精品解析：陕西省兴平市2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题

兴平市 2025-2026学年度第一次质量检测 高三年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数值域求出集合，解绝对值不等式求出集合，由交集定义求得结果. 【详解】因为，所以， 进而，即， 因为，所以，即， 由集合的交集定义可得， 故选：C. 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为根据集合之间的关系求实数的取值范围. 【详解】由. 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集. 所以. 故选：C 3. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，从而得到，而，从而得到答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且， 所以， 所以的周期为， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性以及周期性，根据函数的性质求函数的值，属于中档题. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状． 故选：B． 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可. 【详解】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，求出函数的解析式，代入检验法可判断；根据正弦函数的单调性可判断，根据三角函数的值域可判断. 【详解】由图知，， 所以，解得， 过点，所以， 即，又，所以， 所以， 对于：， 所以函数的图象关于点对称，故错误； 对于：， 所以函数的图象关于直线对称，故错误； 对于：， ， 所以， 取，得， 函数在上单调递减，故错误； 对于：，所以，所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得. 故选：D 8. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数知识及对数知识可判断单调性，据此可做出大致图象，由此可得答案. 【详解】因为当时，， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，的极大值为； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 据此可做出函数的大致图象， 有5个不等的实根，等价于图象与直线有5个不同交点. 由图可得． 故选：A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域是 C. 命题p：“，”的否定是：“，” D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助相同函数定义可得A；借助定义域要求计算可得B；借助否定定义可得C；借助绝对值定义计算可得D. 【详解】对A：，， 故两函数表示同一个函数，故A正确； 对B：由题意可得，解得，故B正确； 对C：命题p：“，”的否定是：“，”，故C错误； 对D：，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，，则有两解 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理求解判断AB；由可得，均为锐角，再结合同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式化简可得，进而判断C；根据正弦定理、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，则， 所以，又，则， 所以有两解，则有两解，故A正确； 对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误； 对于C，由，可得，且，均为锐角， 所以， 则，所以也为锐角， 则为锐角三角形，故C正确； 对于D，由，由正弦定理得，， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AC 11. 对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个“和谐区间” B. 函数存在“和谐区间” C. 函数的所有“和谐区间”为、、. D. 若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】本题为新定义题目，即在定义域内满足时，则区间就为函数的一个和谐区间. 【详解】对于A中函数在区间是单调函数，但是值域为不符合题意故A错误 对于B中函数在，单调递增，由，则为方程的两个根，这样解得且故存在“和谐区间”B正确. 对于C中函数在上单调递增，即，则是关于方程的两根得，，，所以函数的所有“和谐区间”为，，，故C正确. 对于D中函数存在“和谐区间”∵在上单调增 ∴∴是方程的两个不等实根 令∴在上有两个不相等实根，令 对称轴为，则，解得故D错误 故选：BC 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为的终边过点，根据三角函数的定义，可得， . 故答案为：. 13. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化得出，，利用换底公式结合对数运算性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则，，所以，， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知函数．若函数有零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数有零点得到有解，将其整理成，利用换元法设，则构造出函数，利用二次函数的图像和单调性求值域，从而得到所求. 【详解】若函数有零点，则方程有解， 所以. 令，则，且， 所以在上单调递增，值域为， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 四．解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入直接计算即可； （2）先化简为，再根据平移可得，由可得，结合余弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 图象向左平移个单位长度，得到的图象， ， ，， 的值域为. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数，的值 （2）求函数在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求导，根据已知列方程组即可求解； （2）由（1）知，根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处的函数值与极值比较即可求解最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 令，得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 又，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围： （3）若存在两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由，， 因为存在两个极值点， 则满足，即， 不妨设，则. ， 则要证，即证， 又，，则， 即证，即证成立. 设函数，， 则， 在单调递减，又，则， ，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可； （3）设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论. 【小问1详解】 由，则， 而，则， 则曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ，又在区间上单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数在上单调递增，则， ，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①证明：由，可得，， 当时，， 根据“下凸函数”的充要条件可知函数在上为“下凸函数”． ②证明：因为 ， 所以． 令，因为，所以，则， 令，，则， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下凸函数”的定义，可得出对任意的恒成立，结合参变量分离法可得出实数的取值范围； （2）①证明出对任意的恒成立，结合“下凸函数”的定义可证得结论成立； ②化简得出，由得，令，可得出，构造函数，，利用导数证明出即可； （3）令，可得出，推导出函数为上的“下凸函数”，结合“下凸函数”的定义可求出与对数函数的单调性可求出的最小值. 【小问1详解】 由，可得，则， 因为是上的“下凸函数”，所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立， 令，则函数在上单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 令，则， 考虑函数，求导得， 则， 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 即， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴平市 2025-2026学年度第一次质量检测 高三年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域是 C. 命题p：“，”的否定是：“，” D. 若，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，，则有两解 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 11. 对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个“和谐区间” B. 函数存在“和谐区间” C. 函数的所有“和谐区间”为、、. D. 若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边过点，则__________． 13. 已知，且，则__________． 14. 已知函数．若函数有零点，则实数的取值范围是__________． 四．解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数，的值 （2）求函数在区间上的最大值和最小值 17. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围： （3）若存在两个极值点，证明：． 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $