精品解析：辽宁省沈阳市浑南区2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试卷

2025—2026学年上学期期末学业测评 九年级数学 试题满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个几何体的俯视图中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的判断方法是解答的关键．根据几何体俯视图的判断方法判断即可． 【详解】解：A、C、D选项中几何体的俯视图为： B选项中几何体的俯视图为： ∴四个几何体的俯视图中与其他三个不同的是B选项． 故选：B. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，设，，其中，然后代入计算即可． 【详解】解：， 设，，其中， ． 故选：A． 3. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴， ∴． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ 故选：B． 5. 在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 15个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据概率公式计算概率，设口袋中红球可能有个，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：设口袋中红球可能有个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意； 故口袋中红球可能有12个， 故选：D． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明是等腰直角三角形，求出，即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ═， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现是等腰直角三角形这个突破口． 7. 如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的面积为2，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 18 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换．利用位似的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， 与位似，点为位似中心， ，， ， ， ， ． 故选：D． 8. 物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压p（）与气球体积V（）是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据如表判断，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（ ） p（） … 20 40 60 100 120 … V（） … … A. 小于 B. 不小于 C. 大于 D. 不大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小，进而可求解，从表中获取相关信息，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小， 则当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据如表判断，为了安全起见，气球内气体的体积V应该不小于， 故选：B． 9. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得平移后的解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律． 10. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＞0，其中正确结论是 （　　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点情况判断①，根据对称轴判断②，根据抛物线的对称性判断③、④． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； 由图象可知：对称轴， ∴，故②错误； 由图象可知：对称轴为， ∵， ∴可知点C离对称轴的距离比点B离对称轴的距离要远， ∴，故③正确； ∵点A(-3，0)，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)， ∴把点(1，0)代入解析式可得，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与各项系数的关系，解题的关键是熟知二次函数图像、性质及各项系数之间的关系． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，直接代入求解即可． 将代入方程求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交上一条弧于点，作射线；以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则四边形的周长为______． 【答案】20对了 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，由可得，由作图得，推出得出四边形是平行四边形，由得四边形是菱形，从而可得结论 【详解】解：∵ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长为， 故答案为：20 13. 如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△ABM∽△DCM， ∴===，（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∵MH∥AB， ∴△MDH∽△ADB， ∴==， ∴=， 解得MH=6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比． 14. 一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为______m． 【答案】0.2## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得球出手时运动员的横坐标是解题的关键．求得当时，x的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】解：令，即， 解得，（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， 运动员跳离地面的高度为：， 故答案为：0.2． 15. 如图，矩形的边上有一动点E，以为边作平行四边形，且边过点D，若，，则平行四边形的面积为______（用含a，b的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 连接，根据与平行四边形同底同高，进行计算求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形， 、， ， 令以边为底上的高为， ， 平行四边形与三角形同底同高， 平行四边形以边为底上的高为， ， ， 即平行四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和配方法（或公式法）解一元二次方程是解题的关键． （1）先回忆特殊角的三角函数值，再代入进行实数的混合运算． （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， ， 所以，． 17. 为了使学生树立正确的劳动观点和劳动态度，养成劳动习惯、掌握必要的劳动技能，常州某校开设了劳动教育课程，桐桐和明明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等． （1）桐桐恰好选中“烹饪”的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都选中同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4门课程，每门课程被选中的可能性相等， ∴桐桐恰好选中“烹饪”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C、D表示“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”这4门课程，列表如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人都选中同一门课程的结果数有4种， ∴两人都选中同一门课程的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求m和k值； （2）已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； 【小问2详解】 解：设的坐标是， ∵的面积等于正方形面积的一半 ， ， ， 的坐标是． 19. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为 （2）最少购进甲种商品40件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； 【小问2详解】 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 20. 如图，一艘货轮以海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向． （1）求此时货轮到线段的距离；（结果保留根号） （2）求此时货轮与灯塔的距离（结果精确到海里，参考数据，）． 【答案】（1）货轮到线段的距离为海里； （2）货轮与灯塔的距离约为海里． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质、三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义和角度关系的推导是解题的关键． （1）先求的长度，过作的垂线，利用角度关系得为等腰直角三角形，结合长度求． （2）在中，利用角度求出，结合长度，用三角函数求． 【小问1详解】 解：∵货轮速度海里/小时，航行分钟， ∴海里， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴货轮到线段的距离为海里； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ ， ∴货轮与灯塔的距离约为海里． 21. 综合与实践 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1，图2的设计加工一个正方形桌面．请从图1，图2中任选一个图形求出正方形桌面的边长；另一个图形直接写出正方形桌面边长的结果即可； （2）丙、丁两人分别按图3，图4的设计加工一个长方形桌面．请从图3，图4中任选一个图形求出长方形桌面的面积与的长之间的函数表达式，并求出面积的最大值（说明：若两个图形都作答，仅对排列在前的答案评分）． 【答案】（1）图1正方形的边长为；（图2的正方形边长为）； （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为: 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值，进行计算，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：图1：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∴图1正方形的边长为； 图2：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得， ∴图2的正方形边长为． 【小问2详解】 解：图3：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 22. 如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）根据题意得出为等边三角形，确定，再由平行四边形的性质得出，结合图形求解即可； （2）①根据题意得出，再由各角之间的等量代换确定，利用全等三角形的判定即可证明； ②过点C作，延长交于点H，交于点G，作，根据题意得出、均为等边三角形，再由全等三角形的判定确定，得出，，，再由解三角形得出，根据相似三角形的判定得出，，，利用其性质得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②过点C作，延长交于点H，交于点G，作，如图所示： 由（1）得，平行四边形， ∴、均为等边三角形， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的长；（用含有的代数式表示） （3）当的面积为时，求点坐标； （4）作轴，且点横坐标，以，为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求的取值范围； ②在①的条件下，当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）①；②或． 【解析】 【分析】（1）将，代入，用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式，再设点，，即可求出的长； （3）分别求出，，由求解即可； （4）①先由对称轴求出点的对称点，再结合图象分类讨论即可； ②分抛物线经过矩形的边的中点或抛物线经过矩形的边的中点，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把，代入中得， ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的函数表达式为，且， 对称轴为直线， ． 设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得， 直线的表达式为． 是第一象限抛物线上一点，且点横坐标为， ． 轴， ， ； 【小问3详解】 解：，， ． 的面积为， ， 解得或， 当时，，； 当时，，． 当的面积为时，点坐标为或； 【小问4详解】 解：① 点横坐标为，且对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为． i）如图，当时，， 此时，矩形的边与抛物线只有1个交点； ii）如图，当时，， 此时，矩形的边与抛物线只有2个交点； iii）如图，当时，要想矩形的边与抛物线有3个交点， 则，解得， ； iv）当时，则， 此时，矩形的边与抛物线只有2个交点； 综上所述，当矩形的边与抛物线有三个交点时，的取值范围为； ②i）当抛物线经过矩形的边的中点时，如图所示， 设的中点为，的中点为， 由（2）得，， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为． 又轴，且点横坐标为， 点的横坐标为， 点是抛物线上一点， 把代入得， ， ， ， 解得（负值舍去）； ii）当抛物线经过矩形的边的中点时，如图所示， 设的中点为， 由，点横坐标为， 点的横坐标为， 把代入得， ， ． 轴， 点的纵坐标等于点的纵坐标， 即， 解得（负值舍去）； 综上所述，当抛物线经过矩形某一边的中点时，的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积、矩形的性质，轴对称等知识，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期期末学业测评 九年级数学 试题满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个几何体的俯视图中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 15个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，面积为2，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 18 D. 32 8. 物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压p（）与气球体积V（）是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据如表判断，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（ ） p（） … 20 40 60 100 120 … V（） … … A. 小于 B. 不小于 C. 大于 D. 不大于 9. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＞0，其中正确结论是 （　　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值是_____． 12. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交上一条弧于点，作射线；以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则四边形的周长为______． 13. 如图，和表示两根立于地面柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度________． 14. 一身高篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为______m． 15. 如图，矩形的边上有一动点E，以为边作平行四边形，且边过点D，若，，则平行四边形的面积为______（用含a，b的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 为了使学生树立正确的劳动观点和劳动态度，养成劳动习惯、掌握必要的劳动技能，常州某校开设了劳动教育课程，桐桐和明明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等． （1）桐桐恰好选中“烹饪”的概率为______； （2）请用画树状图或列表方法，求两人都选中同一门课程的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求m和k的值； （2）已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 19. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 20. 如图，一艘货轮以海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向． （1）求此时货轮到线段距离；（结果保留根号） （2）求此时货轮与灯塔的距离（结果精确到海里，参考数据，）． 21. 综合与实践 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1，图2的设计加工一个正方形桌面．请从图1，图2中任选一个图形求出正方形桌面的边长；另一个图形直接写出正方形桌面边长的结果即可； （2）丙、丁两人分别按图3，图4的设计加工一个长方形桌面．请从图3，图4中任选一个图形求出长方形桌面的面积与的长之间的函数表达式，并求出面积的最大值（说明：若两个图形都作答，仅对排列在前的答案评分）． 22. 如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的长；（用含有的代数式表示） （3）当的面积为时，求点坐标； （4）作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求的取值范围； ②在①的条件下，当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $