专题04 直线方程中距离公式期中复习讲义【知识清单+12大考点+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题04 直线方程中距离公式 知识点1： 线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点2：两点间距离 设，则 知识点3：点到直线距离 设，，则点到直线的距离． 知识点4：两平行线间距离 ，，则的距离为． 知识点5：双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点6：两条直线的交点坐标 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 知识点7：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点8： 点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 知识点9： 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 策略：点关于直线对称的妙解公式 设点关于直线对称的点为,则坐标为，其中． 知识点10： 直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 知识点11： 直线关于直线对称 解直线与直线对称的方法有很多，在此阐述三种 法一：特殊点法 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点(非交点)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 法二：到角公式： 规定：直线和直线相交于一点，把绕该点按逆时针旋转角，此时与重合，角就叫做从到的角，同理，就叫做从到的角。设的斜率是 ，的斜率是 ，则有 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：设的斜率为，则的方程为 第三步：利用到的角与到的角相同，可以列出，解出 秘籍：直线与直线的秒杀公式 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线， 的方程为：，其中． 知识点12： 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 考点一 两直线交点坐标的问题 考点二 求平面两点间的距离及其求参 考点三 求点到直线的距离及其求参 考点四 求平行线间的距离及其求参 考点五 用两点间的距离公式求最值 考点六 求到两点距离相等的直线方程 考点七 利用点到直线距离求最值 考点八 利用两条平行线距离求最值 考点九 线段和、差的最值问题 考点十 直线方程中的对称问题 考点十一 光线反射问题 考点十二 将军饮马问题求最值 考点一 两直线交点坐标的问题 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即两直线交点坐标为， 代入得：，解得. 2．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立方程求得交点坐标，再结合题意解即可得答案. 【详解】因为直线与的交点在第四象限， 所以两直线相交，，即， 联立方程解得, 由两直线与的交点在第四象限可得 解此不等式组可得，即的取值范围为. 3．（26-27高二上·安徽滁州·阶段检测）三条直线，，不构成三角形，则的所有取值个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三条直线不构成三角形的条件，核心思路是“两条直线平行则无交点、三条直线共点则只有一个交点”，两种情况均不能构成三角形.需分别讨论第三条直线与前两条直线平行，以及三条直线共点的情形. 【详解】 的斜率 ， 的斜率 ，，故 与 相交， 交点为解方程组 ，得原点 . ① 与 平行. 当 时， 的斜率 .平行条件为 ，即 ，解得 . 当 时，，与 斜率相同、截距不同，确为平行关系， 此时 ，三条直线不构成三角形，符合条件. ② 与 平行. 平行条件为 ，即 ，解得 . 当 时，，与 斜率相同、截距不同，确为平行关系， 此时 ，三条直线不构成三角形，符合条件. ③三条直线共点. 若 也过原点 ，代入 方程得 ，即 ，矛盾，故不存在这样的 使三条直线共点于原点. 再验证 的特殊情形：当 时，（垂直于 轴的直线）， 与 交于 ，与 交于 ，加上原点 共三个不同交点，可构成三角形，不符合条件. 综上，满足条件的 值为 和 ，共 2 个. 【点睛】三条直线不构成三角形，只有两种可能：两条平行或三条共点；注意先判断前两条直线是否相交，再分别讨论第三条直线与它们的平行关系和共点情况，不要遗漏特殊斜率（如 时直线垂直于坐标轴）. 4．（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 考点二 求平面两点间的距离及其求参 5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，是直线l：上的两点，若，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为，是直线l：上的两点，所以，， ，即. 6．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】∵， ∴， ， ， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形. 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 8．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 考点三 求点到直线的距离及其求参 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）点到直线：的距离为_________________． 【答案】4 【详解】点到直线：的距离为. 10．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)直线的方程和点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)直线 BC：； (3) 【分析】将直线系整理为点斜式求定点即得 A； 设 B 点坐标，利用中点 M 在中线上求 B，再由角平分线的对称性求直线 BC，与中线联立求 C； 用底乘高或行列式公式求面积. 【详解】（1） 直线 整理为 ， 令 ，得 ，此时 ，故直线 l 恒过定点 ， 即 . （2）因为点 B 在角平分线 上，设 .由中点坐标公式， AB 中点 .又 M 在中线 上，代入得 ，解得 ，故 . 直线 BA 过 、，斜率 ，方程为 . 因为 是 的平分线，所以直线 BC 与直线 BA 关于直线 对称. 取 A 关于 的对称点 ，则直线 BC 过 与 ，斜率 ， 方程为 ，即 . 点 C 是直线 BC 与中线 CM 的交点，联立 ，解得 ，，即 . （3）， 点 C 到直线 AB： 的距离 ， 故 . 【点睛】角平分线的核心性质是“两边关于角平分线对称”，求对称直线可在一边上取点求对称点再连线；直线系过定点用“分离参数法”. 11．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 12．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）直线l经过点，且原点O到l的距离为1，满足该条件的一条直线的方程可以是___________． 【答案】或（两者写出其一即可） 【详解】若l斜率不存在，直线l：，显然满足条件； 若l斜率存在，设，即， 则，解得， 此时，l的方程为. 所以l的方程为或（两者写出一种即可）. 考点四 求平行线间的距离及其求参 13．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）若直线与平行，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线与平行，，解得. ，即. 与的距离. 14．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）若直线与之间的距离为，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为直线与之间的距离为， 所以，得的值为或 15．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 【答案】12 【分析】根据两直线平行求出，根据两平行线之间的距离求出，进而得到. 【详解】直线即，则，解得， 又，解得或，又，所以， 所以. 16．（26-27高二上·陕西铜川·阶段检测）已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可知，利用平行线之间的距离公式即可求解． 【详解】已知直线，互相平行， 所以，解得，所以的方程为， 因为、之间的距离为，所以，解得或， 当时，；当时，. 综上所述，. 考点五 用两点间的距离公式求最值 17．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）函数的最小值为（     ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】整理可得，结合两点间距离公式可得，根据将军饮马问题求最值. 【详解】由题意可得：， 设，，，则， 设关于x轴对称的点为，则， 可得， 所以函数的最小值为. 18．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）的最小值为______． 【答案】 【详解】因为， 所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和， 即，如下图所示： 由图可知，当点、、三点共线时，取最小值， 且. 故答案为：. 19．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】配方转化为平面上点到两定点距离之和，用对称点求最小值，的最大值就是这个最小值. 【详解】对两个根号内的二次式分别配方， ，， 原式表示轴上动点到点、的距离之和， 作关于轴的对称点，由对称性可知， 因此，当且仅当、、三点共线时取等号， ，因此的最小值为5， 若不等式对任意实数恒成立，则，即的最大值为5. 20．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】将根式和转化为动点到正方形四个顶点的距离之和，将对角顶点对应的距离配对，利用三角不等式求下界，并检验能否同时取等． 【详解】设，取、、、，则四点构成边长为2的正方形，由两点间距离公式，题中根式和等于． 由线段长的三角不等式，，且，两式相加得原式． 当为两条对角线的交点，即时，同时在线段和上，两个不等式同时取等，所以原式的最小值为． 考点六 求到两点距离相等的直线方程 21．（25-26高二·全国·寒假作业）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：，． 22．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 【答案】 或 【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式求解参数，排除不符合题意的情况即可得到直线方程. 【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为，此时点到的距离为，点到的距离为，二者不相等，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，整理为一般式得， 由点到直线的距离相等，得 ， 由于，两边同乘得，所以，整理得，即，解得或, 可得直线的方程为即，或即 23．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 24．（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两条直线垂直的斜率关系，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）点和到直线距离相等，分两种情况：①直线，②直线过中点，分别求出直线方程即可. 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 考点七 利用点到直线距离求最值 25．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将目标式转化为原点与直线上的点的距离，进而结合几何意义与点到直线的距离公式求解即可. （2）根据题意，分和，两种情况讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，求解参数得到直线方程即可. （3）将直线方程变形为，得直线恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，求出直线方程即可． 【详解】（1）由题意得表示原点与直线上的点的距离， 结合直线的性质可得的最小值为原点到直线所作垂线的长度， 设垂线长度为，由点到直线的距离公式得. （2）当时，直线，即为， 则经过点的直线的方程为， 此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去； 当时，可设直线的方程为，即为， 可得，解得，故直线方程为. （3）∵直线l：， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，，由此可得直线l恒过点， 所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∵，∴直线l的斜率为，∴，∴， ∴直线l的一般方程为． 26．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，得到最大距离时，然后由斜率关系可得. 【详解】直线方程可化为， ，解得， 所以直线恒过点，设为点 此时为点到直线的最大距离，且， 由斜率关系可得. 故选：B. 27．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）（多选）设直线，，则（     ） A．过定点 B．原点到的距离的最大值为 C．不存在，使得 D．存在唯一的，使得 【答案】BCD 【详解】由题意得，即， 由得，故A错误； 而原点到的距离的最大值为，故B正确； 由得， 故不存在，使得，故C正确； 由得， 故存在唯一的，使得，故D正确. 28．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 考点八 利用两条平行线距离求最值 29．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 30．（25-26高二·全国·寒假作业）过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）结合点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得； （2）结合（1）中所得与点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得. 【详解】（1）当两直线的斜率都不存在时，方程分别为，满足题意； 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为与， 即与， 由题意得，解得， 所以所求的直线方程分别为， 综上，所求的直线方程为或； （2）由（1）知，当两直线的斜率都不存在时，； 当两直线的斜率都存在时，， 则，即有， ，故， 即，由，解得，故， 此时有，即，解得， 此时对有， 对有， 即此时两直线的方程分别为. 31．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 32．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）两平行直线、分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据题意分析可知，即可得结果. 【详解】设、之间的距离为， 若平行直线、分别过点，，则， 当且仅当、与直线垂直时，等号成立， 所以、之间的距离的取值范围是. 故答案为：. 考点九 线段和、差的最值问题 33．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【分析】、在直线的同侧，可通过对称将距离和转化为(为点关于直线对称的点)，当为与直线的交点时，取得最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点. 的最小值为. 34．（25-26高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 35．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】利用所求表达式的几何意义，转化求解对称点的坐标，利用距离公式求解最小值即可．. 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 36．（25-26高二上·四川宜宾·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用过两直线交点的直线系求解； （2）求出点关于直线的对称点，则即为所求. 【详解】（1）设所求直线方程为，即， 由其与直线垂直可得，解得， 所以所求直线方程为，化简得：. （2）因为，所以两点在直线同侧， 由已知可知， 设点关于直线的对称点为，则，解得， 即，因为，所以， 当且仅当动点位于与交点时取等号， 所以的最小值为. 考点十 直线方程中的对称问题 37．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，． (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求点关于直线：对称的点的坐标． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【详解】（1）由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； （2）设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 38．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】结合点关于直线对称、直线关于直线对称、直线关于点对称的性质，以及两直线垂直的斜率关系逐一验证各个选项． 【详解】选项A、设原点关于直线的对称点为， 满足两个条件：①线段中点在直线上， 即，化简得； ②两点连线与直线垂直，斜率乘积为， 即，化简得 联立方程解得， 所以原点关于的对称点的坐标是，选项A正确； 选项B、联立， 解得直线与的交点为，该点在对称直线上， 取上的点， 由选项A可知原点关于的对称点为， 过两点和的直线斜率为， 所以直线关于的对称直线的方程是，即，选项B正确； 选项C、直线关于点对称后与原直线平行，故斜率仍为2， 取直线：上的点，其关于的对称点为， 直线关于点的对称直线的方程是，即，选项C正确； 选项D、已知直线：， 则与直线垂直的直线斜率为， 所以过点，垂直于直线的直线的方程是，即，选项D错误． 39．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 40．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 考点十一 光线反射问题 41．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）（多选）光线自点射入，经直线：反射后经过点，则（    ） A．入射光线所在直线的方程为 B．反射光线所在直线的方程为 C．入射光线所在直线与夹角的正切值为 D．入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为 【答案】BCD 【分析】分别求出，关于直线的对称点，求出入射光线和反射光线所在直线的方程,利用两直线夹角的正切公式即可求解. 【详解】设点关于的对称点， 则，解得：，即， 所以入射光线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为：，即，故A不正确； 设点关于的对称点， 则，解得：，即， 所以反射光线的斜率为， 所以反射光线所在直线方程为：，即，故B正确； 对于C，因为入射光线所在直线方程为：，所以入射光线所在直线与夹角的正切值，故C正确； 对于D,因为反射光线所在直线方程为：，入射光线所在直线方程为：，入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为，故D正确. 42．（26-27高二上·安徽·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，求出点关于直线、轴的对称点、的坐标，根据、、三点共线以及斜率关系可求出的值，即可得出的值. 【详解】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 43．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 44．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 【答案】 【分析】先求点关于直线的对称点，由反射定律知反射光线所在直线就是直线，再由两点式写出方程并整理. 【详解】设点关于直线的对称点为. 因为的斜率为，由得，即①； 又的中点在上，即②. 联立①②解得、，即. 由反射定律知，反射光线所在直线即为直线，其斜率. 所以反射光线所在直线方程为，即. 考点十二 将军饮马问题求最值 45．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 46．（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点对称然后连线找最短，求两点间距离即可 【详解】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 47．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 48．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 1．（26-27高二上·广东·阶段检测）与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用所求直线上的点关于轴的对称点在已知直线上，求解即可. 【详解】在所求直线上任取一点， 此点关于轴的对称点在直线上， 代入得，即. 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由光的反射性质可知，入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线对称，再求出入射直线过的定点关于直线对称的点，则反射直线必过该点，可求出，同理可求出. 【详解】根据光的反射性质可知，直线与直线关于直线对称. 入射光线必经过点，则过该点且垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则反射光线所在的直线必经过点，求得； 同理反射光线必经过，则过该点垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则入射光线所在的直线必经过点，求得 3．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立直线与， 可得方程组，解得，即两直线交点坐标为． 直线整理为斜截式为，则该直线斜率为． 已知两条互相垂直的直线斜率乘积为，设所求直线斜率为， 则，解得． 已知所求直线过点，斜率为，代入点斜式方程， 可得，整理为一般式，即． 4．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可将函数看作轴上一点到点与点的距离之和，数形结合可得最小值. 【详解】因为， 则可看作轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当，，三点共线时，取得最小值， 即. 5．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知实数满足，则的最小值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当取最小值时， 即为点到直线的距离． 6．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）点到直线的最大距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理含参直线方程得到其恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到该定点的距离求解． 【详解】首先将直线的方程整理为：， 由于等式对任意均成立，因此联立方程组，解得， 即直线过定点． 当直线绕点旋转时，点到直线的距离的最大值为点到定点的距离（此时）． 由两点间距离公式得：， 此时，且，则，解得，符合题意， 故点到直线的最大距离是． 7．（25-26高二上·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 8．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到点在平行于的直线上，且到的距离相等，根据平行线的距离公式得到所在的直线，最后利用点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图所示，点在与之间，且到这两条直线的距离相等，所以点在平行于这两条直线的直线上， 设该直线的方程为，则，解得， 故的最小值为点到直线的距离，即. 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知直线：，下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与直线平行 B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C．，原点到直线的距离为4 D．直线与直线垂直，则 【答案】CD 【分析】求出直线的方程并判断与直线的关系，即可判断A；分截距为0和截距相等且不为0两种情况，求出，即可判断B；求出原点到直线的距离的取值范围，即可判断C；由两直线垂直求出，即可判断D. 【详解】当时，直线的方程为，与直线完全重合，故A错误； 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若截距相等，分两种情况： ①截距均为0，即时，解得； ②截距相等且不为0，即，解得， 综上，或，故B错误； 将直线变形为， 令，解得，所以直线恒过定点， 则，所以原点到直线的距离， 故，原点到直线的距离为4，故C正确； 若直线与直线垂直，则直线的斜率，则有， 解得，故D正确； 10．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（     ） A．直线必过定点 B．过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D．若直线：与直线：互相平行，则实数或3 【答案】AC 【分析】将直线整理为求出定点后可判断A；分截距为0和截距不为0两种情况讨论得到直线方程后判断B； 根据平行条件求出后利用平行线距离公式判断C；根据平行条件求后判断D. 【详解】对于A，将直线方程整理为，令，解得 ，所以直线过定点，A正确； 对于B，当直线在，轴截距为0时，此时直线方程为； 当直线在，轴截距不为0时，设直线方程为，又直线过，所以， 解得，所以直线方程为，B错误； 对于C，由平行条件可得，解得，直线可化为， 所以距离，C正确； 对于D，由得，解得或； 当时，：，：即，此时两直线重合，不符合题意； 当时，：，：，符合题意，D错误. 11．（26-27高二上·河南新乡·开学考试）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 12．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】先统一两条平行直线的系数，再代入两平行线间的距离公式求解. 【详解】首先将直线两边同乘2，得到与系数一致的平行直线方程. 根据两平行直线的距离公式得. 13．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【答案】 【分析】用对称性求关于直线的对称点，再应用点斜式写出直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，即， 依题意在反射光线上，又也在反射光线上， 所以，故所求方程为，整理得． 14．（26-27高一上·河北石家庄·开学考试）如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可. 【详解】设， 在长方形中，,， ，又， ∴， ∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长， 即. 15．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求平分线所在直线的方程； (3)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）先由中点公式求出 BC 的中点，再用点斜式写出中线方程； （2）根据角平分线的方向向量等于角两边单位向量之和，据此求斜率，再由点斜式求结论； （3）当直线的斜率存在时，设其方程为，结合点到直线距离公式列方程求，再判断当直线的斜率不存在时，是否满足条件即可. 【详解】（1）设的中点为，由中点公式得 中线经过 与，其斜率为 由点斜式可得直线的方程为，整理得 （2）先求两边长度：, 平分线的方向向量为两边单位向量之和，又 取的方向向量为，故直线的斜率.又过点， 由点斜式可得直线的方程为 整理得 （3）当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线的方程为或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或 16．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）使用待定系数法求解； （2）设直线上任意一点的对称点坐标，通过坐标关系求解； （3）计算点关于直线和的对称点分别为，该光线所经过的路程长度即两个对称点间的距离. 【详解】（1）设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. （2）设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线方程中距离公式 知识点1： 线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点2：两点间距离 设，则 知识点3：点到直线距离 设，，则点到直线的距离． 知识点4：两平行线间距离 ，，则的距离为． 知识点5：双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点6：两条直线的交点坐标 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 知识点7：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点8： 点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 知识点9： 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 策略：点关于直线对称的妙解公式 设点关于直线对称的点为,则坐标为，其中． 知识点10： 直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 知识点11： 直线关于直线对称 解直线与直线对称的方法有很多，在此阐述三种 法一：特殊点法 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点(非交点)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 法二：到角公式： 规定：直线和直线相交于一点，把绕该点按逆时针旋转角，此时与重合，角就叫做从到的角，同理，就叫做从到的角。设的斜率是 ，的斜率是 ，则有 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：设的斜率为，则的方程为 第三步：利用到的角与到的角相同，可以列出，解出 秘籍：直线与直线的秒杀公式 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线， 的方程为：，其中． 知识点12： 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 考点一 两直线交点坐标的问题 考点二 求平面两点间的距离及其求参 考点三 求点到直线的距离及其求参 考点四 求平行线间的距离及其求参 考点五 用两点间的距离公式求最值 考点六 求到两点距离相等的直线方程 考点七 利用点到直线距离求最值 考点八 利用两条平行线距离求最值 考点九 线段和、差的最值问题 考点十 直线方程中的对称问题 考点十一 光线反射问题 考点十二 将军饮马问题求最值 考点一 两直线交点坐标的问题 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·安徽滁州·阶段检测）三条直线，，不构成三角形，则的所有取值个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 考点二 求平面两点间的距离及其求参 5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，是直线l：上的两点，若，则（   ） A．1 B．3 C． D． 6．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 考点三 求点到直线的距离及其求参 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）点到直线：的距离为_________________． 10．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)直线的方程和点的坐标； (3)求的面积． 11．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 12．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）直线l经过点，且原点O到l的距离为1，满足该条件的一条直线的方程可以是___________． 考点四 求平行线间的距离及其求参 13．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）若直线与平行，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）若直线与之间的距离为，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 15．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 16．（26-27高二上·陕西铜川·阶段检测）已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点五 用两点间的距离公式求最值 17．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）函数的最小值为（     ） A． B． C．7 D． 18．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）的最小值为______． 19．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 20．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 考点六 求到两点距离相等的直线方程 21．（25-26高二·全国·寒假作业）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 22．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 23．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 24．（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 考点七 利用点到直线距离求最值 25．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 26．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 27．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）（多选）设直线，，则（     ） A．过定点 B．原点到的距离的最大值为 C．不存在，使得 D．存在唯一的，使得 28．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 考点八 利用两条平行线距离求最值 29．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 30．（25-26高二·全国·寒假作业）过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． 31．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）两平行直线、分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是______ 考点九 线段和、差的最值问题 33．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 34．（25-26高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 35．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为________． 36．（25-26高二上·四川宜宾·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 考点十 直线方程中的对称问题 37．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，． (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求点关于直线：对称的点的坐标． 38．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 39．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 40．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 考点十一 光线反射问题 41．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）（多选）光线自点射入，经直线：反射后经过点，则（    ） A．入射光线所在直线的方程为 B．反射光线所在直线的方程为 C．入射光线所在直线与夹角的正切值为 D．入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为 42．（26-27高二上·安徽·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 43．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 44．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 考点十二 将军饮马问题求最值 45．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 46．（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 48．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 1．（26-27高二上·广东·阶段检测）与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（　　　） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知实数满足，则的最小值（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）点到直线的最大距离是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知直线：，下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与直线平行 B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C．，原点到直线的距离为4 D．直线与直线垂直，则 10．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（     ） A．直线必过定点 B．过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D．若直线：与直线：互相平行，则实数或3 11．（26-27高二上·河南新乡·开学考试）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 12．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）两平行直线与之间的距离为________． 13．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 14．（26-27高一上·河北石家庄·开学考试）如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 15．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求平分线所在直线的方程； (3)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程． 16．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $