江苏省启东中学创新班2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

江苏省启东中学2025-2026学年度高一创新班第一学期期中考试(数学) 考查内容：集合与逻辑、函数（重点考察图像、性质、解析式）、三角函数与解三角形、平面向量、立体几何、不等式、复数、新定义与数学文化（体现创新与拓展） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，    A. B. C. D. 2.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为     A. B. C. 1 D. i 3.已知命题：p：，，命题q：，，则    A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4.函数的图象如下图所示，则的解析式可能为     A. B. C. D. 5.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为   A. B. C. D. 6.已知，，且，则的最小值为     A. 12 B. 13 C. 17 D. 19 7.已知函数是定义域为R的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为     A. B. C. D. 8.在中，三边长满足，则的值为     A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知向量，，则    A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 10.符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是     A. 函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数是周期函数 D. 函数是减函数 11.如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是  A. 若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B. 若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C. 若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D. 若CD的长为定值，则的长也为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知的定义域为，函数的定义域为          . 13.如图，在中，，，取BC边中点D，连接AD，设E为AD中点，连接BE并延长与交于点F，则EF的长为          . 14.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为 求集合A；设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16.本小题12分 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量，，且 求C； 若，，的平分线交AB于点D，求CD的长． 17.本小题12分 已知二次函数满足，且 求的解析式； 设函数 ①当时，求不等式的解集； ②若的最小值为，求m的值． 18.本小题12分 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 求证：平面BCD； 求的值；若二面角的大小为，求四面体PABC的体积. 19.本小题12分 切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式简称切比雪夫多项式其定义为：设n次多项式，若满足，则称为第一类次切比雪夫多项式，例如：由于，所以为二次切比雪夫多项式．已知切比雪夫多项式具有下列性质： 对于任意，都有； 若为最高次数为n，且最高次数项系数与相等的任意多项式，设在上的最大值为，则，等号成立当且仅当 利用以上材料中的信息，求三次切比雪夫多项式； 利用切比雪夫多项式的性质解决以下问题： ①已知函数在上的最大值为M，求M的最小值； ②设，当时，恒成立，求的最大值． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2025-2026学年度高一创新班第一学期期中考试(数学) 考查内容：集合与逻辑、函数（重点考察图像、性质、解析式）、三角函数与解三角形、平面向量、立体几何、不等式、复数、新定义与数学文化（体现创新与拓展） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，， 则， 故选： 2.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为     A. B. C. 1 D. i 【答案】C  【解析】解：因为  ， 所以  ，所以  ，所以 z 的虚部为 1 。 3.已知命题：p：，，命题q：，，则    A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了含有量词的命题的真假判断，属于基础题. 取特殊值判断命题p；取判断命题q，即可得到结果. 【解答】 解：对于命题p，当时，，故p是假命题，则为真命题， 对于命题q，当时，，故q是真命题，是假命题， 综上可得，和q都是真命题. 故选 4.函数的图象如下图所示，则的解析式可能为     A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数值的符号排除选项，即得答案. 【解答】 解：由图知：函数图象关于 y轴对称，其为偶函数，且 ， 由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除； 故选： 5.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为   A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系式、正切函数的二倍角公式以及两函数图像交点的理解． 由，所以从而，解得，再利用二倍角公式求 【解答】 解：因为，所以 依题意得，即，则，所以 故选 6.已知，，且，则的最小值为     A. 12 B. 13 C. 17 D. 19 【答案】C  【解析】解：   ， 当且仅当  ，又， 得  时，等号成立. 故当 时， 取最小值17， 故选 7.已知函数是定义域为R的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为     A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：是定义域为R的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为R的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上， 故选： 8.在中，三边长满足，则的值为     A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由正弦定理知：，，，而， 即， ， 根据和差化积公式及倍角公式可得：， ， ， 两边同时除以，得：， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知向量，，则    A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】AC  【解析】解：对于选项A，，  ，故A正确； 对于选项B，， 故与不平行，B错误； 对于选项C，向量与的夹角为， ， ， ，又，所以，C正确； 对于选项D，向量在方向上的投影向量为 ， 则，故D错误， 故选 10.符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是     A. 函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数是周期函数 D. 函数是减函数 【答案】BC  【解析】解：对于A，若，即， 所以，所以，矛盾，故A错误； 对于B，当时，则； 当时，，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，， 所以函数是周期函数，故C正确； 对于D，取，则，取，则， 所以函数不是减函数，故D错误． 故选： 11.如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是  A. 若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B. 若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C. 若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D. 若CD的长为定值，则的长也为定值 【答案】ACD  【解析】解：对于A：取AD的中点H， 平面BCD，平面BCD，，， 平面BCD，平面BCD，， ，，BC、平面ABC， 平面ABC，平面ABC，， ，为外接球的球心，AD是直径，该三棱锥外接球的半径为，故A正确； 对于B：假设内切球的球心为， 第一种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， ，解 第二种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， ， 解得，综上所述，当AC的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故B错误; 对于C：由选项A可知，又，，AC、平面ACD， 平面ACD，平面ACD，， ，若BD的长为定值，则EO的长也为定值，故C正确； 对于D：由以上分析可知，，故，， 由于O为BD中点，故 ， 故CD的长为定值，则的值也为定值，故D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知的定义域为，函数的定义域为          . 【答案】  【解析】解：的定义域为，函数， 则，解得， 所以函数的定义域是 故答案为： 根据具体函数的形式和抽象函数的定义域的求法，即可求解． 本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题． 13.如图，在中，，，取BC边中点D，连接AD，设E为AD中点，连接BE并延长与交于点F，则EF的长为          . 【答案】  【解析】解：作交BC于点H， 因为点E为AD中点，所以点H为DC中点，即， 又因为D为BC中点，即， 又因为，所以，即， 在，由余弦定理可得， 在中，， 则 ， 所以，则 故答案为： 14.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查不等式的解法，属于中档题. 将原不等式转化为的解集为空集，即，解得即可. 【解答】 解： ， 所以 的解集为， 所以若使的解集为空集， 就是的解集为空集， 即，所以，即 故答案为 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为 求集合A；设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】解：由命题p为真命题，得，得 是的必要不充分条件，是B的真子集． 等号不能同时成立， 解得   【解析】本题考查的是不等式恒成立问题，充分条件，必要条件和充要条件，属于一般题. 由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得结果； 将是的必要不充分条件化为A是B的真子集后，列式可求出结果． 16.本小题12分 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量，，且 求C； 若，，的平分线交AB于点D，求CD的长． 【答案】解：由，得， 即， 利用二倍角公式和正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以， 因为，所以，又因为，所以 由及余弦定理得，即， 又因为，所以， 因为， 所以，所以  【解析】【分析】本题主要考查了平面向量数量积运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 利用，得，再利用二倍角公式和正弦定理化简即可； 利用，以及余弦定理即可求出. 17.本小题12分 已知二次函数满足，且 求的解析式； 设函数 ①当时，求不等式的解集； ②若的最小值为，求m的值． 【答案】解：设， 因为， 所以，所以， ①， 因为，， 所以 设，当且仅当，即时取等号. 所以，即，解得： 所以，整理得：， 解得：或，即或，解集为或 ②， 设，当且仅当，即时取等号. 所以， 当时，函数在为增函数， 所以，解得 当时，函数在为减函数，在为增函数， 所以，解得或舍去 综上：或   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题12分 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 求证：平面BCD； 求的值；若二面角的大小为，求四面体PABC的体积. 【答案】证明：在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； 解： 连接PE，平面 平面ABD，平面平面 因此 因为，， 因此，，因此； 解： 设四面体PABC的体积为 由得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F，，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题12分 切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式简称切比雪夫多项式其定义为：设n次多项式，若满足，则称为第一类次切比雪夫多项式，例如：由于，所以为二次切比雪夫多项式．已知切比雪夫多项式具有下列性质： 对于任意，都有； 若为最高次数为n，且最高次数项系数与相等的任意多项式，设在上的最大值为，则，等号成立当且仅当 利用以上材料中的信息，求三次切比雪夫多项式； 利用切比雪夫多项式的性质解决以下问题： ①已知函数在上的最大值为M，求M的最小值； ②设，当时，恒成立，求的最大值． 【答案】解：根据三角函数的恒等式：， 由定义，当时：， 令，则； ①令  ，则  ，当  时，  ，  ，其最高次项系数为16， 由三次切比雪夫多项式  ，则  ，其最高次项系数也为16， 根据性质，对于最高次数为3且最高次数项系数与  相等的任意多项式  ，  ，当且仅当  =  时等号成立，此时  所以M 的最小值为 4 ； ②二次切比雪夫多项式在上绝对值不超过1， 若将区间缩放为，并调整系数使得最大绝对值为2， 则， 令最高次数项系数为1，即， 解得，此时， 当时，的绝对值最大为2， 区间长度，所以的最大值为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第2页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $