专题6.2数列之求通项公式讲义-2026届高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列求通项公式核心考点，涵盖公式法、迭代法、构造法等关键方法，按“知识点梳理-典型例题-随堂演练”逻辑架构，通过考点分析、方法指导与分层训练，帮助学生系统突破各类题型难点。 资料以分层设计和方法归类为特色，如构造法中通过待定系数法转化等比数列，培养数学思维与抽象能力，设置基础到综合的例题演练，确保高效突破考点，助力教师把控复习节奏，提升学生解题推理与应考能力。

专题6.2 数列之求通项公式 6.2.1 公式法求数列的通项公式 知识点梳理 1.若{an}是等差数列，首项为，公差为，则其通项公式为，推广形式：. 2.若{an}是等比数列，首项为，公比为，则其通项公式为( q≠0)，推广形式：. 典型例题 例1.已知公比大于1的等比数列{an}满足，，则{an}的通项公式为 . 解：设等比数列{an}的公比为，则，由题意得：，解得：，或，（舍），∴{an}的通项公式为.故答案为：. 例2.记是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，，则{an}的通项公式为 . 解：由等差数列求和公式可得：，又∵，∴，∴. ∵，∴，∴，∵公差不为0， ∴，所以{an}的通项公式为：. 故答案为：. 例3.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，，，．则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 解：设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，由，得：，解得，∴{an}的通项公式为. 由，得：，解得：，∴{bn}的通项公式为. 故答案为：. . 随堂演练 1.记为等差数列{an}的前n项和，已知，，则{an}的通项公式为 . 解：设等差数列{an}的公差为，由得：，解得：，∴. 故答案为：. 2.设{an}是公比不为1的等比数列，，且为，的等差中项，则{an}的通项公式为 . 解：设{an}的公比为，为，的等差中项，∴，化简可得：， ∵，∴.∴. 故答案为：. 3.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，则数列{an}的通项公式 . 解：∵等差数列{an}的公差为2，且，，成等比数列.∴， ∴，∴，解得：，∴. 故答案为：. 4.等差数列{an}的前n项和为，已知，为整数，且，则{an}的通项公式为 . 解：由，为整数可知，等差数列{an}的公差为整数. 又∵，∴，，于是，，解得：，∴， 故数列{an}的通项公式为. 故答案为：. 5.已知{an}为等差数列，前n项和为，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，且，，.则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 解：设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，由，得， 又∵，∴，又，解得：，∴. 由，可得①，由，可得：②， 由①②可得：，，∴. 故答案为：{an}的通项公式为.{bn}的通项公式为. 6.设等差数列{an}的公差为，前n项和为，等比数列{bn}的公比为．已知，，，．则数列{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 解：由题意可得，解得：或， 当时，，；当时，，. 故答案为：，或，. 6.2.2 同除以积的题型求数列的通项公式 知识点梳理 常见题型：出现两项和、差与两项乘积时的模型时，等式左右两边同时除以数列两项的乘积，然后转变为常规数列来进行求解. 典型例题 例1.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 解：将两侧同除可得： ，则，又∵. ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列. ∴，即.故答案为：. 例2.已知数列{an}的前n项和为，，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由，得，又， ∴是以2为首项，1为公差的等差数列，∴， 所以，又∵当时，，也满足该式， ∴.故答案为：. 随堂演练 1.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 解：∵在数列{an}中，，，∵，则有：，∴，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即. 2.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由，得：，∴是以1为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列{an}的通项公式为.故答案为：. 3.已知数列{an}中，，2，则数列{an}的通项公式为 . 解：当时，解得：，不满足， ∴，同理，由2可得：， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. ∴.∴.故答案为：. 4.已知数列{an}满足，，则 ． 解：若，则，则，与矛盾，所以， 由可得：，由累加法可得： ，∴.故答案为：. 5.设是数列{an}的前n项和，且，，则 ． 解：由可得：，∴， ∴数列是以-1为首项，-1为公差的等差数列， ∴，∴.故答案为：. 6.已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0)满足，则数列的通项公式为 . 解：由，bn≠0可得， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴.故答案为：. 7.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为,且 ，则{an}的通项公式为 . 解：当n=1时，，解得：，又∵，则； 当n≥2时，由，两式相减得：， ∴，由累加法可得：，n≥3. ∴，即，n≥3. 当n=1或n=2时，，满足. 故答案为：. 6.2.3 迭代法求数列的通项公式 知识点梳理 1.累加法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造，将这个式子两边分别相加，可得：. 注意：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和. 2.累乘法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造， 将这个式子两边分别相乘，可得：（）. 典型例题 例1.在数列{an}中，已知，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由题意可得： 当n≥2时，. 也满足上式.∴. 例2.已知是数列{an}的前n项和，，，则an= . 解：由 可得，则当n≥2时，， ∴，即， ∴. 当n=1时，符合该式，故答案为:. 例3.已知数列{an}中，，，则{an}的通项公式为 . 解：由可得， 当n≥2时，， 当n=1时，符合该式. 故答案为:. 例4.已知数列{an}中，，前n项和，则{an}的通项公式为 ． 解：∵，∴当n≥2时，，∴，∴ ∴.也满足该式. 故答案为: 随堂演练 1.设数列{an}满足，且，则数列{an}的通项公式为 . 解：由题意可知：. 故答案为：. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，，则{an}的通项公式为 . 解：由题意可知：. 故答案为：. 3.已知数列{an}满足：且，则数列{an}的通项公式为 ． 解：由题意可知：.故答案为：. 4.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan．则{an}的通项公式为 . 解：当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0，当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1， ∴2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，∴（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an， 当n≥3时，可得，∴an⋯a2＝n﹣1， 当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝n﹣1.故答案为：an＝n﹣1. 5.已知是公差为2的等差数列，数列的前n项和为Sn，且，a2＝2． 则的通项公式为 . 解：设 ，则 因为 是公差为 2 的等差数列，，所以 . 设 ，则, 所以 时, 所以又 , 满足上式,所以 故答案为： 6.记Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列,则的通项公式为 . 解：，又是公差为的等差数列, ∴当时，，∴ 整理得： ∴，显然也成立， ∴ 的通项公式.故答案为：. 7.数列满足：,，则的通项公式为 . 解：由 得,, ∴ ∴∴故答案为： 8.在数列中，已知. （1）若，求. （2）若，求. 解： (1) 解法一: 由 可得 所以整理得 解法二: 进位相减可得 即所以 数列为等差数列. 因为 所以 故 (2) 由 可得 从而 所以 . 整理得所以 6.2.4 已知数列前n和求数列的通项公式 知识点梳理 1.若已知数列的前项和与之间的关系，求数列{an}的通项公式可用公式求解. 注意：一定要先分和两种情况分别进行运算，最后验证能否统一. 2.若已知的是前项积与之间的关系，则与相除即可. 3.有时候题目给的是把前项罗列出来相加或相乘，也可以用此法. 典型例题 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n﹣an．则数列{an}的通项公式为 . 解：∵Sn＝n﹣an，∴Sn﹣1＝（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2）， 两式作差得2an＝an﹣1+1，∴2（an﹣1）＝an﹣1﹣1，当n＝1时，S1＝1﹣a1，∴， 所以{an﹣1}是首项为，公比为的等比数列，故． 例2.记Sn为数列的前n项和，已知4Sn＝3an+4，则的通项公式为 . 解：当 时, , 解得 . 当 时, , 所以 ， 即 ,而 , 故 , 故 , 数列 是以4 为首项, 为公比的等比数列, 所以 . 例3.记Sn为数列的前n项和，已知，则的通项公式为 . 解：因为, 即 ①, 当 时, ②, ① - ② 得,, 即 , 即, 所以, , 所以 是以为公差的等差数列. 随堂演练 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的通项公式 为 . 解：依题意，① 当n≥2时，，②． ①②两式相减得2an＝2nan﹣2（n﹣1）an﹣1+2﹣2n，即（n﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0， 因为n≥2，所以an﹣an﹣1﹣1＝0，即an﹣an﹣1＝1，所以{an}是公差为1的等差数列， 又a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝n． 2.Sn为数列{an}的前n项和．已知，，则数列{an}的通项公式为 . 解：(1) 当 时, . 因为 , 所以 . 当 时, 即 . 因为 , 所以 . 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 所以 . 3.设数列{an}的前n项和为Sn，已知，则数列{an}的通项公式为 . 解：因为 ，所以，，故 . 当 时，。此时，，即 . 又不满足该式，∴. 4.已知数列{an}的前n项和，{bn}是等差数列，且. 则数列{bn}的通项公式为 . 解：由题意知当时, . 当时, , 所以. 设数列 的公差为 , 由. 可解得 , 所以 . 5.已知数列{an}的前n项和，其中.求证：{an}是等比数列，并求其通项公式. 解：由题意得 ，故 . 由 得 由 得 ，所以 因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 6.已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且．求{an}的通 项公式. 解：由，可得4S1＝4a1＝a1a2+1，即4＝a2+1，可得a2＝3， 当n≥2时，由4Sn＝anan+1+1，可得4Sn﹣1＝an﹣1an+1， 两式相减可得4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝anan+1﹣an﹣1an，化为an+1﹣an﹣1＝4， 即数列{an}的奇数项和偶数项均为公差为4的等差数列， 即有n＝2k﹣1时，an＝1+4（k﹣1）＝4k﹣3；n＝2k时，an＝3+4（k﹣1）＝4k﹣1； 所以an＝2n﹣1. 6.2.4 构造法求数列的通项公式 知识点梳理 1.求形如（）的递推公式的通项，可采用如下两种方法. ①待定系数法：设，用待定系数法可求出，进而构造新的等比数列. ②也可由及，两式相减得：，所以是首项为，公比为的等比数列，先求出，再求. 2.形如（）的递归式，等号两边同除以，得：，令，得，先求，再求. 典型例题 例1.已知数列{an}满足，. 证明：是等比数列，并求{an}的通项公式； 解：证明：由 得 . 所以.故数列 是等比数列，首项为 ，公比为 . 所以 .解得：. 例2.设数列{an}满足3，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由可得： , 两式相减得 . 令 , 且 , 所以 , 两边同时减去 , 得, 且 , 所以 , 即, 又 , 因此 是首项为 , 公差为 的等差数列, 所以 . 例3.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 解：两边同时除以 得: .又， 是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴. 随堂演练 1.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 解：设将其展开可得： 已知 , 所以 , 解得 . 那么已知 , 则 . 由 可知, 数列 是以 3 为首项, 为公比的等比数列。根据等比数列的通项公式 (其中 为首项, 为公比), 可得将 移项, 可得 因此, 数列 的通项公式为： 2.在数列{an}中，已知. （1）若，求{an}的通项公式. （2）若，求{an}的通项公式. 解：（1）设 , 所以 , 展开后比较得 这时 且 , 所以 是以 3 为首项, 以 为公比的等比数列, 所以 , 即 , 所以 . （2）方法一: 设 , 展开并比对系数求得 , 即 ; 所以 . 方法二: 两边同除以 , 得 , 故 , 方法三: 两边同除以 , 得 , 叠加得 , , 所以 . 3.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 解: 对 变形可得 等号两边同除以 , 得： 则 是以 为首项, 为公差的等差数列. ∴， 整理得： 4.设数列{an}的前n项和为． （1）求，. （2）证明：是等比数列. （3）求{an}的通项公式. 解（1）由 和 可得， ，解得 。 ，解得 ， 。 ，解得 ， 。 ，解得 。 故 ， 。 （2）证明:因为 (1), 故 (2)。 由 (2) - (1) 得 ，则. 即 .当 时,. 又因为 .∴数列 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列. （3）由 (2) 知 .等号两端同时除以 , 得：.且 . ∴数列 是以 1 为首项, 以 为公差的等差数列. 根据等差数列通项公式：. 即 .故 的通项公式为 . 5.已知等差数列{an}与数列{bn}满足，，且，求数列{bn}的通项公式. 解：解法一: 令 , 有 所以 , 即 , 所以 由 得 设 , 则，可得 易得 , 故从而 解法二: 由解法一知：则 两式相减得： 于是 上式累加得 , 即 当 时, 上式也成立. 又 , 得 , 故 解法三: 由 构造等比数列形式 则所以 6.已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式． 解: ， ∴ = = ， 又 , 所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列, ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 数列之求通项公式 6.2.1 公式法求数列的通项公式 知识点梳理 1.若{an}是等差数列，首项为，公差为，则其通项公式为，推广形式：. 2.若{an}是等比数列，首项为，公比为，则其通项公式为( q≠0)，推广形式：. 典型例题 例1.已知公比大于1的等比数列{an}满足，，则{an}的通项公式为 . 例2.记是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，，则{an}的通项公式为 . 例3.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，，，．则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 随堂演练 1.记为等差数列{an}的前n项和，已知，，则{an}的通项公式为 . 2.设{an}是公比不为1的等比数列，，且为，的等差中项，则{an}的通项公式为 . 3.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，则数列{an}的通项公式 . 4.等差数列{an}的前n项和为，已知，为整数，且，则{an}的通项公式为 . 5.已知{an}为等差数列，前n项和为，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，且，，.则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 6.设等差数列{an}的公差为，前n项和为，等比数列{bn}的公比为．已知，，，．则数列{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 6.2.2 同除以积的题型求数列的通项公式 知识点梳理 常见题型：出现两项和、差与两项乘积时的模型时，等式左右两边同时除以数列两项的乘积，然后转变为常规数列来进行求解. 典型例题 例1.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 例2.已知数列{an}的前n项和为，，，则数列{an}的通项公式为 . 随堂演练 1.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 2.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 3.已知数列{an}中，，2，则数列{an}的通项公式为 . 4.已知数列{an}满足，，则 ． 5.设是数列{an}的前n项和，且，，则 ． 6.已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0)满足，则数列的通项公式为 . 7.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为,且 ，则{an}的通项公式为 . 6.2.3 迭代法求数列的通项公式 知识点梳理 1.累加法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造，将这个式子两边分别相加，可得：. 注意：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和. 2.累乘法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造， 将这个式子两边分别相乘，可得：（）. 典型例题 例1.在数列{an}中，已知，，则数列{an}的通项公式为 . 例2.已知是数列{an}的前n项和，，，则an= . 例3.已知数列{an}中，，，则{an}的通项公式为 . 例4.已知数列{an}中，，前n项和，则{an}的通项公式为 ． 随堂演练 1.设数列{an}满足，且，则数列{an}的通项公式为 . 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，，则{an}的通项公式为 . 3.已知数列{an}满足：且，则数列{an}的通项公式为 ． 4.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan．则{an}的通项公式为 . 5.已知是公差为2的等差数列，数列的前n项和为Sn，且，a2＝2． 则的通项公式为 . 6.记Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列,则的通项公式为 . 7.数列满足：,，则的通项公式为 . 8.在数列中，已知. （1）若，求. （2）若，求. 6.2.4 已知数列前n和求数列的通项公式 知识点梳理 1.若已知数列的前项和与之间的关系，求数列{an}的通项公式可用公式求解. 注意：一定要先分和两种情况分别进行运算，最后验证能否统一. 2.若已知的是前项积与之间的关系，则与相除即可. 3.有时候题目给的是把前项罗列出来相加或相乘，也可以用此法. 典型例题 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n﹣an．则数列{an}的通项公式为 . 例2.记Sn为数列的前n项和，已知4Sn＝3an+4，则的通项公式为 . 例3.记Sn为数列的前n项和，已知，则的通项公式为 . 随堂演练 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的通项公式 为 . 2.Sn为数列{an}的前n项和．已知，，则数列{an}的通项公式为 . 3.设数列{an}的前n项和为Sn，已知，则数列{an}的通项公式为 . 4.已知数列{an}的前n项和，{bn}是等差数列，且. 则数列{bn}的通项公式为 . 5.已知数列{an}的前n项和，其中.求证：{an}是等比数列，并求其通项公式. 6.已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且．求{an}的通 项公式. 6.2.5 构造法求数列的通项公式 知识点梳理 1.求形如（）的递推公式的通项，可采用如下两种方法. ①待定系数法：设，用待定系数法可求出，进而构造新的等比数列. ②也可由及，两式相减得：，所以是首项为，公比为的等比数列，先求出，再求. 2.形如（）的递归式，等号两边同除以，得：，令，得，先求，再求. 典型例题 例1.已知数列{an}满足，. 证明：是等比数列，并求{an}的通项公式； 例2.设数列{an}满足3，，则数列{an}的通项公式为 . 例3.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 随堂演练 1.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 2.在数列{an}中，已知. （1）若，求{an}的通项公式. （2）若，求{an}的通项公式. 3.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 4.设数列{an}的前n项和为． （1）求，. （2）证明：是等比数列. （3）求{an}的通项公式. 5.已知等差数列{an}与数列{bn}满足，，且，求数列{bn}的通项公式. 6.已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $