专题2.1 直线与圆的方程全章16种题型（期末复习课件）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

这是一份高二年级数学上学期期末复习课件，聚焦“直线与圆的方程”，构建“考情分析-必备知识-重难点题型-分层验收”四维学习支架，涵盖核心考点、解题技巧及分层练习。 资料融合数学核心素养，通过“题型解析+变式训练”培养思维，如直线与圆位置关系判断中用距离公式与方程联立提升推理能力，结合轨迹问题引导用数学语言表达几何关系。助力学生夯实基础、提升解题能力，适合高二学生巩固知识，为教师提供系统复习资源。

专题2.1 直线与圆的方程 高二年级数学上学期 期末复习大串讲 人教A版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 1、理解直线倾斜角定义与范围； 2、掌握斜率公式并精准计算； 3、能根据斜率判断两直线平行、垂直关系 基础必考点，小题为主； 易错点：倾斜角与斜率对应关系混淆、两直线平行/垂直斜率条件考虑不全 直线的方程 1、掌握各类直线方程的适用条件； 2、能根据已知条件选写直线方程； 3、实现直线方程互化并写出一般式 高频考点，小题、大题均有涉及（大题中多作为解题第一步）； 易错点：忽略方程的适用条件、截距概念理解偏差（截距非距离） 两条直线的位置关系 1、能根据直线方程判断两直线位置关系； 2、熟练计算两直线交点坐标； 3、会求解点到直线、平行直线间距离 基础必考点，小题为主；命题趋势：结合距离公式考最值；易错点：距离计算时直线方程未化一般式、平行直线系数未统一 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 1、理解圆的标准方程与一般方程的几何意义； 2、能由一般方程判断圆并求圆心半径； 3、能根据条件求圆的方程 高频核心考点，小题大题均有；命题趋势：结合平面几何性质求圆方程；易错点：记错一般方程圆心坐标、忽略圆的存在条件 直线与圆的位置关系 1、掌握直线与圆位置关系的判断方法； 2、能求解直线与圆相交的弦长； 3、熟练求解圆的切线方程 期末必考，大题高频； 命题趋势：综合考查弦长、切线及最值 易错点：遗漏过圆外点的切线、弦长计算未用垂径定理 圆与圆的位置关系 1、理解两圆位置关系与圆心距、半径的关系； 2、能判断两圆位置关系； 3、能求解两圆公共弦方程与弦长 中频考点，小题为主； 易错点：混淆两圆位置关系的数量关系、忽略公共弦存在条件 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆的综合应用 1、能用直线与圆知识解决最值问题 2、能求解动点轨迹方程； 3、能将实际问题转化为数学模型求解 压轴考点，解答题末问为主； 命题趋势：跨知识综合考查； 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 直线的方程 知识点01 直线的方程 知识点01 两条直线的位置关系 知识点02 两条直线的位置关系 知识点02 两条直线的位置关系 知识点02 易错提醒 圆的方程 知识点03 圆的方程 知识点03 圆的方程 知识点03 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点04 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 直线的倾斜角与斜率求解 题型一 解｜题｜技｜巧 B 直线的倾斜角与斜率求解 题型一 D D 直线的倾斜角与斜率求解 题型一 直线与线段相交求斜率范围 题型二 解｜题｜技｜巧 B 直线与线段相交求斜率范围 题型二 B 直线与线段相交求斜率范围 题型二 D 直线与线段相交求斜率范围 题型二 C 直线与线段相交求斜率范围 题型二 直线方程方程的求解 题型三 解｜题｜技｜巧 A 直线方程方程的求解 题型三 A 直线方程方程的求解 题型三 直线平行与垂直的判定及应用 题型四 解｜题｜技｜巧 A 直线平行与垂直的判定及应用 题型四 B 直线平行与垂直的判定及应用 题型四 A 直线平行与垂直的判定及应用 题型四 点到直线、平行线间的距离问题 题型五 解｜题｜技｜巧 AB 点到直线、平行线间的距离问题 题型五 C 点到直线、平行线间的距离问题 题型五 点到直线、平行线间的距离问题 题型五 点与直线、直线与直线对称问题 题型六 解｜题｜技｜巧 C 点与直线、直线与直线对称问题 题型六 A 点与直线、直线与直线对称问题 题型六 点与直线、直线与直线对称问题 题型六 点与直线、直线与直线对称问题 题型六 圆的方程的求法 题型七 解｜题｜技｜巧 D 圆的方程的求法 题型七 A A 圆的方程的求法 题型七 圆的方程的求法 题型七 与圆有关的轨迹问题 题型八 解｜题｜技｜巧 D 与圆有关的轨迹问题 题型八 A 与圆有关的轨迹问题 题型八 B 与圆有关的轨迹问题 题型八 与圆有关的轨迹问题 题型八 直线与圆的位置关系判断 题型九 解｜题｜技｜巧 A 直线与圆的位置关系判断 题型九 C 直线与圆的位置关系判断 题型九 B 直线与圆的位置关系判断 题型九 B 直线与圆的位置关系判断 题型九 根据直线与圆的位置关系求参数 题型十 解｜题｜技｜巧 A 根据直线与圆的位置关系求参数 题型十 B 根据直线与圆的位置关系求参数 题型十 A 根据直线与圆的位置关系求参数 题型十 根据直线与圆的位置关系求参数 题型十 与圆的弦长有关的问题 题型十一 解｜题｜技｜巧 与圆的弦长有关的问题 题型十一 B D 与圆的弦长有关的问题 题型十一 A 与圆的弦长有关的问题 题型十一 圆的切线问题 题型十二 解｜题｜技｜巧 圆的切线问题 题型十二 A B 圆的切线问题 题型十二 D 圆的切线问题 题型十二 圆与圆的位置关系判断 题型十三 解｜题｜技｜巧 B 圆与圆的位置关系判断 题型十三 B C 圆与圆的位置关系判断 题型十三 C 两圆的公共弦问题 题型十四 解｜题｜技｜巧 B 两圆的公共弦问题 题型十四 A 两圆的公共弦问题 题型十四 B 两圆的公共弦问题 题型十四 两圆的切线问题 题型十五 解｜题｜技｜巧 A 两圆的切线问题 题型十五 C D 两圆的切线问题 题型十五 两圆的切线问题 题型十五 C 与圆有关的最值问题 题型十六 解｜题｜技｜巧 C 与圆有关的最值问题 题型十六 与圆有关的最值问题 题型十六 与圆有关的最值问题 题型十六 与圆有关的最值问题 题型十六 与圆有关的最值问题 题型十六 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） D D A C 期末重难突破练（测试时间：10分钟） C C 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） C B 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 ·易错点：混淆 “截距” 与 “距离”：截距可正、可负、可为0，距离一定非负， ·示例：如直线在轴上的截距是−2，而非2． 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． ·易错点：求解两直线平行/垂直问题时，忽略斜率不存在的特殊情形 ·示例：直线与直线平行，与直线垂直 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． ·易错点：求平行线间距离时，需保证两直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0中A,B系数完全相同，易因系数不一致直接代入导致错误． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2=r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 求解直线的倾斜角与斜率，核心是紧扣斜率与倾斜角的关系k=tanα（α∈[0,π)） 已知两点、时，直接代入斜率公式k＝计算，注意时直线垂直轴，倾斜角为，斜率不存在． 已知斜率求倾斜角时，需结合正切函数在[0，2π)和(2π，π)上的单调性分析，避免因忽略倾斜角的取值范围导致结果错误． 【变式1-1】（25-26高二上·广东梅州·月考）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【解析】直线的斜率，解得. 【例题1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解析】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 【变式1-3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【解析】依题意，直线l的斜率，所以直线l的倾斜角为. 【变式1-2】（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为． 核心思路是数形结合+临界分析，通过确定直线绕定点旋转时与线段两端点相交的临界位置，结合斜率变化规律求解范围． 1、找临界直线：设直线过定点P，线段端点为A、B，分别求出直线PA、PB的斜率、，这两条直线是直线与线段AB相交的临界状态； 2、分析斜率变化规律：结合图像观察直线绕定点P旋转时斜率的变化趋势，重点关注倾斜角为（斜率不存在）的情况。若临界直线斜率一正一负，或旋转过程中经过垂直轴的直线，斜率范围会出现“两段区间”；若斜率同号，则为连续区间； 3、验证端点是否可取：根据题目中线段是否包含端点，确定斜率范围的开闭区间． 【例题2】（24-25高二上·河北·月考）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意作图如下：设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，由图可知，由，，， 则，，所以. 【变式2-2】（25-26高二上·天津滨海新·月考）直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解析】当直线l过点时，，当直线l过点时，，要使直线l与以为端点的线段相交， 则直线的斜率的取值范围. 【变式2-3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题设，恒过点且斜率为，如下图示，所以，，由图知，要使直线与线段有交点，则或，故或 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程； （3）分类讨论：涉及斜率时，必须分斜率存在和斜率不存在两种情况． 【变式3-1】（24-25高二上·湖北·期末）直线的一个方向向量的坐标为，直线过点且与垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得直线的方向向量为直线的法向量， 由点法式方程可得，所以. 【例题3】（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】设直线方程为，由题意，即直线方程为：， 【变式3-3】（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求：(1)直线AB的一般式方程;(2)边上的高所在直线的一般式方程. 【解析】（1），，直线AB的方程为，化简得； （2）直线AB的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 【变式3-2】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【解析】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得，所以直线的方程为. 1、斜率法：若两直线斜率都存在，平行⇔且；垂直⇔ 2、一般式法：对直线，，平行⇔且；垂直⇔． 【例题4】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（    ） A． B．3 C．-1 D．3或-1 【解析】当或时两直线不平行， 当且时，因为，所以， 【变式4-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【解析】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 【变式4-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【解析】已知直线和互相垂直，则，解得. 【变式4-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知直线，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【解析】由直线，，满足可得，，可得， 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例题5】（25-26高二上·云南文山·月考）（多选）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（     ） A． B． C． D． 【解析】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以，故距离可能等于. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【解析】由得到，所以点到直线的距离为. 【变式5-1】（24-25高二上·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（    ） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【解析】因为直线与平行，所以，即， 得：，将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线过点，且点到直线的距离相等，写出满足条件的一条直线的方程 . 【解析】当直线与平行时，因为，可得， 所以直线的方程，即； 当直线过线段的中点时，因为，则的中点为， 可得，所以直线的方程，即， 综上可得，直线的方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例题6】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ） A．2 B．6 C．3 D．2 【解析】易知直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点，由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线，所以光线所经过的路程长为. 【变式6-2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【解析】易知与纵轴交于，交横轴于点，联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知，即，又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线，所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 【变式6-3】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 【解析】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【变式7-1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为，所以该圆的标准方程为. 【例题7】（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则，所以. 【变式7-2】（25-26高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则，解得，．由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 【变式7-3】（25-26高二上·北京·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为 【解析】设，则中点， 过点作直线，使得，则， 联立方程组，解得，即圆心， 半径， 所以圆的方程为. 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【例题8】（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【解析】由于，故或， 当时，则，平方可得， 表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得， 表示圆心为半径为2的左半圆. 【变式8-1】（25-26高二上·安徽·月考）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．B．C． D． 【解析】设，，由，得：，则有，因为为圆上任意一点，所以，代入可得：，整理得：，即方程就是动点的轨迹方程 【变式8-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（    ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【解析】设，根据题意可知且三点不共线，可得，因此，若三点共线，易知斜率存在，所以；即，可得；联立，解得或；又因为三点不共线，所以且，因此端点的轨迹方程为（且）. 【变式8-3】（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 【解析】设动点，则有， 由， 由于为常数,所以， 解得或，因为，所以， （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【例题9】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【解析】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 【变式9-1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知集合，集合．则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【解析】方程可化为， 该方程表示的曲线是以点为圆心，半径为的圆， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交， 因此，的元素个数. 【变式9-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【解析】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 【变式9-3】（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解析】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【例题10】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 【变式10-1】（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切， 则，解得. 【变式10-2】（25-26高二上·广东梅州·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】曲线，等价于，即以原点为圆心，半径为的圆的上半部分，又直线，过定点， 直线与曲线恰有2个交点时位置关系如下，当直线与曲线左边界相交到直线与曲线左侧相切（不含切点）的范围内恰有两个交点，当直线与曲线左边界相交时，直线过点，此时，解得；当直线与曲线左半边相切时，原点到直线的距离为，即，整理得，解得， 直线与曲线恰有两个交点时实数的取值范围是，故A正确． 【变式10-3】（24-25高二上·河北沧州·期末）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为 . 【解析】由，可得，由，得，因为关于的方程有两个不相等的实根所以直线与曲线有2个公共点，如图，当直线经过点时，，恰好有两个交点；当时，最多有一个交点，舍去；当直线与曲线相切时，得到，解得（舍），或，由图可知，当直线与曲线有2个公共点时，实数的取值范围为. 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【变式11-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】圆圆心坐标为，半径为，所以点到直线的距离可以求得弦心距为，所以根据几何法得弦长为． 【例题11】（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 【解析】圆C的圆心为，半径，到直线的距离，解得，又，所以. 【变式11-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【解析】由，即原点在已知圆内部，且圆心，， 若原点为，要使最小，只需直线，而， 所以最小. 【变式11-3】（24-25高二上·河北邯郸·期末）过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（    ） A． B． C． D．8 【解析】过点O分别作AB，CD的垂线，垂足为M，N，则四边形OMPN为矩形， 所以． 设，，则，， 所以，，所以． 因为 （当且仅当时取得最大值），所以的最大值为， 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【变式12-1】（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 【例题12】（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【解析】当切线的斜率存在时，可设直线：，即， 圆心到直线的距离为，解得，故直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意； 所以直线l的方程为或. 【变式12-2】（24-25高二上·河南焦作·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【解析】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 【变式12-3】（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为，所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【变式13-1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为， 故其圆心为，半径为，故， 故圆与圆的位置关系为相切. 【例题13】（24-25高二上·贵州黔西·期末）圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，则，所以两圆相交. 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，故圆与圆外切. 【解析】，故的圆心为，半径为，，故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而，当时，两圆外离或相交，时，两圆内切，故两圆不可能内含. 【变式13-3】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【变式13-2】（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【例题14】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（    ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【解析】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 【变式14-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以 【变式14-3】（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 【解析】：和圆：的圆心和半径 分别为, 故，故两个圆相交， 因此公共弦所在的直线方程为，即. 【变式14-2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【变式15-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】两圆圆心分别为，半径分别为2和3， 而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条. 【例题15】（24-25高二上·青海西宁·期末）已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切， 所以与圆都相切的直线只有1条． 【变式15-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 【变式15-3】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【例题16】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【解析】因为点和，动点P满足， 设点，所以，整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为直线恒过点， 当直线和直线OC垂直时点P到直线的距离取得最大值， 所以最大值为, 【变式16-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【解析】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 圆上点到定点的距离的最大值为. 由得， 代入得，， 因为函数在上单调递增， 所以的最大值为，D错误 【变式16-2】（24-25高二上·山东青岛·月考）已知实数满足，则的最小值为 . 【解析】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 【变式16-3】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是 . 【解析】设点.∵点，，， 其中的几何意义为：点到原点的距离的平方. ∵点为圆上的动点，圆心到原点的距离为5， ∴点到原点的距离的最大值为5+1=6， 的最大值为. 1．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解析】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【解析】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 由题点到直线的距离为. 5．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【解析】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【解析】，圆心，半径，可化简为，则圆的圆心为，半径，所以两圆相交. 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【解析】法一：点到直线的距离为，， 令，当时，，当时，，由对勾函数的性质可知，所以，所以，所以.法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知：表示圆， 可得：，解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为， 【解析】（1）已知圆C的圆心是，半径是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得，化简得点M的轨迹方程是. 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有 个，∵圆心到直线的距离为：，故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 3．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得； 1 / 3 $