专题01 实数（11重点+27题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

专题01 实数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：算术平方根的定义和性质 ◆1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点二 ：平方根的定义和性质 ◆1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ◆3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ◆4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 ◆5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 知识点三 ：立方根的定义与性质 ◆1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ◆2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ◆3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. ◆5、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ◆6、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ◆7、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 知识点四 ：有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数式。有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数。 易错点:混淆无限小数与无理数的定义，认为“无限小数都是无理数” 知识点五 ：无理数的概念 ◆1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ◆2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ◆3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点六 ：实数的概念和分类 ◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ◆2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点七 ：实数与数轴的关系 ◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. 知识点八 ：实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ◆1、实数的相反数 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ◆2、 实数的绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| ◆3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点九：实数的运算 ◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ◆3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 知识点十：近似数 ◆1、准确数：与实际完全符合的数，叫做准确数. ◆2、近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. ◆3、近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示. ◆4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪个数位. ◆5、取近似数的方法：根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. 知识点十一 ：科学记数法 ◆1、定义:把一个数表示成 a×10"的形式(其中 1≤|a|＜10，n为整数)，这种记数方法叫做科学计数法。 ◆2、当原数的绝对值大于或等于 10 时，n是正整数，n等于原数的整数位数减 1. ◆3、当原数的绝对值小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的那个零). 【题型1 求一个数的算术平方根】 高妙技法 先明确算术平方根定义（正数 x²=a，x>0 则 x 为 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0），再通过平方逆运算求解，注意结果非负，且被开方数需非负. 【典例1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】0.04 【分析】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是将被开方数转化为便于计算的形式． 将0.0016转化为某个数的平方形式，进而求出其算术平方根． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：0.04． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 高妙技法 抓住算术平方根双重非负性（被开方数 a≥0，算术平方根≥0），若多个非负项相加为 0，则每一项均为 0，据此列方程求解. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分为零，从而求出x和y的值． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 【变式2】（24-25七年级下·天津南开·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根等知识．先根据与互为相反数，求出，进而得到，即可求出的算术平方根是． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 【题型3 估计算术平方根的取值范围】 高妙技法 找出与被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根介于这两个完全平方数的算术平方根之间，从而确定取值范围. 【典例1】如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的估算，掌握估算方式是解题的关键．根据正方形面积公式求出边长后进行估算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】估算的值在（    ） A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2】估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 【题型4与算术平方根有关的规律探索题】 高妙技法 先计算前几个相关算术平方根的值，观察结果的数字特征、符号变化等规律，再根据规律推导后续结果或通用表达式 . 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 【题型5 算术平方根的实际应用】 高妙技法 先根据实际问题确定所求量与算术平方根的关联，列出含算术平方根的关系式，再结合算术平方根定义和性质求解，最后检验结果是否符合实际意义. 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1)120 (2)这些金属板不够用，理由见详解 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，列一元二次方程解决几何问题，二次根式的大小比较，解题的关键是掌握二次根式的运算． （1）利用求一个数的算术平方根进行求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据面积相等列出方程求解得出，再求出周长和正方形周长比较即可． 【详解】（1）解：原正方形场地的周长为， 故答案为：120； （2）解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴这些金属板不够用． 【题型6 平方根概念理解】 高妙技法 牢记平方根定义（x²=a，则 x 为 a 的平方根），明确正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数无平方根，区分平方根与算术平方根的差异. 【典例1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据平方根，立方根，算术平方根，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意； D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念，需注意特殊数和负数的处理． 逐一判断每个说法的正误：①立方根等于本身的数包括、、，但说法漏了，错误；②平方根和立方根都等于自身的数只有，但说法包括，错误；③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，正确；④算术平方根为非负数，的算术平方根为，不是正数，错误；⑤，有平方根，错误．因此仅有一个正确． 【详解】①立方根等于本身的数有、、，但说法限定为或，漏了，故①错误； ②平方根等于本身的数只有（因为平方根定义，的平方根为），立方根等于本身的数有、、，故②错误； ③设与互为相反数，即，则 ，故互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数，故③正确； ④算术平方根定义为非负数，的算术平方根为，不是正数，故④错误； ⑤因为，的平方根为，所以有平方根，故说法⑤错误． 仅③正确，正确的个数为个， 故选：A. 【题型7求一个数的平方根】 高妙技法 依据平方根定义，通过平方逆运算求解，正数结果为 ±（a≥0），0 的平方根是 0，注意结果的正负性和被开方数非负的要求. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为 ； 【答案】 【分析】该题考查了平方根，先将带分数转换为假分数，再求其平方根． 【详解】解：， ∵ = ， = ， ∴的平方根为． 即的平方根为． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）的平方根是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了平方根的概念．熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 先明确平方根的概念，再根据概念进行计算即可． 【详解】解：， 设的平方根为， 所以有，即， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·月考）求下列各数的平方根： (1)6400； (2)0.000016； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求一个数的平方根，一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．即如果，那么x叫做a的平方根．即． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：6400的平方根为：； （2）解：0.000016的平方根为：； （3）解：的平方根为：． 【题型8 立方根概念理解】 高妙技法 紧扣立方根定义（x³=a，则 x 为 a 的立方根），知道任何数（正、负、0）都有且仅有一个立方根，正数立方根正，负数立方根负，0 的立方根是 0 . 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±4 B．的平方根是±2 C．27的立方根是±3 D．3的平方根是 【答案】B． 【分析】根据算术平方根，平方根及立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：4的算术平方根是2，则A不符合题意； 4，它的平方根是±2，则B符合题意； 27的立方根是3，则C不符合题意； 3的平方根是±，则D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·月考）下列说法不正确的是（    ） A．平方根与立方根相等的数只有0 B．立方根等于它本身的数只有0和 C．7是49的算术平方根 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、平方根与立方根相等的数只有0，该选项正确，不符合题意； B、立方根等于它本身的数只有0和，该选项正确，不符合题意； C、7是49的算术平方根，该选项正确，不符合题意； D、是的一个平方根，该选项错误，符合题意； 故选D． 【变式2】有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 【题型9 求一个数的立方根】 高妙技法 利用立方与开立方互为逆运算求解，正数结果为正，负数结果为负，0 的立方根是 0，直接根据立方运算反推即可. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 那么的立方根是：， 故选：B． 【变式1】的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【答案】D． 【分析】根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】解：原式＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2 故选：D． 【点睛】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型． 【变式2】的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的计算法则进行解答即可． 【详解】解：， 的立方根为． 故答案为：． 【题型10 与立方根有关的规律探】 高妙技法 计算前若干个立方根相关的结果，分析结果的数值、符号等规律，总结规律后用于求解后续问题或得出通用结论. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解： ，且，， ． 故选：A． 【变式2】计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 【题型11 立方根的实际应用】 高妙技法 根据实际场景（如体积计算等）建立所求量与立方根的联系，列出含立方根的等式，结合立方根性质求解，验证结果是否符合实际情况. 【典例1】已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 【变式1】南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键． 通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 故选：D 【变式2】魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 【题型12 利用平方根或立方根解方程】 高妙技法 对于含平方根的方程，先将平方根项单独放在等式一边，再两边平方消去平方根（注意检验增根）；含立方根的方程，直接两边立方消去立方根，进而求解方程. 【典例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）求下列各式中的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟知二者的定义是解题的关键． （1）变形后利用平方根的定义求解即可； （2）变形后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由可得， 所以； （2）解：由可得， 所以， 所以． 【变式1】求下列各式中的x值 (1) (2)， 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义解答即可求解； （2）利用立方根的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 化简得， 开平方，得， 解得：或． （2）解：， 系数化为1，得， 开立方，得， 解得：． 【变式2】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用平方根解方程，立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用平方根进行解方程，即可作答． （2）方程两边同时乘，再运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴或； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 【题型13 算术平方根和立方根的综合应用】 高妙技法 分别运用算术平方根（双重非负性、结果非负等）和立方根（任意数有一个立方根、符号规律等）的性质，结合题目条件逐步分析，综合计算求解. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【答案】或 【分析】本题考查了平分根与立方根，熟悉理解平分根与立方根是解题的关键． 根据平分根的概念分两种情况分析：当和互为相反数时，当和互为相等时，求出的值，根据立方根的概念求出的值，代入运算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴当和互为相反数时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； 当和相等时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； ∴的平方根为或． 【变式1】已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 【变式2】已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 【题型14 无理数】 高妙技法 判断一个数是否为无理数，依据无理数定义（无限不循环小数），常见形式为含 π 的数、开方开不尽的数、有规律不循环的数，注意区分无理数与无限小数、带根号数的不同. 【典例1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知下列各数：，，，，0.010010001，其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根与立方根，注意带根号的要开方开不尽的才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：， 在实数中，无理数有，，共2个． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．根据无理数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵   是无理数，∴ 是无理数； ∵ 是分数，∴   是有理数； ∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∴ 无理数有 3 个， 故选：B． 【变式2】在实数，，π，，，，，0.1010010001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C． 【分析】根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：， 所以无理数有π，，，，共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 【题型15 无理数的估算】 高妙技法 找到无理数（如含根号的无理数、含 π 的数）相邻的两个可确定大小的有理数，确定无理数介于这两个有理数之间，实现估算. 【典例1】下列整数中，与最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【分析】先计算位于哪两个相邻的整数之间，再确定51距离哪个整数的平方接近即可确定答案． 【详解】解：∵49＜51＜64， ∴， 即78， ∵7.52＝56.25，51＜56.25， ∴与最接近的整数是7． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，确定其范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 【答案】D． 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵34，而mn，其中m，n为两个连续的整数， ∴m＝3，n＝4， ∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 【题型16 无理数整数部分的计算】 高妙技法 先估算无理数的取值范围，确定范围内的最大整数，该整数即为无理数的整数部分. 【典例1】已知：2的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝　 　． 【答案】7． 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而估算出2的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵12， ∴3＜24， ∴2的整数部分m＝3，小数部分n＝231， ∴2m﹣n＝61＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确计算的关键． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的意义． 根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出 ；根据立方根等于本身的数且大于 0，求出 ；估算 的整数部分得到 ；代入求值后求算术平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【题型17 实数的分类】 高妙技法 按定义分，先区分有理数（有限小数或无限循环小数，含整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；按性质分，先分正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数），逐一归类. 【典例1】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义判断各说法的正误． 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类、平方根、数轴表示以及无理数的性质，掌握基本概念是解题关键． 根据实数的分类、平方根的定义、数轴的性质以及无理数的性质进行判断． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意； B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意； D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类和性质，掌握实数的基本概念是解题关键． 实数包括有理数和无理数；数轴上的点与实数一一对应，并非仅与有理数对应；带根号的数不一定都是无理数；两个实数的和为无理数时，至少有一个是无理数，据此判断即可． 【详解】解：∵实数分为有理数和无理数， ∴如果不是有理数，则一定是无理数，①正确； ∵数轴上的点与实数一一对应，但有理数不能覆盖所有点， ∴②错误； ∵无理数是无限不循环小数， ∴都是无限小数，③正确； ∵带根号的数可能是有理数（如）， ∴④错误； ∵两个有理数的和是有理数， ∴如果和为无理数，则至少有一个是无理数，⑤正确． ∴错误的有②和④，共2个． 故选B． 【题型18 实数的性质】 高妙技法 求相反数时，实数 a 的相反数为 - a；求绝对值时，正实数绝对值是本身，0 的绝对值是 0，负实数绝对值是其相反数；利用这些性质结合题目条件计算或判断. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数．根据相反数的定义即可求出；根据绝对值的性质判断出该数的正负即可求出答案． 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 【题型19 实数与数轴】 高妙技法 根据实数与数轴一一对应关系，在数轴上找到表示已知实数的点，或由数轴上的点确定对应的实数，利用数轴上点的位置关系比较实数大小（右边点表示的数大于左边点表示的数）. 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，非负数的应用，算术平方根的性质，理解题意是解题的关键． （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用对称性求得折痕处对应的数为，则利用点A对应的数与点重合的点距离的长度相等解答即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为． 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 【题型20 实数的大小比较】 高妙技法 正实数 > 0 > 负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数小；也可借助数轴，根据点的左右位置比较，或通过作差、作商等方法比较. 【典例1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法．通过将两个数转换为同分母形式，比较分子的大小即可． 【详解】解： ， ， 即 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： （填不等号） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，准确计算是解题的关键．通过作差法求解即可． 【详解】 ， ，， ，， ， 即， 即； 故答案是：． 【题型21 求一个数的近似数】 高妙技法 根据要求的精确度（如精确到哪一位、保留几个有效数字），用四舍五入法对原数进行取舍，得到近似数. 【典例1】下列说法错误的是（    ） A．近似数0.350精确到0.001 B．35600精确到千位是3.6万 C．近似数302.51精确到十分位 D．近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值是 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A、0.350是精确到0.001的近似数，所以A选项的说法正确，不符合题意； B、35600精确到千位是3.6万，所以B选项的说法正确，不符合题意； C、近似数302.51精确到百分位，所以C选项的说法错误，符合题意； D、近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是，所以D选项的说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的 体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 【变式2】（2025七年级上·上海·专题练习）用四舍五入法将精确到0.01，所得到的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数的精确，根据四舍五入法，精确到需查看千分位上的数字． 【详解】解：精确到，千分位上的数字为8，，因此向百分位进1，百分位数字8加1后为9，故所得近似数为． 故答案为：． 【题型22 求一个近似数的精确度】 高妙技法 若近似数是整数或有限小数，看最后一位数字所在的数位（如精确到个位、十分位等）；若用科学记数法表示，需将其还原，再看 a 中最后一位数字对应的原数数位. 【典例1】下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数的精确度概念，熟记概念是解题的关键．近似数的精确度由其最后一位有效数字所在的数位决定，有效数字就是从数的左边第一个不为零的数起，后面的所有数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：A．300万精确到万位，3百万精确到百万位，300万与3百万精确度不同，故A不符合题意； B．精确到百位，万精确到百位，与万精确度相同，故B符合题意； C．精确到十位，3450精确到个位，与3450精确度不同，故C不符合题意； D．精确到千分位，精确到百分位，与精确度不同，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 【答案】C 【分析】此题考查了近似数，解答此题应掌握数的精确度的知识，最后一位所在的位置就是精确度． 根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案． 【详解】解：A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不一样，故本选项不符合题意； B、近似数精确到百位，2000精确到个位，意义不一样，故本选项不符合题意； C、精确到万分位，故本选项符合题意； D、万与的精确度相同，都是精确到百位，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）按四舍五入精确到万位是 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，科学记数法． 将精确到万位，需看千位数字，千位为，小于，故舍去，得到． 【详解】解：，精确到万位，要看千位上的数字， 千位上的数字是，， 所以将千位及以后的数字舍去， 得到近似数． 故答案为：． 【题型23 程序设计与实数运算】 高妙技法 根据程序给定的运算步骤（如输入数→进行乘方、开方、加减乘除等运算→输出结果），按顺序逐步进行实数运算，注意运算顺序和运算律的运用. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可． 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 【题型24 实数的混合运算】 高妙技法 遵循 “先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内” 的顺序，灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律简化运算. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根． 先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型25 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 高妙技法 确定a（ 1≤|a|＜10），将原数的小数点向左移动，使小数点前只有一位非零数字，移动的位数即为 n（正整数），表示为 a×10ⁿ . 【典例1】（2025七年级上·上海·专题练习）中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达马赫，即每小时飞行距离可达，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是解题的关键．科学记数法表示形式为，为整数，对于大于的数，等于整数位数减. 【详解】解：， 故选：C ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如果平均每人每天食用粮食，那么按照2020年我国人口普查的数据：全国约有亿人，那么上述人口一天约食用 千克的粮食（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，有理数的乘法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．先根据题意计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵平均每人每天食用粮食，全国人口约亿人， ∴总粮食食用量为：粮食， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答． 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． 【题型26用科学记数法表示绝对值小于1的数】 高妙技法 确定a（ 1≤|a|＜10），，将原数的小数点向右移动，使小数点前只有一位非零数字，移动的位数的绝对值即为 n（负整数），表示为 a×10ⁿ . 【典例1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）光在真空中传播米所需要的时间约为秒，用科学记数法表示这个数为： ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示较小数的方法．根据科学记数法的定义，将原数表示为 的形式，其中 ，为整数．对于较小的数，为负整数，其绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：原数为．将小数点向右移动9位，得到，因此原数可表示为． 故答案为 ． 【题型27 还原用科学记数法表示的数】 高妙技法 若 n 为正整数，将 a 的小数点向右移动 n 位；若 n 为负整数，将 a 的小数点向左移动位，位数不足时补 0，得到原数. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有 个整数位． 【答案】7 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的平方，解题的关键是逐步计算． 先计算根号内的平方，得到算术平方根，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质． 根据实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质逐个判断． 【详解】解：，9的算术平方根是3，不是9，A错误； 有理数和无理数统称为实数，B正确； 立方根等于本身的数有，0，1，C错误； 数轴上的点与实数一一对应，D错误； 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 4．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 6．（24-25七年级上·陕西安康·月考）下列说法正确的是（    ） A．近似数2万与20000的精确度相同 B．近似数0.001精确到千分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数38与38.0的精确度相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，一个数精确到哪一位，即看该近似数的最后一位在什么位就精确到什么位，据此求解即可． 【详解】解：A、2万精确到万位，20000精确到个位，故原说法错误，不符合题意； B、近似数0.001精确到千分位，说法正确，符合题意； C、近似数精确到千位，故原说法错误，不符合题意； D、近似数38精确到个位，38.0精确到十分位，因此原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 7．（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 8．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 2、 填空题 9．（25-26八年级上·上海·月考）据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为 ．（1亿） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的定义． 将“11亿”转换为数值1100000000，再写成科学记数法形式，其中，n为整数． 【详解】解：11亿， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广东湛江·月考）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得，，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；根据数轴上点的位置关系，点B在点A左边，且，因此点B表示的数为点A表示的数减去3，然后问题可求解． 【详解】解：点A表示的数为，即，由于点B在点A左边且， 故点B表示的数为； 故答案为． 12．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·周测）已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，则的值为 ． 【答案】10 【分析】根据题意求出即可得到答案．本题考查立方根、算术平方根、无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】∵的立方根是， ∴，解得； ∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵， ∴， ∴； ∴． 故答案为：10． 14．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26八年级上·上海宝山·月考）已知数轴上的点、、、D所对应的实数依次是、、、． (1)在如图所示的数轴上标出点、、的位置和点的大致位置； (2)求线段、、的长． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点间距离，立方根，算术平方根，无理数的估算： （1）先计算算术平方根、绝对值、立方根，估算无理数的范围，再在数轴上表示出来即可； （2）根据数轴上两点间距离公式求解． 【详解】（1）解：，，，， 点、、、D在数轴上的位置如下所示： （2）解：， ， ． 16．（25-26八年级上·上海·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算等知识，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简后再算加减即可． （1）根据算术平方根、立方根、绝对值的意义进行化简，再计算即可求解； （2）根据算术平方根、立方根、绝对值的意义进行化简，再计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（25-26八年级上·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程； （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据立方根的定义解方程，即可求解． 【详解】（1）解：                   ∴ 或                               解得：或 （2）解： ∴ ∴ 解得： 18．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握代数式的化简求值是解题的关键． 根据条件，a、b互为倒数，则；c、d互为相反数，则；的绝对值为，则；的算术平方根是8，则，代入表达式计算即可． 【详解】解：根据题意得，a、b互为倒数，则， c、d互为相反数，则， 的绝对值为，则，即， 的算术平方根是8，则，， ． 19．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 20．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：算术平方根的定义和性质 ◆1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点二 ：平方根的定义和性质 ◆1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ◆3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ◆4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 ◆5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 知识点三 ：立方根的定义与性质 ◆1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ◆2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ◆3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. ◆5、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ◆6、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ◆7、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 知识点四 ：有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数式。有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数。 易错点:混淆无限小数与无理数的定义，认为“无限小数都是无理数” 知识点五 ：无理数的概念 ◆1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ◆2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ◆3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点六 ：实数的概念和分类 ◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ◆2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点七 ：实数与数轴的关系 ◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. 知识点八 ：实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ◆1、实数的相反数 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ◆2、 实数的绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| ◆3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点九：实数的运算 ◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ◆3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 知识点十：近似数 ◆1、准确数：与实际完全符合的数，叫做准确数. ◆2、近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. ◆3、近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示. ◆4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪个数位. ◆5、取近似数的方法：根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. 知识点十一 ：科学记数法 ◆1、定义:把一个数表示成 a×10"的形式(其中 1≤|a|＜10，n为整数)，这种记数方法叫做科学计数法。 ◆2、当原数的绝对值大于或等于 10 时，n是正整数，n等于原数的整数位数减 1. ◆3、当原数的绝对值小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的那个零). 【题型1 求一个数的算术平方根】 高妙技法 先明确算术平方根定义（正数 x²=a，x>0 则 x 为 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0），再通过平方逆运算求解，注意结果非负，且被开方数需非负. 【典例1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 高妙技法 抓住算术平方根双重非负性（被开方数 a≥0，算术平方根≥0），若多个非负项相加为 0，则每一项均为 0，据此列方程求解. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·天津南开·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【题型3 估计算术平方根的取值范围】 高妙技法 找出与被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根介于这两个完全平方数的算术平方根之间，从而确定取值范围. 【典例1】如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【变式1】估算的值在（    ） A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式2】估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【题型4与算术平方根有关的规律探索题】 高妙技法 先计算前几个相关算术平方根的值，观察结果的数字特征、符号变化等规律，再根据规律推导后续结果或通用表达式 . 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【题型5 算术平方根的实际应用】 高妙技法 先根据实际问题确定所求量与算术平方根的关联，列出含算术平方根的关系式，再结合算术平方根定义和性质求解，最后检验结果是否符合实际意义. 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【题型6 平方根概念理解】 高妙技法 牢记平方根定义（x²=a，则 x 为 a 的平方根），明确正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数无平方根，区分平方根与算术平方根的差异. 【典例1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7求一个数的平方根】 高妙技法 依据平方根定义，通过平方逆运算求解，正数结果为 ±（a≥0），0 的平方根是 0，注意结果的正负性和被开方数非负的要求. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为 ； 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）的平方根是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·月考）求下列各数的平方根： (1)6400； (2)0.000016； (3)． 【题型8 立方根概念理解】 高妙技法 紧扣立方根定义（x³=a，则 x 为 a 的立方根），知道任何数（正、负、0）都有且仅有一个立方根，正数立方根正，负数立方根负，0 的立方根是 0 . 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±4 B．的平方根是±2 C．27的立方根是±3 D．3的平方根是 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·月考）下列说法不正确的是（    ） A．平方根与立方根相等的数只有0 B．立方根等于它本身的数只有0和 C．7是49的算术平方根 D．是的一个平方根 【变式2】有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【题型9 求一个数的立方根】 高妙技法 利用立方与开立方互为逆运算求解，正数结果为正，负数结果为负，0 的立方根是 0，直接根据立方运算反推即可. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【变式2】的立方根是 ． 【题型10 与立方根有关的规律探】 高妙技法 计算前若干个立方根相关的结果，分析结果的数值、符号等规律，总结规律后用于求解后续问题或得出通用结论. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【题型11 立方根的实际应用】 高妙技法 根据实际场景（如体积计算等）建立所求量与立方根的联系，列出含立方根的等式，结合立方根性质求解，验证结果是否符合实际情况. 【典例1】已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【变式1】南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【变式2】魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【题型12 利用平方根或立方根解方程】 高妙技法 对于含平方根的方程，先将平方根项单独放在等式一边，再两边平方消去平方根（注意检验增根）；含立方根的方程，直接两边立方消去立方根，进而求解方程. 【典例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）求下列各式中的值 (1)； (2)． 【变式1】求下列各式中的x值 (1) (2)， 【变式2】解方程 (1) (2) 【题型13 算术平方根和立方根的综合应用】 高妙技法 分别运用算术平方根（双重非负性、结果非负等）和立方根（任意数有一个立方根、符号规律等）的性质，结合题目条件逐步分析，综合计算求解. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【变式1】已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式2】已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【题型14 无理数】 高妙技法 判断一个数是否为无理数，依据无理数定义（无限不循环小数），常见形式为含 π 的数、开方开不尽的数、有规律不循环的数，注意区分无理数与无限小数、带根号数的不同. 【典例1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知下列各数：，，，，0.010010001，其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在实数，，π，，，，，0.1010010001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型15 无理数的估算】 高妙技法 找到无理数（如含根号的无理数、含 π 的数）相邻的两个可确定大小的有理数，确定无理数介于这两个有理数之间，实现估算. 【典例1】下列整数中，与最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 【题型16 无理数整数部分的计算】 高妙技法 先估算无理数的取值范围，确定范围内的最大整数，该整数即为无理数的整数部分. 【典例1】已知：2的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝　 　． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【题型17 实数的分类】 高妙技法 按定义分，先区分有理数（有限小数或无限循环小数，含整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；按性质分，先分正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数），逐一归类. 【典例1】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型18 实数的性质】 高妙技法 求相反数时，实数 a 的相反数为 - a；求绝对值时，正实数绝对值是本身，0 的绝对值是 0，负实数绝对值是其相反数；利用这些性质结合题目条件计算或判断. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么的相反数是 ，绝对值是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【题型19 实数与数轴】 高妙技法 根据实数与数轴一一对应关系，在数轴上找到表示已知实数的点，或由数轴上的点确定对应的实数，利用数轴上点的位置关系比较实数大小（右边点表示的数大于左边点表示的数）. 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【题型20 实数的大小比较】 高妙技法 正实数 > 0 > 负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数小；也可借助数轴，根据点的左右位置比较，或通过作差、作商等方法比较. 【典例1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： （填不等号） 【题型21 求一个数的近似数】 高妙技法 根据要求的精确度（如精确到哪一位、保留几个有效数字），用四舍五入法对原数进行取舍，得到近似数. 【典例1】下列说法错误的是（    ） A．近似数0.350精确到0.001 B．35600精确到千位是3.6万 C．近似数302.51精确到十分位 D．近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值是 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的 体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·上海·专题练习）用四舍五入法将精确到0.01，所得到的近似数为 ． 【题型22 求一个近似数的精确度】 高妙技法 若近似数是整数或有限小数，看最后一位数字所在的数位（如精确到个位、十分位等）；若用科学记数法表示，需将其还原，再看 a 中最后一位数字对应的原数数位. 【典例1】下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）按四舍五入精确到万位是 （用科学记数法表示）． 【题型23 程序设计与实数运算】 高妙技法 根据程序给定的运算步骤（如输入数→进行乘方、开方、加减乘除等运算→输出结果），按顺序逐步进行实数运算，注意运算顺序和运算律的运用. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【题型24 实数的混合运算】 高妙技法 遵循 “先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内” 的顺序，灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律简化运算. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）计算： 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）计算∶ 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【题型25 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 高妙技法 确定a（ 1≤|a|＜10），将原数的小数点向左移动，使小数点前只有一位非零数字，移动的位数即为 n（正整数），表示为 a×10ⁿ . 【典例1】（2025七年级上·上海·专题练习）中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达马赫，即每小时飞行距离可达，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如果平均每人每天食用粮食，那么按照2020年我国人口普查的数据：全国约有亿人，那么上述人口一天约食用 千克的粮食（用科学记数法表示）． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【题型26用科学记数法表示绝对值小于1的数】 高妙技法 确定a（ 1≤|a|＜10），，将原数的小数点向右移动，使小数点前只有一位非零数字，移动的位数的绝对值即为 n（负整数），表示为 a×10ⁿ . 【典例1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）光在真空中传播米所需要的时间约为秒，用科学记数法表示这个数为： ． 【题型27 还原用科学记数法表示的数】 高妙技法 若 n 为正整数，将 a 的小数点向右移动 n 位；若 n 为负整数，将 a 的小数点向左移动位，位数不足时补 0，得到原数. 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有 个整数位． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 4．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 6．（24-25七年级上·陕西安康·月考）下列说法正确的是（    ） A．近似数2万与20000的精确度相同 B．近似数0.001精确到千分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数38与38.0的精确度相同 7．（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 8．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 2、 填空题 9．（25-26八年级上·上海·月考）据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为 ．（1亿） 10．（25-26九年级上·广东湛江·月考）已知，则的平方根为 ． 11．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 12．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ． 13．（25-26八年级上·全国·周测）已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，则的值为 ． 14．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 三、解答题 15．（25-26八年级上·上海宝山·月考）已知数轴上的点、、、D所对应的实数依次是、、、． (1)在如图所示的数轴上标出点、、的位置和点的大致位置； (2)求线段、、的长． 16．（25-26八年级上·上海·月考）计算： (1)； (2) 17．（25-26八年级上·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 18．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 19．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $