广西壮族自治区柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

柳州地区民族高级中学2025-2026学年秋季学期 高一年级数学学情调研 本试卷满分150分，考试时间120分钟 考试范围：《必修一》第一章至第五章5.4节命题人：林雪梅审题人：唐甜甜 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上作答无效 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的： 1.命题3r∈R,x3+x<x2的否定是 A.xeR,x3+x>x2 B.x∈R,x3+x>x2 C.x∈R,x+x≥x2 D.xeR,x+x≥ 2.已知集合A=红，2,3，ad},4∈A,则a= A.2 B.±2 C.4 D.±4 3.已知函数f(x)= og,5x1则ff-7) x-2,x<1 A.5 B.4 C.3 D .2 4.函数f(x)=2+x的零点所在区间为 A.（1,0 B.(0,1) C.(1,2) D.(-2,-1) 5.在△ABC中，4-名是m4=的 6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)=a*-3+1(a>0且a≠1)的图象过定点(m,n),则m+n= A.2 B.3 C.4 D.5 7.若a=42,b=3°4，c=log43,则 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 试卷第1页，共4页 8.若x,y∈R且满足x+3y=5,则3+27+1的最小值是 () A.1+2W5 B.1+18V3 C.6 D.1+185 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 () A.若ac2<bc2,则a<b B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b>0,c>0,则b+cb a+c a 10.设函数/心)-22x+蜀引，则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=严对称 6 C.在0，日上是增函数 D.f)的图象关于点匠0)对称 1,x>0 11.已知符号函数$gn(x)=0,x=0,下列说法中正确的是 () -1,x<0 A.sgn(x)是奇函数 B.对任意的实数x,x=-xsgn(x) C.函数y=xsgn(x)的值域为[0，+o) D.直线y=a和函数y=xsgn(x2-1)的图象至多有2个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形的弧长为 13.函数f(x)=n(x+1)+V8-2的定义域为 14.已知f)是定义在R上的偶函数，当<5，s0时，)f)x+恒成立，且②=1， X1-X2 则不等式f(x-2)<x2-4x+1的解集为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（13分)全集U=R,集合A={x|x2-6x+5≤0}，非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a (1)若a=4,求(C,A)∩B: (2)若“x∈A”是x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围 16.(15分)已知角a为第二象限角，且a=-5,求： (l)sina,和tana的值； (2) 2cos0一的值： cos a-sin a 3)诺f(a)= +atam(π+a)+2 cos(）,化简并求值 sin(π-a)+cos(-ax） 17.(15分)已知函数f=2i血(2-7. (1)求函数f(x)的单调递增区间； ©诺引，求四的雀拔 试卷第3页，共4页 18.(17分)近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和 喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下 表所示： 建立平台第x个月 1 2 3 5 会员人数y(万) 2 5 6.7 6 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择： ①y=mlog2x+n,②y=Wx-2+n,③y=2x-m+n (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由： (②)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式： (3)预测第几个月会员人数会达到14万 19.(17分)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数的理论先驱对定义在非空集合1上的 函数f(x),以及函数g(x)=c+b(k,b∈R),切比雪夫将函数y=f(x)-g(x(xeI)的最 大值称为∫(x),g(x)的偏差” (1)函数f(x)=2x,x∈[0,1]，g(x)=-2x-4,求f(x),g(x)的偏差： （②)函数f9=13[,8(e)=+3(k≥，若f(g(9的偏差”为，求的值 试卷第4页，共4页 2028届高一年级数学学情调研参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A A 0 B ABD AC AC 1.C【详解】命题“xeR,x2+x<x2”的否定是x∈R,x+x≥x2, 2.B【详解】A=1,2,3,a2},4∈A,所以a2=4所以a=±2 3.D【详解】间-，所以-7-9J9-e3-,0-g-2 4.A【详解】由函数单调性的性质可知函数f(x)=2+x是实数集上的增函数， 因为f(-1)<0,f(0)>0,所以函数f(x)=2+x的零点所在区间为（-1,0). 5.A【详解】在a4BC中，A=名→mM 2而s4=1 4-君或4，可知A君是m4 6 2 的充分不必要条件 6.D【详解】令x-3=0,得x=3,f(3)=a°+1=2，f(x)过定点(3,2)，m=3,n=2,所以m+n=5. 7.D【详解】a=402=(2)2=24,:f(x)=x4,0.4>0,函数f(x)在[0，+∞)上单调递增， ∴.f(1)<f(2)<f(3),即14<24<34，.1<a<b .函数g(x)=log4x在(0，+o)上单调递增，∴.g(3)<g(4),即log43<lbg44,∴.c<1..c<a<b 8.B【详解】3+27+1=3*+3y+1,因为3>0,3”>0， 所以3+27+1=3*+3+1≥2W3*3+1=23+3+1=2V3+1=18√5+1 当且仪当=”即x=名时等号成立。此时127+1取最小值185+1 6 9.ABD【详解】对A:由ac2<bc2,则c2>0,故a<b,故A正确： 对B:由a>b,c>d,则a+c>b+d,故B正确： 对C:若a>0>b,0>c>d,则ac<0<bd,故C错误： 对D: b+c b ab+ac-ab-bc c(a-b) c(a-b a(a+c)'a>b>0,c>0, >0,+c≥，D正确。 a+c aa(a+c) a(a+c a+c a 10.AC【详解】对于A,f(y)的最小正周期T=2”=元，故A正确： 对于B,因了日2如2名2m会52，版：-不是该图数的对称辅，B箱误 对于C,由-元+2k元≤2x +行+2keZ,解得设+红 32 12+kkEZ, 答案第1页，共4页 令k=0得设<≤行，即f()在设上是增函数，而0[，故C正确： 对丁D,因()-2s2x纤+-子=0，放0不是该函数的对称中心，D错误 11.AC【详解】对于A,当x>0时，-x<0,则sgn(-x)=-1=-sgn(x),当x<0时，-x>0,则 sgn(-x)=1=-sg1(x),当x=0时，gn(-x)=0=-gn(x),所以y=sgn(x)为奇函数，A正确： x,x>0 -x,x>0 x3,x>0 对B,y=冈 0,x=0,y=-xsgn(x)= 0,x=0,B错；对C,令h(x)=xsgm(x)= 0, x=0, -x,x<0 X,x<0 -x3,x<0 当x>0时，h(x)=x>0,当x=0时，h(x)=0,当x<0时，h(x)=-x>0,所以h(x)的值域 为[0，+o),故C正确：对于D,当x2-1=0时，x=-1或x=1,当x2-1>0时，x<-1或x>1, 当x2-1<0时，-1<x<1, 「1，x<-1或x>1 [x2,x<-1或x>1 所以y=sgn(x2-1）={0, x=±1，设g(x)=x2sgn(x2-1）={0,x=士1 -1, -1<x<1 -x2,-1<x<1 作出函数g(x)的图象如图所示，由图可知， =g(x) 当a≤-1或0<a≤1时，y=a与y=g(x)的图象无交点， 当-1<a<0或a>1时，y=a与y=g(x)的图象有2个交点， 当a=0时，y=a与y=g(x)的图象有3个交点， 综上所述，y=a与y=xsgn(x2-1)图象至多有3个公共点，故D错误. 12.2【详解】因为r=2,S=2,设该扇形的弧长为1，则s==×1=2,解得1=2 1B.（1【详解】=+6-2，+0。解得-15r≤3. 14.(n.0U4+四)【详解】因为)-f>x+x,5<≤0，所以)-<-， x1-x2 即f)-x<fx)-x号，令g(x)=f(x)-x,则有8()<g(x,),则g(x)在(n,0]上单调递增 f(x)是定义在R上的偶函数，(-x)=f(-x)-(-x)2=fx)-x2=g(x),所以g(x)是定义在R上的 偶函数.由f(x-2)<x2-4x+1,可得f(x-2)<(x-2)2-3,整理得 f(x-2)-(x-2)<-3=f(2)-22,即g(x-2)<g(2),由g(x)是偶函数且g(x)在（←0,0]单调递增， 答案第2页，共4页 在(0，+o)单调递减，可得引x-2>2,解得x>4或x<0 综上，不等式的解集为(-∞，0)U(4,+∞) 15.(1)因为集合A={x|x2-6x+5≤0}={x1≤x≤5}，…2分 则C,A={xx<1或x>5},3分 若a=4,则集合B={x|-2≤x≤9}，…4分 所以(CA)∩B={x|-2≤x<1或5<x≤9}.…6分 (2)若“x∈A”是x∈B的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，…8分 且集合A={x1≤x≤5}，非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a, [2-a≤1+2a 则2-a≥1 且4≠B,解得≤a≤1，…12分(1个不等式1分，结果1分) 1+2a≤5 所以实数a的取值范围为al兮a≤1…13分 16.(1)由角0为第二象限角，且os2=-5 所以sinu=h 25 cos'a 5 ,…2分（公式1分，结果1分） 5 25 sin a tan a= 5 coS a v5 =-2.…4分（公式1分，结果1分) 5 2cosa 2 2 2 (2) cosa-sina1-tana1-(←2)3…7分 (3）f(a=costan-2cosg_na-2cosg=amg-2=4.…l5分 sin a+cosa sina+cos a tan a+1 (5分) (1分)（1分)(1分) 17.（1)令+2版≤2x-6+2mkeZ,2分 62 得君≤x≤管+k后乙，…4分 可得f的单调透增区间为+血写(ce2)…6分 (不写keZ扣1分，不取等号不扣分) 2)若剖可将2x后 …8分 当2x-君时，即号有1wm=)2m2号)2：…1分 当2-君号时，即亭有=）2m经8，…分 故fw)的值域为-5,2…15分 答案第3页，共4页 18.(1)由表知，函数定义域为x∈N,会员人数逐月增加，增速随x增大而减缓，…1分 对于模型②y=mx-2+n,当x=1时无意义，不符合题意：…2分 对于模型③y=2-m+n,会员人数增速随x增大而变快，不符合题意；3分 对于模型①y=mlog2x+n,会员人数增速随x增大而减缓，符合题意，…4分 所以最符合实际的函数模型是模型①y=mlog2x+n.…5分 (2)将数据组1,2)，(4,8)代入y=ml0g2x+n,…7分（可选1,2)，(2,5)，(4,8)三组中的两组) 得 mlog,1+n=2 mlog,4+n=8' 9分(1个式子1分) 解得m=3,n=2,…11分（1个结果1分) 因此y=310g2x+2.…12分 (3)当y=14时，31og2x+2=14,…14分 即log2x=4,解得x=16,…16分 所求函数模型的解析式为y=3log2x+2,预测第16个月会员人数达到14万.…17分 19.(1)解：y=f(x)-gx)=2x2+2x+4x∈[0,1]，…1分 因为x则，2+2-4=2++r网，1分 所以y=2x2+2x+4∈[4,8]，x∈[0,1]，即ymx=8,…6分 所以函数f(x)与g(x)的偏差为8.…7分 2解令10=-+到点2，…8分 1 :1,=-均为上的单调送减函数， 1在是上的单月减函数，…10分 1-0餐限，层，1分 又xe3,1-<0,…12分 所以号[3分 所以卡[日号-引即ge的偏差为业…15分 因为eg的偏差为所以2业子，解得表=1…16分 所以，当f,g()的“偏差为，k=1…17分 答案第4页，共4页