精品解析：江苏省徐州市沛县实验学校联盟学区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级学情检测数学试题 1. 中，，，则______，________． ②中，，若，，那么______，________． 【答案】 ①. ##30度 ②. ##0.5 ③. 8 ④. ##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是正确掌握边角之间的转化． ①先求出，即可求解度数，即可求解； ②先由正弦的定义求解，再由勾股定理求解，即可求解． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∴； ∵，若，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，8，． 2. 已知为锐角，若，则的度数为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】因数分解，即可求解． 【详解】解：原式化为， ∴或，为锐角， 由特殊角的三角函数值得，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值，解特殊角的三角函数的方程是解题的关键． 3. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，作轴，设，先利用勾股定理求出、的长度，从而得出点坐标，然后利用菱形的性质求得点的坐标． 【详解】解：如图，边点作轴， 由题意可得，， 轴， ， ， 设， 中，， ， （负值舍去）， ， 点的坐标为， 则点的坐标为． 4. 将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（ ） A. cm B. cm C. cm D. 2cm 【答案】B 【解析】 【分析】首先作QH⊥PA，垂足为H，则QH=2cm，易证得△APQ为等边三角形，然后利用三角函数即可求得PQ的长． 【详解】如图，作QH⊥PA，垂足为H，则QH=2cm， 由平行线的性质，得∠DPA=∠BAC=60°， 由折叠的性质，得∠DPQ+∠APQ=180°， 即∠DPA+∠APQ+∠APQ=180°，60°+2∠APQ=180°， ∴∠APQ=60°， 又∵∠PAQ=∠BAC=60°， ∴△APQ为等边三角形， 在Rt△PQH中， sin∠HPQ= PQ==， 故选：B. 【点睛】此题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数问题. 5. 如图，在矩形中，于且则的长度是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据∠EDC：∠EDA=1：3，可得∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，再由AC=10，求得DE． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°， ∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°， ∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°， ∴∠ODC=∠OCD=67.5°， ∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°， ∴∠COD=45°， ∴OE=DE， ∵OE2+DE2=OD2， ∴2DE2=OD2=25， ∴DE=， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，是一道中等题． 6. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ） A. 的值越大，梯子越陡 B. 的值越大，梯子越陡 C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 7. 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（　　） 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30° 45° 45° 60° A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】 如图，甲中，AC=140m，∠C=30°，AB=140×sin30°=70m； 乙中，DF=100m，∠C=45°，DE=100×sin45°=50≈70.71m； 丙中，GI=95m，∠I=45°，GH=95×sin45°=≈67.18m； 丁中，JK=90m，∠C=60°，AB=90×sin60°=45≈77.9m．可见JK最大，故选D． 8. 如图，在梯形中，，，，，则的长（　　） A. B. 4 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、矩形的性质与判定，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作于点，过点作交的延长线于点，易得到四边形是矩形，进而得到，再根据，进行求解的长即可． 【详解】解：过点作于点，过点作交的延长线于点，如图： 在中，、， ， 、， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，、， ， 故选：A． 二、填空题 9. 在比例尺为1：80000的上海市城区地图上，量得中山北路的长度约为25cm，那么它的实际长度约为____km． 【答案】20 【解析】 【分析】它的实际长度为x厘米，根据比例尺的定义得到，然后利用比例性质计算出x，再把单位化为千米即可． 【详解】解：设它的实际长度为x厘米， 根据题意得：， 解得x＝2000000（cm）， 2000000cm＝20千米． 故答案为20． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  a：b＝c：d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例尺． 10. 已知线段b是线段a、c的比例中项，a＝2，c＝4，那么b＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即b2＝2×4=8， ∴b＝2（负数舍去）． 故答案是：2． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义． 11. 已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，得出，代入数据即可得出的长． 【详解】解：是线段上的一点，且满足， ∴， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为是解决本题的关键． 12. 如图，O为坐标原点，，，且点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作轴于点，在中，求得，进而在中，求得和，从而得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，如图： 在中，，，， 则， 在中，、， 则， ， 因此，点的坐标为， 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么该等腰三角形的腰长等于__________． 【答案】6或 【解析】 【分析】此题考查分类讨论思想，应分情况进行讨论，在计算过程中应掌握锐角函数式的二倍角公式，使计算变得简单．由已知条件，某一内角的余弦值为，不确定此角为顶角还是底角，因此应分情况进行求解即可； 【详解】解：设腰长为，底边长为 ①如图，如果此角为底角，余弦值为，做底边的高， 可得则， 又， ②如图，如果此角为顶角余弦值为，做腰上的高， 设，则，， ，， ， ， ， 故答案为或． 14. 在锐角三角形中，若，则的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 二、解答题 17. 在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握边角之间的转化． （1）先求正切值，即可求解度数，再由勾股定理求解斜边，以及直角三角形锐角互余求解即可； （2）先根据直角三角形锐角互余求解，然后正切求解，再由勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，∵，， ∴，， ∴， ∴． 18. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂以及绝对值计算，正确计算是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再进行实数的混合运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，海岸上有两点，相距200米，又、两点观测海上一灯塔，测得，，求灯塔到海岸的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作于点，根据和的正切值得到和，根据求解的长即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 在中，， 在中，， 根据得， ， 解得米， 因此，灯塔到海岸的距离为米． 20. 河流两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值（结果精确到个位）． 【答案】43 【解析】 【详解】过点C作CE AD，交AB于E CD AE,CE AD 四边形AECD是平行四边形． AE="CD=50m,EB=AB-AE=50m," CEB=DAB= 又CBF= ,故ECB=,CB=EB=50m 在直角三角形CFB中，CF=CBsinCBF=50sin43m， 21. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：） 【答案】斜坡的长约为10米 【解析】 【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ． ∴． ∵， ∴在中，（米）． 答：斜坡的长约为10米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 如图，在中，是的平分线． （1）与相似吗？请说明理由； （2）求的值． 【答案】（1） 解：，理由如下： ， ∴， 是 的角平分线， ， ． ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由等边对等角和三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，据此可证明； （2）设，证明，得到，再证明得到；由相似三角形的性质得到，则可求出，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴； ， ， ∴， 或 （不合题意，舍去） ． 23. 定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图，点是线段的中外比点，，，求的长． （2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查“中外比点”的定义，正确理解“中外比点”的定义是解题的关键． （1）根据“中外比点”的定义得到，结合，求出的长即可； （2）先作线段的垂直平分线，交于点，再过点作，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点即为线段分为中外比点． 【小问1详解】 解：根据题意得，点是线段的中外比点， ， 即， 解得， 由于， 则； 【小问2详解】 解：略． 24. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为 （2）检查点和之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． 【小问2详解】 过点A作，垂足为． ， ， ． , 在中， ， ． , 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 25. 问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 【答案】 （1）如图，即为所求： 45； （2）； （3）随点的运动，的度数不变，且为 【解析】 【分析】（1）连接与格线的交点记为，先确定点为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明为等腰直角三角形，即可求解的度数； （2）延长至点，使得，连接，先证明，则，，那么，可得四边形是矩形，四边形为矩形，求出，由勾股定理得，则，那么，则，即可求解； （3）延长至点，使得，连接，同理，同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，设正方形的边长为，，则，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，则，再同（2）即可． 【详解】解：（1）连接与格线的交点记为， 由网格可得，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴为格点，同理为格点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45； （2）延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）随点的运动，的度数不变，且为，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， 同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵在中，， ∴ ， ∴（舍负）， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学情检测数学试题 1. 中，，，则______，________． ②中，，若，，那么______，________． 2. 已知为锐角，若，则的度数为______ ． 3. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为__________． 4. 将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（ ） A. cm B. cm C. cm D. 2cm 5. 如图，在矩形中，于且则的长度是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ） A. 的值越大，梯子越陡 B. 的值越大，梯子越陡 C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 7. 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（　　） 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30° 45° 45° 60° A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在梯形中，，，，，则的长（　　） A. B. 4 C. D. 4 二、填空题 9. 在比例尺为1：80000的上海市城区地图上，量得中山北路的长度约为25cm，那么它的实际长度约为____km． 10. 已知线段b是线段a、c的比例中项，a＝2，c＝4，那么b＝___． 11. 已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____． 12. 如图，O为坐标原点，，，且点的坐标为，则点的坐标为___________． 13. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么该等腰三角形的腰长等于__________． 14. 在锐角三角形中，若，则的度数为________． 15. 如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为_____________． 16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是______． 二、解答题 17. 在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： （1）； （2）． 18. 计算 （1） （2） 19. 如图，海岸上有两点，相距200米，又、两点观测海上一灯塔，测得，，求灯塔到海岸的距离． 20. 河流两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值（结果精确到个位）． 21. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：） 22. 如图，在中，是的平分线． （1）与相似吗？请说明理由； （2）求的值． 23. 定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图，点是线段的中外比点，，，求的长． （2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） 24. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 25. 问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $