专题05 统计与概率（期末复习讲义）高一数学上学期北师大版

该高中数学统计与概率期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，涵盖抽样方法、统计图表、概率计算等模块，按“核心考点-复习目标-考情规律”框架呈现，结合知识点分层讲解构建知识脉络，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于题型分类与方法指导，设计九类典型题型如频率分布直方图应用、古典概型计算等，每类配备答题模板与易错点拨，例如强调“频率分布直方图纵坐标为频率/组距”的易错点，培养学生数学思维与数据处理能力。练习分基础、重难、综合层次，适配不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

专题05 统计与概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抽样的基本方法（简单随机抽样、分层抽样） 能准确区分并选择合适的抽样方法（简单随机抽样用于总体均匀，分层抽样用于总体分层），能计算分层抽样的各层抽样数量 基础必考点，多在选择题 / 填空题考查；易错点：分层抽样时混淆 “抽样比”（样本容量 / 总体容量）的计算 用样本估计总体分布（频率分布表、频率分布直方图） 能根据数据绘制频率分布表 / 直方图，能从图表中读取频率、组距等信息，利用图表计算 高频考点，多以填空题 / 解答题小问考查；命题趋势：常结合实际数据（如成绩、身高）考查；易错点：频率分布直方图中 “频率 = 组距 × 频率 / 组距” 的关系混淆 用样本估计总体数字特征（平均数、中位数、众数、方差） 能计算样本的平均数、中位数、众数、方差，能利用这些特征估计总体 核心考点，小题 / 解答题均涉及；易错点：方差计算时遗漏 “除以样本容量” 的步骤，中位数与众数的概念混淆 随机事件的概率 能判断事件间的互斥、对立关系，能利用互斥事件加法公式计算概率 基础必考点，多在选择题考查；易错点：混淆 “互斥事件”（不能同时发生）与 “对立事件”（非此即彼） 古典概型 能判断试验是否为古典概型（有限等可能），能列举基本事件并计算事件概率 核心必考考点，小题 / 解答题均有；命题趋势：常结合实际情境（如摸球、掷骰子）考查；易错点：列举基本事件时重复 / 遗漏 事件的独立性 能判断事件是否独立，能利用独立事件乘法公式计算概率 高频考点，多在选择题 / 填空题考查；易错点：误将非独立事件当作独立事件计算概率 知识点01 分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 知识点02 用样本估计总体 1、频率分布直方图 频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3、百分位数 （1）定义：一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 知识点03 样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． （2）标准差和方差 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． （3）数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． （4）平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，那么 ①一组新数据的平均数为，方差是． ②一组新数据的平均数为，方差是． ③一组新数据的平均数为，方差是． 示例：已知数据1：，，，，数据2：，，，，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有（　　） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差 【答案】AC 【解析】设数据1：，，，，的均值为，标准差为s，中位数为，极差为 则数据2：，，，，的均值为，故A错误， 数据2：，，，，的标准差为，故B正确； 数据2：，，，，的中位数为，故C错误； 极差为，故D正确； 故选：AC． 知识点04 事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 知识点05 互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 知识点06 概率与频率 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 知识点07 古典概型 （1）定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件是什么． 2、解题实现步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； （3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； （4）利用公式求出事件的概率． 3、解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． ①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． ②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法． 知识点08 概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点09 条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识点010 相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 题型一 根据统计图表解决实际问题 解｜题｜技｜巧 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例； 折线图：描述数据随时间的变化趋势； 条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 【典例1】(22-23高三下·河南叶县高级中学等2校·模拟)年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）： 下列说法错误的是（    ） A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高 B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元 C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录 D．年月该市星级酒店平均房价约为元 【变式1】第29届全国摄影艺术展览暨首届厦门影像艺术周在厦门举办，本届作品体现了摄影根植现实洞察思考的魅力，显示出中国摄影人日益拓宽的视野与逐渐深化的实践．某校举行了第29届全国摄影艺术展览的参观活动，并在活动结束后让学生对此次活动进行打分（满分150分），得到如图所示的频率分布折线图，则估计学生对此次活动打分的平均值为（    ）    A．110分 B．109分 C．113分 D．105分 【变式2】空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表: 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下: 下列叙述正确的是（  ） A．这天中指数值的中位数略大于 B．这天中的空气质量为优的天数占 C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好 【变式3】随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是 A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半 B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当 C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍 D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍 【变式4】某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试后，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 则下列说法错误的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班学生的数学成绩优秀人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为 D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数少于（2）班人数 题型二 频率分布直方图的应用 答｜题｜模｜板 （1）利用频率分布直方图求频率、频数；频率=纵轴值×组距；频数=频率 ×总数 （2）利用频率分布直方图估计总体． 易｜错｜点｜拨 频率分布直方图的纵坐标是频率/组距，而不是频率． 【典例1】(25-26高三上·四川成都石室中学·模拟)某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【变式1】某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 【变式2】(25-26高二上·湖南长沙名校联考联合体·)工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在内，将其分成，， ，，，共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有名员工，则估计得分少于分的人数为（   ）    A． B． C． D． 【变式3】(24-25高二下·陕西西安中学·期末)某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（   ） A．270 B．240 C．180 D．150 【变式4】(24-25高二上·云南曲靖富源县胜境中学·月考)某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 题型三 百分位数求解 答｜题｜模｜板 计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 【典例1】(25-26高三上·江苏南通如皋·调研)一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【变式1】(25-26高三上·广东江门·二模)2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高三上·山西三重教育·月考)一个数学小组的数学成绩为89，99，91，92，93，94，95，96，则这组数据的下四分位数为（    ） A．90 B． C．94.5 D．94 【变式3】(25-26高二上·四川达州部分学校·)临近高考，小强同学把高三6次大考的数学成绩整理如下：122，96，108，130，126，117，则这组数据的第80百分位数是（　　） A．130 B．128 C．126 D．124 【变式4】(25-26高二上·湖南湘潭县第一中学·期中)给定一组数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53，则该组数据的分位数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 题型四 样本的数字特征（平均数、中位数、众数、方差等） 答｜题｜模｜板 （1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小． （2）方差的简化计算公式：或写成，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 【典例1】(25-26高三上·山西部分学校（太原第二十七中学校等）·月考)已知的平均数为，方差为2，则的方差为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(23-24高一下·河南创新发展联盟·月考)已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（    ） A．12 B．10 C．2 D．11 【变式2】(24-25高三下·云南昆明云南师范大学附属中学·月考)某公司对其新推出的服务系统进行用户满意测评，收集了100位用户的评分数据，整理得如图所示的频率分布直方图.这组数据的平均数和中位数的大小关系为（    ）    A．平均数中位数 B．平均数中位数 C．平均数中位数 D．不确定 【变式3】样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（    ） A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5 【变式4】在一组样本数据中，正整数，，，出现的频率分别为，，，，且，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（  ） A．， B．， C．， D．， 题型五 随机试件的关系与运算 答｜题｜模｜板 （1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生． （2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件． 【典例1】(25-26高二上·广东江门新会区第一中学·期中)已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·江苏淮安·期末)已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【变式2】(21-22高一下·广西贺州·期末)已知随机事件A和B互斥，且，，则P（）＝（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式3】投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A． B． C． D． 【变式4】学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为 A． B． C． D． 题型六 利用古典概型求概率 答｜题｜模｜板 求解古典概型的交汇问题的步骤 （1）将题目条件中的相关知识转化为事件； （2）判断事件是否为古典概型； （3）选用合适的方法确定样本点个数； （4）代入古典概型的概率公式求解． 【典例1】(25-26高二上·山东聊城·期中)有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高二上·湖北黄冈部分高中·期中)若，则函数有零点的概率为（） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高三上·广东佛山中黄星瑜港澳子弟学校·月考)某袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球．求所抽出的两个球的颜色不同的概率．（　　） A． B． C． D． 【变式4】《易经》记载了一种占卜方法叫做“筮法”．用50根蓍草进行占卜，先抽去一根蓍草，横放其上，象征“太极”．然后把剩下49根蓍草随意分为两堆，象征“两仪”；接着从右堆中取出一根蓍草放在中间，再将左右两堆中余下的蓍草4根一数，直到最后各剩下不超过4根（含4根）为止，取出两堆剩下的蓍草也放入中间，再将两堆余下蓍草合在一起，记作“一变”．在“一变”中最后放在中间的蓍草总数有：5，9两种可能．其中“5”的概率是多少（    ） A． B． C． D． 题型七 相互独立事件的判断 答｜题｜模｜板 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． 【典例1】(25-26高一上·河南南阳第一中学校·月考)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【变式1】(25-26高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立 C． D． 【变式2】(25-26高二上·湖北武汉新洲区问津教育联合体·月考)抛掷一枚骰子两次.设事件为“第一次向上的点数是2”，事件为“第二次向上的点数是奇数”，事件为“两次向上的点数之和能被5整除”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互为对立事件 B． C． D．事件与事件相互独立 【变式3】(25-26高二上·四川成都树德中学·)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C对立 D．B与C互斥 【变式5】(24-25高一下·湖南永州·期末)一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 题型八 相互独立事件概率的计算 答｜题｜模｜板 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【典例1】(25-26高二上·广东佛山顺德区实验中学、勒流中学等镇街学校·)运动员甲、乙进行射击训练，若甲、乙中靶的概率分别为，，则两人都脱靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·江苏南京·期中)甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（　　） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【变式2】(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【变式3】(25-26高二上·广东广州广东实验中学·期中)甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 【变式4】(25-26高二上·湖北重点高中智学联盟·月考)象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率. 题型九 总体的离散与集中程度的估计 答｜题｜模｜板 频率分布直方图的数字特征 （1）众数：最高矩形的底边中点的横坐标． （2）中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． （4）标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小． 【典例1】(23-24高一下·青海海南藏族第一民族高级中学·期末)某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）： 甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85 (1)试分别计算两组数据的极差和方差； (2)试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？ 【变式1】(23-24高三上·四川部分名校·期末)某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 时间/s 12 12.4 12 12.5 12 11.8 12.2 11.5 11.6 12 (1)计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差； (2)经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由． 【变式2】(22-23高一下·山西孝义·月考)某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位） 55 50 50 60 70 80 80 80 85 90 （单位） 45 60 60 80 75 55 80 80 70 95 (1)求，，，； (2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由. 【变式3】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40）第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人. (1)求x; (2)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）; (3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1~5组，从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为，职业组中1~5组的成绩分别为. ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差; ②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度. 【变式4】为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案， 甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元； 乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元． （Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格： 日均派送单数 50 54 56 58 60 频数（天） 2 3 2 2 1 回答下列问题： ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差； ②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 2．(25-26高二上·上海南汇中学·)已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．(25-26高三上·重庆（康德卷）·模拟)某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 4．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高二上·上海松江二中·期中)事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（   ） A．160 B．190 C．220 D．250 2．(24-25高一下·江苏东海高级中学·)某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 3．(25-26高二上·山东淄博六校·期中)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)若存在实数、，使得函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·广东广州华南师范大学附属中学南海实验高中·期中)下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 2．(25-26高二上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·期中)某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 3．(25-26高二上·内蒙古乌兰察布部分中学·期中)以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩（单位：分）：，.这10人成绩的第百分位数是84，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 4．(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 统计与概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抽样的基本方法（简单随机抽样、分层抽样） 能准确区分并选择合适的抽样方法（简单随机抽样用于总体均匀，分层抽样用于总体分层），能计算分层抽样的各层抽样数量 基础必考点，多在选择题 / 填空题考查；易错点：分层抽样时混淆 “抽样比”（样本容量 / 总体容量）的计算 用样本估计总体分布（频率分布表、频率分布直方图） 能根据数据绘制频率分布表 / 直方图，能从图表中读取频率、组距等信息，利用图表计算 高频考点，多以填空题 / 解答题小问考查；命题趋势：常结合实际数据（如成绩、身高）考查；易错点：频率分布直方图中 “频率 = 组距 × 频率 / 组距” 的关系混淆 用样本估计总体数字特征（平均数、中位数、众数、方差） 能计算样本的平均数、中位数、众数、方差，能利用这些特征估计总体 核心考点，小题 / 解答题均涉及；易错点：方差计算时遗漏 “除以样本容量” 的步骤，中位数与众数的概念混淆 随机事件的概率 能判断事件间的互斥、对立关系，能利用互斥事件加法公式计算概率 基础必考点，多在选择题考查；易错点：混淆 “互斥事件”（不能同时发生）与 “对立事件”（非此即彼） 古典概型 能判断试验是否为古典概型（有限等可能），能列举基本事件并计算事件概率 核心必考考点，小题 / 解答题均有；命题趋势：常结合实际情境（如摸球、掷骰子）考查；易错点：列举基本事件时重复 / 遗漏 事件的独立性 能判断事件是否独立，能利用独立事件乘法公式计算概率 高频考点，多在选择题 / 填空题考查；易错点：误将非独立事件当作独立事件计算概率 知识点01 分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 知识点02 用样本估计总体 1、频率分布直方图 频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3、百分位数 （1）定义：一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 知识点03 样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． （2）标准差和方差 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． （3）数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． （4）平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，那么 ①一组新数据的平均数为，方差是． ②一组新数据的平均数为，方差是． ③一组新数据的平均数为，方差是． 示例：已知数据1：，，，，数据2：，，，，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有（　　） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差 【答案】AC 【解析】设数据1：，，，，的均值为，标准差为s，中位数为，极差为 则数据2：，，，，的均值为，故A错误， 数据2：，，，，的标准差为，故B正确； 数据2：，，，，的中位数为，故C错误； 极差为，故D正确； 故选：AC． 知识点04 事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 知识点05 互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 知识点06 概率与频率 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 知识点07 古典概型 （1）定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件是什么． 2、解题实现步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； （3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； （4）利用公式求出事件的概率． 3、解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． ①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． ②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法． 知识点08 概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点09 条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识点010 相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 题型一 根据统计图表解决实际问题 解｜题｜技｜巧 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例； 折线图：描述数据随时间的变化趋势； 条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 【典例1】(22-23高三下·河南叶县高级中学等2校·模拟)年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）： 下列说法错误的是（    ） A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高 B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元 C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录 D．年月该市星级酒店平均房价约为元 【答案】D 【分析】根据折线统计图和条形统计图逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，由图可知，仅有月同比增速为，其余个月同比增速均为正数，故A正确； 对于B选项，由图可知个数据的平均数为 ，故B正确； 对于C选项，由图可知这个月的数据中，第个月的最大，故C正确； 对于D选项，由，得年月该市星级酒店平均房价大于元，故D错误． 故选：D. 【变式1】第29届全国摄影艺术展览暨首届厦门影像艺术周在厦门举办，本届作品体现了摄影根植现实洞察思考的魅力，显示出中国摄影人日益拓宽的视野与逐渐深化的实践．某校举行了第29届全国摄影艺术展览的参观活动，并在活动结束后让学生对此次活动进行打分（满分150分），得到如图所示的频率分布折线图，则估计学生对此次活动打分的平均值为（    ）    A．110分 B．109分 C．113分 D．105分 【答案】C 【分析】先利用频率和为1求出，再利用平均值公式求解即可. 【详解】由频率分布折线图可知，解得． 故估计学生对此次活动打分的平均值为 （分）． 故选：C 【变式2】空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表: 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下: 下列叙述正确的是（  ） A．这天中指数值的中位数略大于 B．这天中的空气质量为优的天数占 C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好 【答案】B 【分析】通过表格可知，数值越大，说明空气污染越严重，质量不好，数值越小空气质量越好.体现在图标上就是点的位置越高空气污染越严重，点的位置越低空气质量越好.可以通过将点计数来确定中位数的大概位置，以及空气质量为优的天数. 【详解】由折线图知以上有个，以下有个，中位数是两边两个数的均值，观察比的数离远点， 因此两者均值大于但小于150,A错; 空气质量为优的有天，占，B正确; 10月4日到10月11日，空气质量越来越差，C错; 10月上旬的空气质量指数值在以下的多， 中旬的空气质量指数值在以上的多， 上旬的空气质量比中旬的空气质量好，D错. 故选：B. 【点睛】对表格和图表的解读是做题的关键，通过对A,B,C,D的逐项判断来选出正确答案. 【变式3】随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是 A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半 B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当 C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍 D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍 【答案】C 【分析】2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以在计算实际消费额时，需要对2018年的各项消费占比乘以2，再与2014年各项消费额相比. 【详解】选项A中，2018年食品消费占0.2，2014年食品消费占0.4，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故A项错误. 选项B中，2018年教育医疗消费占0.2，2014年教育医疗消费占0.2，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年教育医疗消费额是2014年的两倍，故B项错误. 选项C中，2018年休闲旅游消费占0.25，2014年休闲旅游消费占0.1，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年休闲旅游消费消费额是2014年的五倍，故C项正确. 选项D中，2018年生活用品消费占0.3，2014年生活用品消费占0.15，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年生活用品消费额是2014年的四倍，故D项错误. 【点睛】读懂折线图中所对应的数据，注意总量的变化，属于简单题 【变式4】某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试后，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 则下列说法错误的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班学生的数学成绩优秀人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为 D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数少于（2）班人数 【答案】C 【分析】根据题意结合统计知识逐项分析判断. 【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确； 选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每班学生的数学成绩优秀人数多少，故B正确； 对于C：全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比， 由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C不正确； 对于D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为，，（1）班、（2）班人数分别为， 则，得， 又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为， 所以，即，可得，则，故D正确． 故选：C. 题型二 频率分布直方图的应用 答｜题｜模｜板 （1）利用频率分布直方图求频率、频数；频率=纵轴值×组距；频数=频率 ×总数 （2）利用频率分布直方图估计总体． 易｜错｜点｜拨 频率分布直方图的纵坐标是频率/组距，而不是频率． 【典例1】(25-26高三上·四川成都石室中学·模拟)某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中数据求出成绩在的频率，再用频率乘以总人数1000求得结果． 【详解】根据题意，成绩在区间的频率为， 则估计成绩在区间的人数为：人， 故选：C. 【变式1】某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 【答案】A 【分析】先根据频率分布直方图计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】由图表可知今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：A 【变式2】(25-26高二上·湖南长沙名校联考联合体·)工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在内，将其分成，， ，，，共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有名员工，则估计得分少于分的人数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的性质得到分数小于的频率，进而得到人数. 【详解】由频率分布直方图，，解得. 因为得分小于的频率为，故估计得分少于分的人数为. 故选：C. 【变式3】(24-25高二下·陕西西安中学·期末)某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（   ） A．270 B．240 C．180 D．150 【答案】B 【分析】根据频率之和为1得到方程，求出，进而求出数学成绩大于等于60分的人数. 【详解】，解得， 故数学成绩大于等于60分的人数为. 故选：B. 【变式4】(24-25高二上·云南曲靖富源县胜境中学·月考)某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【答案】D 【分析】计算超过3小时的频率可判断A；利用直方图求出超过2小时的概率可判断B；求出众数可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D. 【详解】对于A，超过3小时的概率估计为：，A正确； 对于B，超过2小时的概率估计为：，所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，B正确； 对于C，由图知众数约为（小时），C正确； 对于D，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：，所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D错误. 故选：D. 题型三 百分位数求解 答｜题｜模｜板 计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 【典例1】(25-26高三上·江苏南通如皋·调研)一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据数据个数确定中位数和70百分位数的位置，再结合他们之间的关系求解的值. 【详解】该组数中位数为，70百分位数为，所以，故. 故选：A. 【变式1】(25-26高三上·广东江门·二模)2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用百分位数的求法求数据的分位数. 【详解】由题设，而数据从小到大为， 所以该组数的分位数为其中第5个数据，即. 故选：B 【变式2】(25-26高三上·山西三重教育·月考)一个数学小组的数学成绩为89，99，91，92，93，94，95，96，则这组数据的下四分位数为（    ） A．90 B． C．94.5 D．94 【答案】B 【分析】由样本数据下四分位数的定义以及求解步骤直接求解即可得出答案． 【详解】将这组数据从小到大排列为：89，91，92，93，94，95，96，99， 下四分位数即为第25百分位数，， 所以第25百分位数为第2和第3个数据的平均数，即为． 故选：B． 【变式3】(25-26高二上·四川达州部分学校·)临近高考，小强同学把高三6次大考的数学成绩整理如下：122，96，108，130，126，117，则这组数据的第80百分位数是（　　） A．130 B．128 C．126 D．124 【答案】C 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】这组数据从小到大排列为：96，108，117，122，126，130， ，故这组数据的第80百分位数是126. 故选：C. 【变式4】(25-26高二上·湖南湘潭县第一中学·期中)给定一组数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53，则该组数据的分位数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用第分位数的定义直接求解. 【详解】由，得数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53的第分位数为. 故选：B 题型四 样本的数字特征（平均数、中位数、众数、方差等） 答｜题｜模｜板 （1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小． （2）方差的简化计算公式：或写成，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 【典例1】(25-26高三上·山西部分学校（太原第二十七中学校等）·月考)已知的平均数为，方差为2，则的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的计算公式计算. 【详解】由已知，， 所以，， 故选：B. 【变式1】(23-24高一下·河南创新发展联盟·月考)已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（    ） A．12 B．10 C．2 D．11 【答案】B 【分析】依题意总平均数等于总数据和除以总数据的个数，直接解出即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故选：B. 【变式2】(24-25高三下·云南昆明云南师范大学附属中学·月考)某公司对其新推出的服务系统进行用户满意测评，收集了100位用户的评分数据，整理得如图所示的频率分布直方图.这组数据的平均数和中位数的大小关系为（    ）    A．平均数中位数 B．平均数中位数 C．平均数中位数 D．不确定 【答案】A 【分析】根据平均数和中位数在频率分布直方图中的意义进行理解判定. 【详解】平均数对样本中的极端值更加敏感，对于一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图在左边“拖尾”，平均数总是在“长尾巴”那边，则平均数小于中位数， 故选：A. 【变式3】样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（    ） A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5 【答案】B 【分析】根据众数、中位数的概念求解. 【详解】由小到大排列：1，2，4，5，6，6，8，15， 所以中位数为，众数为， 故选：B 【变式4】在一组样本数据中，正整数，，，出现的频率分别为，，，，且，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由条件证明，根据方差公式求方差，再求其最大值，根据方差与标准差关系确定结论. 【详解】样本数据的平均数， 结合选项可知，且， 所以， 样本数据的方差 ． 因为，，则， 所以，所以，故， 所以最大时，方差最大，即标准差最大，故B正确． 故选：B. 题型五 随机试件的关系与运算 答｜题｜模｜板 （1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生． （2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件． 【典例1】(25-26高二上·广东江门新会区第一中学·期中)已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 【变式1】(24-25高一下·江苏淮安·期末)已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 【变式2】(21-22高一下·广西贺州·期末)已知随机事件A和B互斥，且，，则P（）＝（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】先求出，再求. 【详解】因为随机事件A和B互斥，且，， 所以. 所以 故选：D 【变式3】投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C． 考点：相互独立事件概率的计算． 【变式4】学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解. 【详解】设在这周能进行决赛为事件，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件，，，则， 又事件，，两两互斥， 则有， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题. 题型六 利用古典概型求概率 答｜题｜模｜板 求解古典概型的交汇问题的步骤 （1）将题目条件中的相关知识转化为事件； （2）判断事件是否为古典概型； （3）选用合适的方法确定样本点个数； （4）代入古典概型的概率公式求解． 【典例1】(25-26高二上·山东聊城·期中)有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率计算公式，通过列举法，写出所有可能的情况，求出结果即可. 【详解】设3双不同颜色的手套分别为，其中左手为，右手为， 则随机取出两个由15种不同的情况，分别为， 符合条件的有6种情况，分别为， 则取出的2只手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为； 故选：C. 【变式1】(25-26高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 【变式2】(25-26高二上·湖北黄冈部分高中·期中)若，则函数有零点的概率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率计算公式即可. 【详解】记为样本点，则总体样本空间，共有25个样本点， ①当时，，函数有零点，则， 所以满足函数有零点的样本点有共4个； ②当时，若函数有零点，则，即， 所以满足函数有零点的样本点有，共7个， 记“函数有零点的概率”为事件A， 则， 故选：D 【变式3】(25-26高三上·广东佛山中黄星瑜港澳子弟学校·月考)某袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球．求所抽出的两个球的颜色不同的概率．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型公式计算即可. 【详解】袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球所有基本事件个数为：， 设事件为“所抽出的两个球的颜色不同”，则事件为“所抽出的两个球的颜色相同”， 所以事件包含的基本事件个数为，则事件为“所抽出的两个球的颜色不同”包含的基本事件个数为， 所以; 故选：D 【变式4】《易经》记载了一种占卜方法叫做“筮法”．用50根蓍草进行占卜，先抽去一根蓍草，横放其上，象征“太极”．然后把剩下49根蓍草随意分为两堆，象征“两仪”；接着从右堆中取出一根蓍草放在中间，再将左右两堆中余下的蓍草4根一数，直到最后各剩下不超过4根（含4根）为止，取出两堆剩下的蓍草也放入中间，再将两堆余下蓍草合在一起，记作“一变”．在“一变”中最后放在中间的蓍草总数有：5，9两种可能．其中“5”的概率是多少（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用古典概型概率公式和对立事件的概率公式，分别求出试验的基本事件总数和所求事件的对立事件含有的基本事件数代入计算即得. 【详解】不妨用表示剩下49根蓍草去掉1根后，随意分成的两堆中左右堆的蓍草根数， 依题，分堆方法有共49种， 而最后放在中间的蓍草总数为“9”的情况有：共11种， 故最后放在中间的蓍草总数为“5”的情况有种， 故“5”的概率是. 故选：C. 题型七 相互独立事件的判断 答｜题｜模｜板 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． 【典例1】(25-26高一上·河南南阳第一中学校·月考)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 【变式1】(25-26高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立 C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图，由不可能同时发生可判断A； 求得的值，可判断C，D； 利用可判断B. 【详解】    由树状图可知， ，故C正确，D错误. 对于A：由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故是互斥的，故A错误； 对于B：，故事件B与事件不相互独立，故B错误； 故选：C. 【变式2】(25-26高二上·湖北武汉新洲区问津教育联合体·月考)抛掷一枚骰子两次.设事件为“第一次向上的点数是2”，事件为“第二次向上的点数是奇数”，事件为“两次向上的点数之和能被5整除”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互为对立事件 B． C． D．事件与事件相互独立 【答案】C 【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求得判断B；应用列举法求得判断C；根据独立事件的定义计算判断D, 【详解】对于A，由事件定义，当第一次出现2点，第二次出现1点，则事件与事件同时发生，故不互为对立事件，故A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 对于B， 事件的发生的样本点为，共3种， 所以，故B错误； 对于C， “第二次向上的点数是偶数”，且“第一次向上的点数是2”， 包含的基本事件为共3种，所以，故C正确． 对于D，事件包含的样本点有， 共18种，所以， 事件包含的样本点有共7种， 所以，， 所以，故D错误. 故选：C． 【变式3】(25-26高二上·四川成都树德中学·)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C对立 D．B与C互斥 【答案】B 【分析】先罗列所有可能结果，由古典概型依次计算、、，结合独立事件定义、对立和互斥事件定义即可逐项判断各选项. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有，， ，， ，，共36个不同结果， 对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误； 对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则， 事件AC，即包含3个结果，则， 则有，事件A、C相互独立，B正确. 对于C，事件A、C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误； 对于D，事件C、B可以同时发生，不互斥，D错误； 故选：B 【变式5】(24-25高一下·湖南永州·期末)一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断AC；利用事件独立性的定义即可判断B；列出事件的样本空间即可判断D. 【详解】设2个红球为，4个绿球为，所以 ，， ，，， 由，所以A与B不互斥，故A错误； ， 因为，所以A与C不独立，故B错误； 由，所以C与D互为对立事件，故C正确； 显然，故D错误. 故选：C. 题型八 相互独立事件概率的计算 答｜题｜模｜板 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【典例1】(25-26高二上·广东佛山顺德区实验中学、勒流中学等镇街学校·)运动员甲、乙进行射击训练，若甲、乙中靶的概率分别为，，则两人都脱靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相互独立事件概率的运算法则计算求解． 【详解】甲、乙两人射击是相互独立事件，甲、乙中靶的概率分别为，， 甲、乙脱靶的概率为，， 甲、乙都脱靶的概率，故C正确． 故选：C． 【变式1】(25-26高二上·江苏南京·期中)甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（　　） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】设甲乙译出密码的事件，利用独立事件和互斥事件求解即可. 【详解】设甲译出密码为事件，则，甲没有译出密码为事件，， 设乙译出密码为事件，则，乙没有译出密码为事件，， 设密码被破译为事件，则密码未被破译为事件，， ，，， . 故选：C. 【变式2】(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 【变式3】(25-26高二上·广东广州广东实验中学·期中)甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分解互斥情况，再利用独立事件的乘法公式计算每种情况的概率，最后计算求和； （2）利用对立事件概率公式结合已知条件列方程求解． 【详解】（1）甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，甲、乙互不影响， “甲、乙恰有一人中靶”包括两种情况：①甲中乙不中，；②乙中甲不中，， “甲、乙恰有一人中靶”的概率为． （2）“甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶”的对立事件为“甲、乙、丙三个人均未中靶”，设“甲、乙、丙三个人均未中靶”的概率为， 则， 甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为， ，即，化简得，解得． 【变式4】(25-26高二上·湖北重点高中智学联盟·月考)象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率. 【答案】(1)，众数：85，  中位数：80 (2) 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为0计算出，再由频率最高的区间中点值得众数，由频率累积到对应的值得中位数； （2）乙最终获胜，比分可能是，，设乙获胜为事件A，获胜为事件， 它们是互斥事件，分别计算出概率后相加可得． 【详解】（1）由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为，可得， 众数：最高矩形对应区间为，中点即为众数：85 中位数：因为，由频率分布直方图知中位数为80. （2）因为乙最终获胜，比分可能是，， 设乙获胜为事件A，获胜为事件， 若乙获胜，则概率为， 若乙获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则乙最终获胜的概率为． 题型九 总体的离散与集中程度的估计 答｜题｜模｜板 频率分布直方图的数字特征 （1）众数：最高矩形的底边中点的横坐标． （2）中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． （4）标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小． 【典例1】(23-24高一下·青海海南藏族第一民族高级中学·期末)某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）： 甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85 (1)试分别计算两组数据的极差和方差； (2)试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？ 【答案】(1)甲组数据的极差为30（分），方差为104；乙组数据的极差为30（分），方差为75.25 (2)乙组的成绩较稳定． 【分析】（1）根据公式直接求极差、平均数、方差即可； （2）根据（1）的结果可得答案． 【详解】（1）甲组最高分为95分，最低分为65分，极差为， 平均数为， 方差为 ， 乙组最高分为95分，最低分为65分，极差为， 平均数为， 方差为 ； （2）由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定． 【变式1】(23-24高三上·四川部分名校·期末)某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 时间/s 12 12.4 12 12.5 12 11.8 12.2 11.5 11.6 12 (1)计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差； (2)经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由． 【答案】(1)平均数为12，方差为0.09； (2)选乙，理由见解析. 【分析】（1）由平均数和方差的公式求解即可； （2）由平均数和方差的意义比较甲、乙的平均数和方差即可得出答案. 【详解】（1）甲这10次百米短跑的时间的平均数为， 方差为 ． （2）因为百米短跑的时间越短，成绩越好， 所以从数据的平均水平看，甲与乙的成绩更好． 因为方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看， 甲的成绩波动最大，乙和丙的波动水平相当，所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛． 【变式2】(22-23高一下·山西孝义·月考)某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位） 55 50 50 60 70 80 80 80 85 90 （单位） 45 60 60 80 75 55 80 80 70 95 (1)求，，，； (2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由. 【答案】(1)，，， (2)选择品种，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和方差公式可得. （2）根据方差的意义可得. 【详解】（1）， ， ， . （2）由可得，两个品种平均产量相等， 又，则品种产量较稳定，故选择品种. 【变式3】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40）第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人. (1)求x; (2)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）; (3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1~5组，从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为，职业组中1~5组的成绩分别为. ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差; ②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度. 【答案】(1)120 (2)32 (3)①平均数94；方差6.8；②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好. 【分析】（1）根据频率分布直方图求出第一组的频率，再由频数与频率的关系列方程求解. （2）设中位数为，根据中位数的定义列方程求解即可. （3）①求出平均数，再根据方差的定义求方差；②比较平均数与方差即可得出结论. 【详解】（1）根据题中频率分布直方图得第一组的频率为， 所以， 所以； （2）设中位数为， 则， 所以， ∴抽取的人的年龄的中位数为. （3）①5个年龄组的平均数为， 方差为， 5个职业组的平均数为， 方差为. ②评价:从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好. 【变式4】为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案， 甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元； 乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元． （Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格： 日均派送单数 50 54 56 58 60 频数（天） 2 3 2 2 1 回答下列问题： ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差； ②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369） 【答案】（Ⅰ）甲方案：乙方案：（Ⅱ）答案见解析 【分析】（Ⅰ）根据题设条件得出甲方案，分类讨论的取值，得出乙方案； （Ⅱ）①根据（Ⅰ）中得到的结果，结合平均数和方差的计算公式计算即可； ②根据平均数和方差的意义判断即可. 【详解】（Ⅰ）由题意可知，甲方案日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为 对于乙方案，当，时， 当，时， 即甲方案日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为 （Ⅱ）①甲方案日薪X的平均数为 方差 乙方案日薪X的平均数为 方差 ②答案一：由①可知，则选择乙方案比较合适； 答案二：由①可知，虽然，但二者相差不大，且大于，即甲方案日工资收入波动相对较小，则选择甲方案. 【点睛】本题主要考查了平均数和方差在实际问题中的应用，属于中档题. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 【答案】C 【分析】根据扇形统计图及各人数的百分比进行计算即可. 【详解】不妨设2023年的高考人数为a，则2024年的高考人数为. 由图可知2023年本科达线人数为，2024年本科达线人数为， 故2024年与2023年的本科达线人数比为9：5，故A不正确； 本科达线人数增加了，故C正确； 2023年专科达线人数为，2024年专科达线人数为， 所以2024年与2023年的专科达线人数比为9：7，故B错误； 2023年不上线人数为，2024年不上线人数也是，不上线的人数无变化，故D错误. 故选：C. 2．(25-26高二上·上海南汇中学·)已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 3．(25-26高三上·重庆（康德卷）·模拟)某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层平均数求出总体平均数，然后根据分层方差和总体方差的关系求解可得. 【详解】记男生平均给分为，方差为，女生平均给分为，方差为， 则， 所以总体平均数， 所以总体方差为. 故选：D 4．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况， 其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况， 在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况， 所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选：D 5．(25-26高二上·上海松江二中·期中)事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义、性质，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由是独立事件，得，A正确； 对于B，由是独立事件，得相互独立，则，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， 由是独立事件，得也是相互独立事件， 则，D正确， 故选：C 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（   ） A．160 B．190 C．220 D．250 【答案】A 【分析】根据分层抽样结合样本数量计算求解. 【详解】根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量． 故选：A． 2．(24-25高一下·江苏东海高级中学·)某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】由图计算出这批用户问卷的得分不低于80分的频率即可求相应的人数. 【详解】由图可得这批用户问卷的得分不低于80分的频率为， 故这批用户问卷的得分不低于80分的份数为：， 故选：B 3．(25-26高二上·山东淄博六校·期中)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用互斥和对立的定义逐个选项分析求解即可. 【详解】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况， 设（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）. 设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件， 则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色）， 则，，和是互斥不对立事件，故①正确； ②设2张卡片恰有1 张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， 则，，和是互斥不对立事件，故②正确； ③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， （蓝色，蓝色），则，， 得到和是不互斥不对立事件，故③不正确； ④设2 张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，， 得到和是对立事件，故④不正确. 故选：B. 4．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)若存在实数、，使得函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的对称性可知“美好函数”应该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区间长度超过4，然后根据所给函数的解析式判断奇偶性，最后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】圆，即，其圆心为， 因为函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分， 所以函数的图象关于中心对称， 所以“美好函数”应该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区间长度超过4. 中心对称函数，其图象关于原点对称且含对称中心的连续区间长度超过4, 都是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，都是非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，不符合题意. 所以，从6个函数的表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为. 故选：A. 5．(23-24高二上·广东广州华南师范大学附属中学南海实验高中·期中)下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【答案】D 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【详解】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动， 并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05， 则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误； 对于B，100次并不是无穷多次， 只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误； 对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误； 对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确. 故选：D. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【答案】B 【分析】利用分层抽样的均值公式求解即可. 【详解】由题意得可供参考的总人数为人， 故三所学校学生数学成绩的总平均数约为， 故选：B 2．(25-26高二上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·期中)某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的， 而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误. 故选：B. 3．(25-26高二上·内蒙古乌兰察布部分中学·期中)以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩（单位：分）：，.这10人成绩的第百分位数是84，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】B 【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案. 【详解】因为10人成绩的第百分位数是84，而，即第7位与第8位的平均值，所以84是这10人成绩的第70百分位数. 故选：B. 4．(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先计算这两项测试中都不优秀的概率，再根据对立事件的概率求解即可. 【详解】根据题意，碰撞测试不优秀的概率， 续航测试不优秀的概率， 因为两项测试结果相互独立， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中都不优秀的概率为， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为. 故选：C 5．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $