江苏省启东中学2025-2026学年高一上学期数学周练五（创新班）

高一创新班数学周练五(数学) 考查内容：复数、立体几何向量、函数与方程、三角函数与解三角形、不等式与逻辑 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数为虚数单位，则z的虚部是     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】化简，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，所以z的虚部是 故选：A 2.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是     A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，则 【答案】D  【解析】解：选项A：若且，则m可能平行于，也可能在内，A为假命题； 选项B：若且，则；又，则，B为假命题； 选项C：若、且，与可能相交或平行，C为假命题； 选项D：若、且，根据线面平行的性质定理可得，D为真命题. 3.已知圆台的上、下底面圆均在体积为的球O的球面上，若圆台的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，2r，则其母线长为2r，高为，可得球O的半径为2r，故，解得， 所以该圆台的表面积， 故选 4.已知向量，，其中，则的最大值是     A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B  【解析】【分析】先求  ，然后求解  ，又由  ，从而可求解. 【详解】由题意得  ， 所以   ， 又因为  ，所以  ， 所以  的最大值为 3 ，故B正确. 故选： 5.已知定义在上的偶函数，对有，则关于x的不等式的解集为     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：是定义在上的偶函数， 根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得， 的定义域为 又对，有， 在上单调递增， 为偶函数， 在上单调递减. 由，不等式可化为， 根据偶函数的性质，不等式可化为， 由以上推出的条件可得，解得 6.设函数，若为R上单调递减函数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】结合指数函数与二次函数单调性及其图象即可得. 【详解】由在R上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故有，画出和图象如图：    则该不等式组解集为， 故实数a的取值范围是 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.已知函数的定义域为R，，则     A. B. 为偶函数 C. 若，则 D. 若时，是连续单调递减函数，则当时，不等式的解集是 【答案】ACD  【解析】解：函数的定义域为R，， 选项A：令，可得，得，故A正确； 选项B：令，可得，得， 令，可得， 所以为奇函数，故B错误； 选项C：令，，可得， 解得，故C正确； 选项D：因为， 由，可得， 因为， 所以， 所以， 因为时，单调递减，且， 所以，解得，故D正确． 故选： 利用赋值法，分别代数检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误． 本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题． 8.如图，在直三棱柱中，为AD的中点，则    A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线ME与AC所成角的余弦值为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 【答案】BC  【解析】解：在直三棱柱中，有，，， 因为，M为AD的中点， 所以，， 又，所以，， 则，从而ME与EC不垂直，故A错误； 如图，设N，G分别为EB，FC的中点，连接MN，MG，EG，AF， 因为，，，，EF与FC交于点F， 所以平面EFC， 则，故B正确； 因为M、G为AD、CF的中点，四边形ADCF为矩形， 所以，则ME与AC所成的角为， 由，， 得，故C正确； 由直三棱柱，，， 则三棱柱的外接球球心为AF中点，直径为AF， 故三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 该外接球的直径为， 则三棱柱的外接球的表面积为，故D错误． 故选： 9.已知函数，则     A. 是偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调 D. 的最大值是 【答案】AD  【解析】解：因为，所以是偶函数，A正确. 因为， ， 所以，则的图象关于直线对称，B错误. 因为，，所以在上不单调，C错误. 因为，所以是的一个周期，则的最大值即在上的最大值. 当时，，则 设，则， 设函数 易证函数在上单调递增，所以，即， 所以，故的最大值是，D正确. 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 10.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为          . 【答案】  【解析】解：命题p：，是假命题， 即““是真命题， 当时，不等式为恒成立； 当时，满足 ，解得， 故实数a的取值范围为 故答案为 11.已知在梯形ABCD 中，，且，点E 满足，则          . 【答案】  【解析】解：因为在梯形ABCD中，，且，， 所以以点B为坐标原点，建系如图： 则， 设点，则， ， 所以， 所以，解得， 所以，， 所以 故答案为： 12.若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是          . 【答案】  【解析】解：设，当时，， 故由题意可得关于t的不等式在区间上恒成立， 设， 由二次函数的性质可知在区间上单调递减，且最小值为，得， 则实数k的取值范围是 13.已知，则的最小值为          . 【答案】  【解析】解：因为，的最大值均为1， 且，① 所以，，且不同时取最大值1， 设，② 由， 得， 即， 所以， 当时，等号成立; 当时，， 所以，， 所以， 即， 由， 可得， 平方得，， 所以， 解得， 所以， 综上，当，时，取最小值，为 14.已知幂函数是偶函数，则          ，设，若对于任意，，则实数k的最大值为          . 【答案】 ；   【解析】解：由已知幂函数是偶函数，则有，解得或1， 又，则指数须为偶数，所以 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以k的最大值为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 关于x的不等式，关于x的不等式 记，求A； 若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】解：若关于x的不等式， 即，解得， 所以； 由，得， 等价于，解得， 记不等式的解集B为 是p的必要不充分条件， 则， ，即 则实数a的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题12分 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为 求证：平面平面PAD； 求证：； 若，求四棱锥的体积． 【答案】证明：因为M 、N 、Q 分别为 PC 、CD 、AB 的中点，底面 ABCD 为平行四边形， 所以  ，  ，又  平面 PAD ，  平面 PAD ， 则  平面 PAD ，同理  平面 PAD ，  平面 PAD ， 可得  平面 PAD ，又  ，  平面 MNQ ， 所以平面  平面 PAD ； 证明：因为底面 ABCD 为平行四边形，所以  ， 又  平面 PAD ，  平面 PAD ，所以  平面 PAD ， 又  平面 PBC ，平面  平面  ，所以  ； 解：因为四棱锥  是正四棱锥， 所以底面 ABCD 是正方形， P 在底面上的投影是底面的中心， 又  ，所以  ，又  ， 所以四棱锥的高为  ， 所以正四棱锥  的体积  ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题12分 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 求角B的大小； 若，，求a，b； 若，求 【答案】解：由， 根据正弦定理，得， 则， 在中，，则， 又，故 由， 根据余弦定理可得，整理可得， 又，解得，或，舍去 由，根据正弦定理，得， 则， 又，则，故A为锐角， 所以， 则， ， 所以   【解析】【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可. 通过余弦定理得到，进而结合求解即可. 通过正弦定理得到，再判断角A为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. 18.本小题12分 已知函数是奇函数． 求a的值并判断的单调性； 当时，恒成立，求实数k的取值范围； 设，若，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】解：若为奇函数，则，即， ，，则，，解得： 又函数在R上是增函数，函数在R上是减函数， 因此函数在R上为增函数. 由题意得在时恒成立， 因为是R上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立，得到， 且令，即在时恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 即，故，即 由题意，，使得，所以， 因为，由可得， 因为的对称轴为直线， ①当时，在区间上单调递增，所以， 由，得，所以 ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，所以 ③当时，在区间上单调递减，所以，由，得， 所以 综上所述，满足题意的实数m的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题12分 已知函数的定义域为D，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数 证明：的图象关于点成中心对称图形. 求图象的对称中心. 设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数n的最小值. 【答案】解：证明：因为，所以， ， 所以， 则的图象关于点成中心对称图形. 解：解法一设，则，所以 易证是奇函数，所以函数的图象关于点中心对称， 所以函数的图象关于点中心对称， 所以的图象关于点中心对称，即图象的对称中心为点 解法二因为，所以， ， 所以， 则图象的对称中心为点 解：由可知和的图象都关于点成中心对称图形， ， 所以，， 所以， 所以函数的图象关于点成中心对称图形. 因为区间关于直线对称， 所以， 所以 因为不等式对任意恒成立， 所以 因为，所以，所以，即整数n的最小值是  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第2页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一创新班数学周练五(数学) 考查内容：复数、立体几何向量、函数与方程、三角函数与解三角形、不等式与逻辑 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数为虚数单位，则z的虚部是     A. B. C. D. 2.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是     A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，则 3.已知圆台的上、下底面圆均在体积为的球O的球面上，若圆台的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为(    ) A. B. C. D. 4.已知向量，，其中，则的最大值是     A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5.已知定义在上的偶函数，对有，则关于x的不等式的解集为     A. B. C. D. 6.设函数，若为R上单调递减函数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.已知函数的定义域为R，，则     A. B. 为偶函数 C. 若，则 D. 若时，是连续单调递减函数，则当时，不等式的解集是 8.如图，在直三棱柱中，为AD的中点，则    A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线ME与AC所成角的余弦值为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 9.已知函数，则     A. 是偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调 D. 的最大值是 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 10.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为          . 11.已知在梯形ABCD 中，，且，点E 满足，则          . 12.若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是          . 13.已知，则的最小值为          . 14.已知幂函数是偶函数，则          ，设，若对于任意，，则实数k的最大值为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 关于x的不等式，关于x的不等式 记，求A； 若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16.本小题12分 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为 求证：平面平面PAD； 求证：； 若，求四棱锥的体积． 17.本小题12分 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 求角B的大小； 若，，求a，b； 若，求 18.本小题12分 已知函数是奇函数． 求a的值并判断的单调性； 当时，恒成立，求实数k的取值范围； 设，若，使得成立，求实数m的取值范围． 19.本小题12分 已知函数的定义域为D，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数 证明：的图象关于点成中心对称图形. 求图象的对称中心. 设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数n的最小值. 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $