江苏省启东中学2025-2026学年高二上学期创新班期中考试数学试题

江苏省启东中学2025-2026学年度高二创新班第一学期期中考试(数学) 考查内容：空间向量与立体几何（重点：向量法、二面角、线面关系）、函数与导数（重点：极值、单调性、不等式）、数列（重点：等差、等比、递推与求和）、平面解析几何（重点：圆锥曲线与圆的综合）、几何与代数综合（体现数形结合能力）、不等式与最值 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则 A. B. 1 C. D. 2 2.已知函数，则     A. 4 B. C. 2 D. 3.已知等差数列满足：，则的公差为    A. 1 B. 2 C. D. 4.已知直线和，若，则 A. B. 1 C. 0或1 D. 1或 5.已知，则的大小关系为     A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系xOy中，，，动点C和D分别位于y正半轴和负半轴上，若，则AC和BD的交点M的轨迹方程为    A. B. C. D. 7.如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成的二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折纸后的余弦值为 A. B. C. D. 8.已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设曲线，，则下列说法正确的是 A. 若， C表示双曲线，其焦点在 x轴上 B. 当时， C表示椭圆，其焦点在 x轴上 C. 任意， C与圆有公共点 D. 存在，则 C的离心率小于 10.在棱长为1的正四面体四个面都是正三角形中，M，N分别是棱AD，CD的中点，则 A. ，，共面 B. 是平面 BCM的一个法向量 C. N到平面 BCM的距离为 D. 直线 AN和 BM夹角的余弦值为 11.如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，为坐标原点设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是     A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是函数的极大值点，那么a的取值范围是          . 13.在直三棱柱中，，，则该三棱柱的体积的最大值为          . 14.已知F为双曲线的右焦点，经过点F的直线l与圆切于点A，l与C的左支交于点B，记BF的中点为D，则          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知数列满足：，， 求证：成等比数列； 求数列的前n项和 16.本小题12分 已知函数满足，且为的一个极值点. 求a，b； 已知图象与的图象关于点对称，若存在使成立，求m的取值范围. 17.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点，且与圆相切于点 求圆C的方程： 过点作圆C的切线，求切线l方程； 圆D上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 18.本小题12分 如图，在四棱锥中，平面平面底面ABCD中，，，，，，，E是PA的中点. 证明：； 求直线PD与平面BDE所成角的正弦值； 求平面BDE与平面CDE夹角的正弦值. 19.本小题12分 已知双曲线的离心率为e，点在C上，，分别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为，过点F的直线l与C交于A，B两点异于顶点，直线，分别与y轴交于点M， 求双曲线C的标准方程； 当时，求以MN为直径的圆的方程. 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2025-2026学年度高二创新班第一学期期中考试(数学) 考查内容：空间向量与立体几何（重点：向量法、二面角、线面关系）、函数与导数（重点：极值、单调性、不等式）、数列（重点：等差、等比、递推与求和）、平面解析几何（重点：圆锥曲线与圆的综合）、几何与代数综合（体现数形结合能力）、不等式与最值 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则 A. B. 1 C. D. 2 【答案】A  【解析】 解：由题意，若， 则， 则， 解得 2.已知函数，则     A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C  【解析】【分析】对给定等式两边求导，令即可得解. 【详解】函数，有， 令，得，解得 故选： 3.已知等差数列满足：，则的公差为    A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D  【解析】解：因为， 取，则， 取，则，则， 设的公差为d， 则 故选 4.已知直线和，若，则 A. B. 1 C. 0或1 D. 1或 【答案】B  【解析】解：因为直线， ： ， 时两条直线显然不平行， 若，则且 ， 解得， 5.已知，则的大小关系为     A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：构造函数，其中，则所以在上单调递增，由，，，因为，所以，所以故选： 6.在平面直角坐标系xOy中，，，动点C和D分别位于y正半轴和负半轴上，若，则AC和BD的交点M的轨迹方程为    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设，， 由于，因此 已知，， 根据直线的截距式方程为x轴上的截距，b为y轴上的截距， 可得直线AC： 已知，，那么BD： 由于是AC和BD的交点，因此M的坐标满足AC和BD的方程． 对于直线BD的方程，可得 对于直线AC的方程，可得 又因为，所以，即 故选： 通过设出交点M的坐标，利用A、B、C、D的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出M的轨迹方程． 本题考查轨迹方程问题，属于中档题． 7.如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成的二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折纸后的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设正方形的边长为2， 是原正方形ABCD的中心， 是AC，BD的中点， 故折叠后O是AC的中点，，且，， 为二面角的平面角， ，   ，平面DOB， 过O在平面DOB内作，则平面ABC， 以O为坐标原点，OA，OB，Oz所在直线为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，， ，， 的余弦值为 故答案为： 8.已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题可得， 因为，即， 则，即， 即，即，所以， 所以双曲线的渐近线方程为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设曲线，，则下列说法正确的是 A. 若， C表示双曲线，其焦点在 x轴上 B. 当时， C表示椭圆，其焦点在 x轴上 C. 任意， C与圆有公共点 D. 存在，则 C的离心率小于 【答案】AC  【解析】解：选项A：当时，，曲线方程化为， 曲线C表示双曲线，其焦点在 x轴上，故A正确。 选项B：当时，，曲线方程化为， 因，椭圆长轴在y轴，焦点在y轴上，故B错误； 选项C：联立曲线C与圆方程，得， 当时，，即点， 无论取何值，均满足两曲线方程，故C正确； 选项D：当时，双曲线离心率， 因时，故，得， 不存在满足条件的，故D错误. 10.在棱长为1的正四面体四个面都是正三角形中，M，N分别是棱AD，CD的中点，则 A. ，，共面 B. 是平面 BCM的一个法向量 C. N到平面 BCM的距离为 D. 直线 AN和 BM夹角的余弦值为 【答案】ABD  【解析】对于选项 M、N为AD、CD中点，由中位线性质得，又，故 根据共面向量定理，可由、线性表示，且与不共线，因此、、共面，A正确； 对于选项B : 由正四面体性质，三角形BAD与三角形CAD均为等边三角形，M为边AD的中点，故，且 又，BM，面BCM，所以面 故是平面BCM的一个法向量，B正确; 对于选项C 取平面BCM内点M，向量， 由B知，为平面BCM的单位法向量， 点N到平面BCM的距离： ，C错误； 对于选项 N为CD中点，故；M为AD中点，故 其中，由正四面体性质，相互垂直， 故 而， 故异面直线夹角余弦值为：，D正确. 11.如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，为坐标原点设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是     A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD  【解析】解：已知  ，设  ，因为  为等腰直角三角形， 则直线  的斜率为  ，直线  的方程为  ， 联立  ，解得  ，则  ，即  ，则  ， 设  ，则  ，  ， 则  ， 可得  ，即  ， 由  ，可得  ，故得  ， 所以数列  是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则  ，故A正确； 对于B，  ，则  ，故B错误； 对于C，因为  是等腰直角三角形，其面积  ， 则  由平方和公式  ， 可得  ，故C正确； 对于D，因为  ，  ， 当  时，  ， 则  ，故D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是函数的极大值点，那么a的取值范围是          . 【答案】  【解析】【分析】求导，令，求解，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】， 令，得或， ①当，即时，则当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； ②当，即时，则， 所以在R上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时，则当时，， 当或时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上：a的取值范围是 13.在直三棱柱中，，，则该三棱柱的体积的最大值为          . 【答案】2  【解析】解：在直三棱柱中，，， 因为且，， ， 已知，且，则， 所以，即， 设，，由勾股定理， 又，所以 而， 由，得， 当且仅当时，xy有最大值2 所以三棱柱的体积的最大值为 14.已知F为双曲线的右焦点，经过点F的直线l与圆切于点A，l与C的左支交于点B，记BF的中点为D，则          . 【答案】  【解析】解：双曲线中，，，则， 右焦点，左焦点，原点O是的中点. 设D是BF中点，O是中点，则OD是的中位线，故 由双曲线定义，，即， 则  又F在l上，故，即为直角三角形. 由勾股定理得 因为D是BF中点，故， 因共线，， 结合，得， 代入得， 又，故为直角三角形， 由勾股定理得 代入和，解得， 则 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知数列满足：，， 求证：成等比数列； 求数列的前n项和 【答案】证明：由，， 可得， 令，即， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，即成等比数列； 由可知， 所以， 则   【解析】令，根据已知条件证明为常数即可； 由可求得，然后根据分组求和求数列的前n项和即可． 本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16.本小题12分 已知函数满足，且为的一个极值点. 求a，b； 已知图象与的图象关于点对称，若存在使成立，求m的取值范围. 【答案】解：  ， 由题  ，所以  ， 经检验  合题意， 又因为  ，所以  ； 设  上任意一点  ， P 关于  的对称点  在  上， 所以  ，所以  ，即  ， 因为存在  使得  成立， 所以  成立，即  成立， 令  ，  ，则  ， 令  ，得  ， 所以当  时，  ，  单调递增， 所以当  时，  ，  单调递减， 所以  ，所以  ， 所以 m 的取值范围是  .   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点，且与圆相切于点 求圆C的方程： 过点作圆C的切线，求切线l方程； 圆D上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】解：将点代入圆D可得， 解得，即圆， 将点表示成“点圆”形式：， 可设圆C的方程为， 代入点可得，解得， 所以圆C的方程为， 即； 由可知，圆C的圆心为，半径， 若切线l斜率不存在，则，不满足题意舍去； 若切线l斜率存在，设切线l方程为，即， 则，解得或， 所以切线l方程为； 由可知：，圆D的圆心，半径， 设，因为， 即， 整理得， 可知点P轨迹是以为圆心，半径的圆， 且， 可知圆D与圆B的位置关系为相交，两圆有2个公共点， 所以圆D上存在2个点P，使得   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题12分 如图，在四棱锥中，平面平面底面ABCD中，，，，，，，E是PA的中点. 证明：； 求直线PD与平面BDE所成角的正弦值； 求平面BDE与平面CDE夹角的正弦值. 【答案】解：因为AD  BC，AB  BC，，，  ， 所以  ， 因为平面  平面 ABCD ，平面  平面  平面 ABCD ， 所以BD  平面 PCD ， 又  平面 PCD ，所以  .             如图，过点 P 作 CD 的垂线，交 CD 的延长线于点 H ，连接 AH ， 因为平面  平面 ABCD ， 平面  平面  平面  ， 所以  平面 ABCD ，且  .在  中，  ， 在  中，  ，由余弦定理得  ， 所以  ，所以  ， 如图，过点D作，则DF  底面 ABCD ，以DB，DC，DF所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则  ， 所以  ，     设平面 BDE 的法向量分别为  ， 则  ， 令  ，则  ，  ，所以  . 设直线PD与平面BDE所成角为  ，则  .  故直线PD与平面BDE所成角的正弦值为  . 设平面 CDE 的法向量分别为  ，  ， 令  ，则  ，  ，所以  . 则  ， 设平面 BDE 与平面 CDE 的夹角为  ，则  ， 故平面 BDE 与平面 CDE 夹角的正弦值为  .           【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题12分 已知双曲线的离心率为e，点在C上，，分别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为，过点F的直线l与C交于A，B两点异于顶点，直线，分别与y轴交于点M， 求双曲线C的标准方程； 当时，求以MN为直径的圆的方程. 【答案】解：设双曲线的半焦距为c，则右焦点F的坐标为， 点在双曲线C上， ①， 由已知右焦点到渐近线的距离② ③， 由①②③得，， 双曲线C的标准方程为 由知， 过点的斜率为0的直线为，与双曲线的交点为，与已知矛盾; 故可设直线， 联立方程得，消去x并整理得， 由已知， 方程的判别式， 设，，则 因此 设，，易知直线的方程为， 令，得， 直线的方程为， 令，得， 则 ， ， 当时，，以MN为直径的圆的方程为，即 当时，，以MN为直径的圆的方程为，即  【解析】本题考查双曲线和圆的综合应用，属于较难题. 由条件，利用双曲线的性质求出，，即可得双曲线方程; 设直线，联立双曲线方程，利用韦达定理，求出，得，然后分情况求解即可. 第2页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $