专题01 实数（期中复习讲义）（必备知识+5大题型+分层检测）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 平方根与立方根 了解算术平方根、平方根、立方根的概念及表示方法；了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根、立方根计算及解决实际问题。 高频考点：常以选择填空、解答形式考查。 重难点题型考查平方根、立方根的性质应用 和规律探究。性质应用常因忽略平方根的正 负性而致错。 无理数与实数 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能用有理数估计一个无理数的大致范围，能进行简单的实数运算。并会按问题的要求对结果取近似值。 高频考点：常以选择填空、解答形式考查。 重难点题型考查无理数的估算与实数运算。 知识点01：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方， ·示例：求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. ·易错点：忽略平方根的正负性，将平方根等同于算术平方根 知识点02：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点04：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 知识点05： 有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. ·易错点：混淆无限小数与无理数的定义，认为 “无限小数都是无理数”。 知识点06： 无理数 无限不循环小数又叫无理数. ·示例： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. ·易错点：认为带根号的数都是无理数，或无理数只能用根号表示。 知识点07： 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 ·易错点：认为数轴上的点只能表示有理数，或无理数无法在数轴上精确表示。 知识点08： 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 ·易错点：绝对值化简时符号错误：|π-3 | 错写为 3-π（正确应为 π-3，因 π＞3）。 知识点09：实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点10：科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写 ·示例：如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数。 ·示例：如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型一 平方根、立方根的性质应用（含非负性） 解｜题｜技｜巧 1.非负性三巨头：数的偶次方、绝对值以及算术平方根． 1.平方根的双重非负性：（被开方数非负）（算术平方根非负），需同时满足。 2.立方根的符号性：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。 【典例1】（23-24七年级下·上海静安·期中）若实数满足等式，则化简 ． 【变式1】已知，求的平方根． 【变式2】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）若，求的平方根． 题型二 无理数的估算（含整数部分、小数部分） 解｜题｜技｜巧 1.“夹逼法” 估算整数部分 2.小数部分计算：小数部分 = 无理数 - 其整数部分（小数部分一定为正数，且小于 1）。 3.大小比较：将有理数平方（或立方）后与无理数的被开方数比较（需注意：正数平方 / 立方后大小关系不变，负数需谨慎） 【典例1】（23-24七年级下·上海金山·期中）比较大小： （填“”或“=”或“”）． 【典例2】，那么整数 ； 【典例3】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么 的值为 ． 【典例4】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【变式1】（22-23八年级上·上海闵行·期中）比较大小： ．（填“>”“<”“=”） 【变式2】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）的小数部分是，计算 ． 【变式3】（23-24七年级下·上海静安·期中）公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 题型三 实数混合运算 解｜题｜技｜巧 1.“分步拆解” 原则：将算式按 “类型” 拆分为多个小项，分别计算后再合并（如拆为 “算术平方根项”“立方根项”“零指数项”“负指数项”“绝对值项”）。 2.绝对值化简：先判断绝对值内数的正负，再去绝对值符号（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数） 【典例1】． 【典例2】（23-24七年级下·上海·期中）计算： 【变式1】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算 【变式2】（2024·上海松江·三模）计算： 题型四 实数的规律探究（含新定义） 解｜题｜技｜巧 1.数列规律：从 “结构” 入手 观察已知项的 “被开方数” 或 “结果” 的变化规律（如等差、等比、平方数、立方数） 2.新定义运算：“照葫芦画瓢”： 先明确新定义的规则，再将具体数值代入规则，严格按步骤计算（注意符号、被开方数非负等前提）。 【典例1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ． 【典例2】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【变式1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么 ． 【变式2】观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【变式3】阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 题型五 实数与数轴上两点间距离（跨章节） 【典例1】（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 【典例2】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有 个． 【变式1】（23-24七年级下·上海松江·期中）数轴上到这点距离为的点所表示的数是 ． 【变式2】（23-24七年级下·上海金山·期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）已知地球与月球的距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 5.梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为 ． 6．（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么 ． 7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 8．（24-25八年级上·上海宝山·期中）方程的解为 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）在下列各数中，、、、3.14、、、无理数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期中）在数轴上，点A、点B所对应的数分别是和，那么A、B两点的距离为 ． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）的算术平方根减去的立方根的差为 ． 5．（23-24七年级下·上海崇明·期中）已知16的平方根是，，那么 ． 6．（23-24七年级下·上海闵行·期中）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 7．（23-24七年级下·上海·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1． （23-24七年级下·上海杨浦·期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在 数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 ． 2．（24-25八年级上·上海·期中）已知的小数部分是b，那么的值为 ． 3．（22-23七年级下·上海静安·期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值． 4．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 5．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图正方形的面积为，正方形面积为，求的面积（结果保留两个有效数字）． 6.观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ； … 解决下列问题： (1)请在横线上写出等号右边的数； (2)请写出符合上述规律的第4个等式； (3)请写出符合上述规律的第n(n为正整数)个等式，并说明理由． 7．（21-22七年级下·上海·期中）阅读下列解题过程，并按要求填空： 已知：＝1，＝﹣1，求的值． 解：根据算术平方根的意义，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步 根据立方根的意义，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步 由①、②，得，解得…第三步 把x、y的值分别代入分式中，得＝0     …第四步 以上解题过程中有两处错误，一处是第　 　步，忽略了　 　；一处是第　 　步，忽略了　 ；正确的结论是　 　（直接写出答案）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 平方根与立方根 了解算术平方根、平方根、立方根的概念及表示方法；了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根、立方根计算及解决实际问题。 高频考点：常以选择填空、解答形式考查。 重难点题型考查平方根、立方根的性质应用 和规律探究。性质应用常因忽略平方根的正 负性而致错。 无理数与实数 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能用有理数估计一个无理数的大致范围，能进行简单的实数运算。并会按问题的要求对结果取近似值。 高频考点：常以选择填空、解答形式考查。 重难点题型考查无理数的估算与实数运算。 知识点01：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方， ·示例：求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. ·易错点：忽略平方根的正负性，将平方根等同于算术平方根 知识点02：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点04：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 知识点05： 有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. ·易错点：混淆无限小数与无理数的定义，认为 “无限小数都是无理数”。 知识点06： 无理数 无限不循环小数又叫无理数. ·示例： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. ·易错点：认为带根号的数都是无理数，或无理数只能用根号表示。 知识点07： 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 ·易错点：认为数轴上的点只能表示有理数，或无理数无法在数轴上精确表示。 知识点08： 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 ·易错点：绝对值化简时符号错误：|π-3 | 错写为 3-π（正确应为 π-3，因 π＞3）。 知识点09：实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点10：科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写 ·示例：如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数。 ·示例：如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型一 平方根、立方根的性质应用（含非负性） 解｜题｜技｜巧 1.非负性三巨头：数的偶次方、绝对值以及算术平方根． 1.平方根的双重非负性：（被开方数非负）（算术平方根非负），需同时满足。 2.立方根的符号性：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。 【典例1】（23-24七年级下·上海静安·期中）若实数满足等式，则化简 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ，， ， ， ，， ， ． 【变式1】已知，求的平方根． 【答案】± 【详解】解：∵， ∴a﹣3=0，b﹣4=0， 解得a=3，b=4， ∴， ∴． 【变式2】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）若，求的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意得： 解得：，      ∴， 即的平方根是． 题型二 无理数的估算（含整数部分、小数部分） 解｜题｜技｜巧 1.“夹逼法” 估算整数部分 2.小数部分计算：小数部分 = 无理数 - 其整数部分（小数部分一定为正数，且小于 1）。 3.大小比较：将有理数平方（或立方）后与无理数的被开方数比较（需注意：正数平方 / 立方后大小关系不变，负数需谨慎） 【典例1】（23-24七年级下·上海金山·期中）比较大小： （填“”或“=”或“”）． 【答案】 【详解】解： ， ， 故答案为： 【典例2】，那么整数 ； 【答案】3 【详解】解：∵， ， ， ∴整数． 故答案为：3． 【典例3】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么 的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， 即， 的整数部分为，小数部分为， 即，， ， ， ， ． 故答案为：． 【典例4】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【变式1】（22-23八年级上·上海闵行·期中）比较大小： ．（填“>”“<”“=”） 【答案】 【详解】解：∵，，且， ∴， 即， 故答案为： 【变式2】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）的小数部分是，计算 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为： 【变式3】（23-24七年级下·上海静安·期中）公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 【答案】需要米的篱笆 【详解】解：公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地， （米）， ，， （米）， 扇形为所划区域， （米），扇形的周长（米）， 需要的篱笆长度（米）， 需要米的篱笆． 题型三 实数混合运算 解｜题｜技｜巧 1.“分步拆解” 原则：将算式按 “类型” 拆分为多个小项，分别计算后再合并（如拆为 “算术平方根项”“立方根项”“零指数项”“负指数项”“绝对值项”）。 2.绝对值化简：先判断绝对值内数的正负，再去绝对值符号（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数） 【典例1】． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【典例2】（23-24七年级下·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行乘方、零次幂、去绝对值、算术平方根，再进行加减运算，即可求解；掌握， （），，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算 【答案】 类比乘法对加法的分配率对根号前的数字先合并即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（2024·上海松江·三模）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型四 实数的规律探究（含新定义） 解｜题｜技｜巧 1.数列规律：从 “结构” 入手 观察已知项的 “被开方数” 或 “结果” 的变化规律（如等差、等比、平方数、立方数） 2.新定义运算：“照葫芦画瓢”： 先明确新定义的规则，再将具体数值代入规则，严格按步骤计算（注意符号、被开方数非负等前提）。 【典例1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，根据、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，可以求得的主要值．解题的关键是明确题意，估算出处于哪两个整数之间． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的主要值是． 故答案为：． 【典例2】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的算术平方根，正确理解新定义是解题的关键．分，，两种情况求出m的值，看是否符合题意即可． 【详解】当时，则， 解得， ∵，，且10，15，30都是整数， ∴此时满足是“完美组合数”； 当时，则， 解得，不符合题意； 综上所述，． 故答案为：． 【变式2】观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 【变式3】阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 题型五 实数与数轴上两点间距离（跨章节） 【典例1】（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，之间用较大的数减去较小的数即可得到答案． 【详解】解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是， 故答案为：． 【典例2】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查实数与数轴、两点间的距离，首先根据数轴上点A到原点的距离为2，则点A对应的数是，再根据数轴上到点A的距离为进一步得到对应的点． 【详解】解：∵数轴上点A到原点的距离为2， ∴点A对应的数是． 当点A对应的数是2时，则数轴上到点A的距离为的点是， 当点A对应的数是时，则数轴上到点A的距离为的点是， ∴在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有4个， 故答案为：4． 【变式1】（23-24七年级下·上海松江·期中）数轴上到这点距离为的点所表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，利用两点间距离公式分左右两种情况计算即可求解，掌握两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：当点在的右边时，所表示的数是； 当点在的左边时，所表示的数是； 故答案为：或． 【变式2】（23-24七年级下·上海金山·期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 【答案】(1) (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、线段的和与差 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键． （1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可； （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】（1）解：如图，对应的数为，对应的数为， ∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和， ∴当时，； 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：． （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为， ∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和， 当重合时，即时， ∴， 当时，如图， ， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当时，的最小值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质计算，即可． 【详解】解：． 故选：B 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）已知地球与月球的距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中，为正整数，确定的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定的值时，比这个数的整数位数小1． 【详解】解：， 故选：D． 3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的概念，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：A． 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意． 故选D． 5.梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵实数a的立方根是3， ∴， 故答案为： 7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，以及两点间的距离，根据“点A表示的数是，点B在点A的左边，且，”列式计算，即可得出点B表示的数 【详解】解：∵点A表示的数是，点B在点A的左边，且， ∴点B表示的数：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海宝山·期中）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，接着把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）在下列各数中，、、、3.14、、、无理数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数为无理数．根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：， 、是无理数，共2个， 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期中）在数轴上，点A、点B所对应的数分别是和，那么A、B两点的距离为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，直接用点B表示的数减去点A表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵点A、点B所对应的数分别是和， ∴A、B两点的距离为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）的算术平方根减去的立方根的差为 ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 的算术平方根， 的立方根， 的算术平方根减去的立方根的差为， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海崇明·期中）已知16的平方根是，，那么 ． 【答案】或 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根，立方根．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，由此即可计算． 【详解】解：的平方根是， ， ， ， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·上海闵行·期中）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 【答案】624 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键．由的定义为不大于的最大整数，624进行两次操作后变为4，625进行两次操作后变为5，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴对624进行两次操作后可变为4， 又∵，， ∴进行两次操作后可变为4的所以整数中，最大的是624， 即的最大值为624． 故答案为：624． 7．（23-24七年级下·上海·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1． （23-24七年级下·上海杨浦·期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在 数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键； 根据点C和点B关于点A成中心对称，可得点A是的中点，据此求解即可． 【详解】解：点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x， 又点C和点B关于点A成中心对称， ， 解得：， 故答案为： ． 2．（24-25八年级上·上海·期中）已知的小数部分是b，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了实数的整数和小数部分相关问题和利用完全平方公式的计算，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键，首先根据题意得到的值，从而得到，再将代数式利用完全平方公式化简后得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分为3， ∴， ∵两边平方得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·上海静安·期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值． 【答案】1 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的立方根、加减消元法 【分析】根据算术平方根和立方根的表示列出方程组，求出x，y的值，从而得到A，B，再求的立方根． 【详解】解：由题意可得： ，，     解得：， ∴，， ∴， ∴的立方根的值为1． 4．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【知识点】实数运算的实际应用、 阴影部分的周长和面积 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 5．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图正方形的面积为，正方形面积为，求的面积（结果保留两个有效数字）． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，列式可算得答案． 【详解】解：正方形的面积为， ， 正方形面积为， ， ， ， ∴的面积约为． 【点睛】本题考查平方根的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式． 6.观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ； … 解决下列问题： (1)请在横线上写出等号右边的数； (2)请写出符合上述规律的第4个等式； (3)请写出符合上述规律的第n(n为正整数)个等式，并说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)，见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，多项式乘法及完全平方公式分解因式的应用，找到规律是关键； （1）直接计算即可； （2）根据前3个式子找到规律，即可写出第4个等式； （3）根据规律写出第n个等式，利用多项式乘法展开，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：第4个等式：； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴． 7．（21-22七年级下·上海·期中）阅读下列解题过程，并按要求填空： 已知：＝1，＝﹣1，求的值． 解：根据算术平方根的意义，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步 根据立方根的意义，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步 由①、②，得，解得…第三步 把x、y的值分别代入分式中，得＝0     …第四步 以上解题过程中有两处错误，一处是第　 　步，忽略了　 　；一处是第　 　步，忽略了　 ；正确的结论是　 　（直接写出答案）． 【答案】一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；＝1． 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、分式有意义的条件、加减消元法 【分析】熟悉平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，且它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 【详解】解：在第一步中， 由（2x﹣y）2＝1应得到2x﹣y＝±1，忽略了2x﹣y＝﹣1； 在第四步中，当时，分式无意义，忽略了分式有意义的条件的检验， 当时，解得， 代入分式，得＝1， 所以正确的结论是＝1． 故答案为：一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；＝1． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $