿纸面射入区域Ⅰ，由(1)可得，粒子的在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径均为R，因为在区域Ⅰ中的磁场半径和轨迹半径相等，粒子射入点、区域Ⅰ圆心O1、轨迹圆心O'、粒子出射点四点构成一个菱形，有几何关系可得，区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点连线平行于粒子射入点与轨迹圆心O'连线，则区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点水平，根据磁聚焦原理可知粒子都从Q点射出，粒子射入区域II，仍做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 如图，要使粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，轨迹所对应的圆心角最小，可知在区域Ⅱ中运动的圆弧所对的弦长最短，即此时最短弦长为区域Ⅱ的磁场圆半径，根据几何知识可得此时在区域Ⅱ和区域Ⅰ中运动的轨迹所对应的圆心角都为，粒子在两区域磁场中运动周期分别为 故可得该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间为 （3）如图，将速度分解为沿y轴正方向速度及速度，因为可得，故可知沿y轴正方向的速度产生的洛伦兹力与电场力平衡，粒子同时受到另一方向的洛伦兹力，故粒子沿y正方向做旋进运动，根据角度可知 故当方向为竖直向上时此时粒子速度最大，即最大速度为 根据几何关系可知此时所在的位置到y轴的距离为 学科网（北京）股份有限公司 $