精品解析：山东省临沂第一中学南校区2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试题

临沂一中南校区2025级上学期第三次数学月考试题 一､单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出，，再求解即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以，故A正确. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定形式判定选项即可. 【详解】由全称命题的否定形式可知：命题“，”的否定是“，”. 故选：D 3. 函数被称为狄利克雷函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义结合分段函数性质计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：C 4. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为幂函数，可求出，即得到，再利用零点存在定理从而可求解. 【详解】由为幂函数，所以，得，所以， 对A：当时，，，故A错误； 对B：，，故B错误； 对C：，，故C正确； 对D：，，故D错误； 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到，，即可判断出，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判断出，从而得出结果. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，得到，即，所以， 故选：A. 7. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（ ） A. 960 B. 480 C. 320 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】易知，根据题意可知扇面的面积为. 故选：B 8. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得 【详解】因为，所以或 因为关于的方程共有5个不同的实数根． 所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点． 如图，的图象与直线有2个交点， 所以只需的图象与直线有3个交点，所以． 故选：D． 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二､多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数幂运算、对数的运算性质以及换底公式逐项分析求解即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，，， 两边平方得， ，所以，A选项错误，B选项正确. 则，所以 ，所以D选项正确. 由，两式相减并化简得，所以C选项错误. 故选：BD 11. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（ ) A. B. 函数在其定义域上是增函数 C. 若实数满足不等式，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的解析式，再结合指数函数性质，逐项分析判断即可. 【详解】依题意，， 对于A，，A错误； 对于B，函数的定义域为R，显然函数在R上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数在R上单调递增，B正确； 对于C，显然，则不等式， 由选项B知，，解得，因此的取值范围是，C正确； 对于D，，则，即有，因此函数的值域为，D错误. 故选：BC 三､填空题 12. 已知，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求，再将所求转化为齐次分式形式，并用表示，即可求解. 【详解】因为，则， 原式. 故答案为： 13. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数过定点可得，再根据对数函数以及二次函数性质，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得结果. 【详解】由指数函数图象性质可知，令，可得, 因此函数的图象经过定点； 即；所以， 显然，解得或； 即函数的定义域为； 利用二次函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增； 又在定义域内单调递减， 利用复合函数单调性可得的单调增区间为. 故答案为： 14. 冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，，试估计______年以后将会有一半的臭氧消失． 【答案】276 【解析】 【分析】由，解得，从而可求解. 【详解】由题意得，得， 即，解得. 故答案为：. 四､解答题 15. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，化简集合，解一元二次不等式化简，结合集合的运算法则求； （2）结合（1）由关系列不等式可求结论. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以， 由， 得，解得， 所以， 当时，， 所以或 所以； 【小问2详解】 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或. 16. 已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可； （2）利用诱导公式结合（1）的结论弦化切计算即可. 【小问1详解】 点的横坐标为， ， 又为第二象限角， ． ； 【小问2详解】 . 17. 已知二次函数. （1）若不等式的解集为，求和的值； （2）若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （i）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定的解集，利用韦达定理列式求解. （2）（i）按与的大小分类求解不等式；（ii）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. 【小问1详解】 依题意，是方程的两根，且，则， 所以. 【小问2详解】 （i）当时，， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （ii）恒成立， 而，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14 12 10.8 10.38 （1）给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； （2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】（1）选择模型②， （2）当时函数取得最小值万元 【解析】 【分析】（1）分别代入点，求出模型对应解析式，再结合点，判断拟合效果即可； （2）先根据题意得到，分别利用基本不等式和函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 若选择函数模型①，代入点，得， 得，无解，故函数模型①不符合题意； 若选择函数模型②，代入点，得， 解得，此时， ，， 故点在函数上，点近似在函数上， 故拟合效果较好，符合题意， 故函数模型②最为适合，，， 【小问2详解】 由题意可知（单位：万元）， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 可判断此时函数单调递减，故当时取得最小值， 综上可知，当时函数取得最小值万元 19. 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明； （2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法； （3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可. 【详解】解：（1）证明：因为，又 ， 即， 所以为偶函数. （2）原题意等价于方程无解， 即方程无解. 令， 因为， 显然， 于是，即函数的值域是. 因此当时满足题意. 所以a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，， ，解得； ②当时， ，解得（舍去）； ③当时， ，解得（舍去）. 综上，存在，使得最小值为0. 【点睛】方法点睛： （1）对函数奇偶性的证明用定义：或； （2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂一中南校区2025级上学期第三次数学月考试题 一､单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 3. 函数被称为狄利克雷函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 4. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（ ） A. 960 B. 480 C. 320 D. 240 8. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（ ) A. B. 函数在其定义域上是增函数 C. 若实数满足不等式，则的取值范围是 D. 函数的值域为 三､填空题 12. 已知，则______________． 13. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 14. 冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，，试估计______年以后将会有一半的臭氧消失． 四､解答题 15. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 16. 已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知二次函数. （1）若不等式的解集为，求和的值； （2）若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14 12 10.8 10.38 （1）给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； （2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 19. 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $