专题04 函数应用（期末复习讲义，必备知识+7大重难题型精讲+分层过关）高一数学上学期北师大版

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理函数应用的核心考点，将零点与方程根、二分法、函数综合应用等内容按“定义-性质-应用”逻辑分层，结合考情规律标注重难点及易错点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，基础通关练夯实概念，重难突破练强化分类讨论等数学思维，如“用函数模型解决实际问题”题型引导学生从情境中抽象模型，培养数学语言表达能力。每个题型配解题模板和易错点拨，助力分层提升，为教师精准教学提供支持。

专题04 函数应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的零点与方程的根 能准确理解函数零点的定义（方程的实数根、函数图像与轴交点的横坐标），能用零点存在性定理判断零点所在区间，能求解简单函数（一次、二次、指数对数复合型）的零点 高频核心考点，小题（选择 6-8 题、填空 3 题）与大题均涉及；易错点：混淆 “零点” 与 “零点个数”，零点存在性定理应用时忽略 “函数连续” 条件，求解指数对数方程零点时忽略定义域限制 利用二分法求方程的近似解 能规范完成二分法的操作步骤（确定区间→取中点→判断符号→缩小区间），能根据精度要求求出方程的近似解 基础考点，多以填空题形式考查； 易错点：混淆 “精度” 与 “区间长度” 的关系，终止二分法的条件判断错误 函数的综合应用（单调性、奇偶性、最值结合） 能综合运用函数的单调性、奇偶性、最值性质解决不等式恒成立、参数取值范围、比较大小等问题，能结合函数图像分析复杂问题 难点考点，多在选择题压轴、填空题压轴及大题第二问考查；命题趋势：与指数函数、对数函数、幂函数综合，侧重分类讨论思想、数形结合思想的应用；易错点：分类讨论时遗漏参数取值范围，恒成立问题转化为最值问题时方向错误 函数图像的应用 （交点、平移、对称） 能根据函数解析式判断图像特征，能利用图像平移、对称规律绘制复杂函数图像，能通过图像分析函数的交点个数、值域等问题 基础高频考点，小题为主； 命题趋势：常与函数性质结合考查，或与方程根的个数问题综合 用函数模型解决实际问题 能从实际情境（如增长、成本、利润）中提取变量关系，准确建立一次、二次、指数型函数等函数模型 命题趋势：结合生活热点（如经济、环境），侧重 “建模→求解→检验” 的完整流程； 易错点：求解最值时忽略函数单调性 / 定义域限制，对实际结果的合理性判断缺失 知识点01 函数的零点及其与方程根的关系 （1）函数零点定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 （2）方程的根与函数零点的关系：方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. ·示例：已知函数的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点 ； 对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ； 对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ； ； 故选：A. 知识点02 零点存在定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 解题方法： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. ·示例：函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 知识点03 用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. ·示例：用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（    ）（参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数特点及所给数据计算相关函数值，再结合零点存在定理即可获得解答.由题意可知： ， ， 又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点， 约为 故选：C. 知识点04 实际问题中的函数模型及其应用 几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数且 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，，， 对数函数模型 ，，为常数，，， 幂函数模型 ，为常数， 解函数应用问题的步骤： （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． ·示例：2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【解析】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 题型一 方程根的个数或函数零点的存在性问题 解｜题｜技｜巧 1. 将方程，问题转化为 “函数的零点个数”；或直接转化为 “图像的交点个数”。 2.针对高一常见的一次、二次函数或分段函数，重点分析三要素：① 定义域与值域：明确自变量取值范围和函数值的可能区间；② 单调性与对称性：一次函数看斜率，二次函数看对称轴与开口方向；③ 特殊点：计算顶点、与坐标轴交点，勾勒大致图像。 3.根据零点个数要求（如唯一零点、两个不等零点等），结合图像列条件求解。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制、分段函数未验证分段点、混淆 “零点存在” 与 “唯一零点”：零点存在定理（两端点函数值异号）仅能说明有零点，不能证明唯一，需结合单调性补充判断。 【典例1】(24-25高一下·四川泸州·期末)若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将问题转换为在上有解，故只需求函数在上的值域即可. 【详解】， 由题意关于的方程在上有解， 令，因为在单调递增， 所以在单调递增， 又因为在单调递增，所以在单调递增， 而，当时，， 所以，故的取值范围为. 故选：A. 【变式1】(24-25高一上·湖北“新高考联考协作体”·期末)若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合二次函数单调性和零点存在性定理得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，不满足题意； 当时，是对称轴为的抛物线， 所以函数在区间内为单调函数， 要使得函数在区间内恰有一个零点，需满足， 即，解得或 故选：C 【变式2】(24-25高一上·湖南衡阳祁东县·期末)已知函数恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数恰有个零点，等价于与的图像有四个交点，根据奇偶性以及单调性和最值，作出的草图，即可求得结果. 【详解】对于函数，显然为偶函数， 不妨令，则， 且当时，， 当时，， 且函数在上是递增的， 所以可作草图如下，    因为恰有个零点， 所以方程有四个不同的解， 即与的图像有四个交点， 所以或. 故选：B 【变式3】(24-25高一上·海南部分学校·)“或”是“函数只有一个零点”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别判断充分性和必要性，结合二次函数与零点的关系，即可判断. 【详解】当时，函数只有一个零点； 当时，函数只有一个零点1，充分性成立. 若函数只有一个零点，则或， 即或，必要性成立. 综上，“或”是“函数只有一个零点”的充要条件. 故选：A. 【变式4】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 题型二 分段函数的零点问题 答｜题｜模｜板 1.分段拆解，明确各段研究对象：将分段函数按定义域拆分，把“函数零点”转化为“各段方程的解”。关键是标注每段定义域边界，避免解跨区间失效。 2.分类讨论，求解各段方程根：针对每段初等函数，用对应方法求根。判断根是否落在对应定义域内，剔除区间外的无效根，统计各段有效零点个数。 3.整合零点，建立参数约束条件：根据题目总零点个数要求（如“有1个零点”“有2个零点”），整合各段有效零点数的组合情况，列不等式或等式。例如：两段函数零点数分别为0和1、1和0，总零点数为1。解参数不等式（组），验证参数边界值是否满足零点条件，确定最终范围。 易｜错｜点｜拨 遗漏分段点验证、忽略定义域限制、漏讨论参数特殊情况、整合零点时重复计数：分段点同时满足两段表达式零点条件时，重复统计，需判定分段点零点的唯一性。 【典例1】已知函数．若有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为函数与函数的图象有2个交点，作出图象即可求解． 【详解】 令可得， 作出函数与函数的图象如下图所示： 当时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点． 因此，实数的取值范围是． 故选：C. 【变式1】(24-25高一上·广东江门·期末)已知函数 若方程有个实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别对，和三种情况进行讨论，即可得到的取值范围. 【详解】①若，则对有， 对有. 所以方程不可能有个实数解，不满足条件； ②若，则对，由且可知，从而有， 同时对有，对有. 所以方程不可能有个实数解，不满足条件； ③若，则方程有个实数解，，，满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：D. 【变式2】(24-25高一上·江西南昌·调研)已知，若有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，把问题转化为方程在上有两个不等根求解. 【详解】当时，由，得，而函数在上单调递增， 又有三个零点，因此方程在上有两个不等根， 于是，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 【变式3】(24-25高一上·浙江四校·)已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先画出函数的图象，根据图象得到，，即可得到答案. 【详解】的图象如下图所示： ， 设，由图知：，即，得. 所以. 函数单调递减，与轴交于点， 由图知：. 故选：B 【变式4】已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：将问题转化为函数与的图象有2个交点，进而结合图象求解即可； 解法二：设，将问题转化为直线与函数的图象有2个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】解法一：由，即， 函数存在2个零点等价于函数与的图象有2个交点，作出图象如图1， 当直线同时过点和时，， 此时直线与的图象有2个交点， 结合图象可知，解得． 解法二：由，即，设， 则， 因为函数都为增函数， 所以在上都单调递增， 画出函数和的大致图像，如图2所示， 可知当直线过点时，，此时直线与函数的图象有2个交点， 结合图像可知，解得． 故选：C. 题型三 唯一零点求值问题 答｜题｜模｜板 1.将“函数有唯一零点”等价转化为“方程有唯一解”。先明确定义域，排除使函数无意义的自变量取值，避免后续分析出现无效解，奠定解题基础。 2.按函数类型分类讨论：本身有且仅有一个解，需结合定义域验证解是否有效。 3.结合第二步的解的特征列参数条件：解不等式（组）后，验证参数边界值是否满足“唯一零点”要求，最终确定参数取值范围。 易｜错｜点｜拨 忽视函数类型判断、遗漏定义域验证、二次函数漏判。 【典例1】(24-25高二下·贵州遵义·)已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递增， 由函数在内有唯一零点，得，解得， 所以实数b的取值范围是. 故选：D 【变式1】已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，从而得函数具有对称性，再由函数的对称性得到唯一零点的值，从而建立方程解出参数的值. 【详解】因为， 所以 所以，故函数关于直线对称， 故由函数存在唯一零点得零点只在处取得即， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于分析出函数的对称性，通过对称函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点. 【变式2】若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值. 【详解】由 ， 得，即函数的图象关于对称， 要使函数有唯一的零点， 则，即，得． 故选：A． 【变式3】(22-23高一上·辽宁鞍山·期末)已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据函数解析式可判断其定义域及单调性，利用零点存在性定理即可求得结果. 【详解】函数的定义域为，且在上是减函数； 易得，， ∴， 根据零点存在性定理及其单调性，可得函数的唯一零点所在区间为， ∴． 故选：C． 【变式4】(20-21高一下·河南洛阳·期末)存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质确定唯一零点，然后由二次方程判别式得结论． 【详解】令（）是增函数，，由对勾函数性质在上递减，在上递增， 所以时，，此时，因此有唯一零点，则零点为， ，时，有解，时，则，且． 综上． 故选：A． 题型四 二分法求近似解 答｜题｜模｜板 1.先明确函数的定义域，结合函数单调性、特殊点函数值，找到满足的区间（确保区间内有零点），同时记录题目要求的近似精确度。若即为精确零点，无需后续二分。 2.计算区间中点：① 若为精确零点，结束计算；② 若，则零点在；③ 若。重复二分操作，直至区间长度。 3.当区间时，区间内任意一点均可作为近似解，通常取区间端点（按题目要求取舍）。需注意根据精确度保留对应小数位数，避免位数不足或冗余，确保近似解符合题目标准。 易｜错｜点｜拨 初始区间选择不当、混淆“区间长度”与“精确度”、小数位数保留错误、计算中点或函数值失误：二分中点计算错误，或代入函数求时运算出错，导致后续区间缩小方向错误，最终得到错误近似解。 【典例1】(25-26高一上·山东济南第一中学·期中)已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 【变式1】(25-26高一上·陕西榆林横山中学·月考)用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二分法的特征计算即可. 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 【变式2】(25-26高一上·上海青浦区第一中学·月考)若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 【变式3】(25-26高一上·山东威海第二中学·期中)用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法探讨函数零点的方法求出即可判断得解. 【详解】依题意，， 所以下一步应考察的区间为. 故选：C 【变式4】(24-25高一上·湖南岳阳·期末)下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 题型五 实际问题中的函数模型及运用 答｜题｜模｜板 1.明确自变量（如时间、数量）和因变量（如成本、利润），分析两者的数量关系。根据题意选择合适的函数模型，设出变量，列出函数解析式，同时标注变量的实际取值范围（定义域）。 2.根据问题需求求解函数：① 求函数值（如已知数量求成本）：直接代入自变量取值计算；② 求自变量值（如已知利润求销量）：解对应方程；③ 求最值（如最大利润、最低成本）。 3.将数学结果代入实际情境验证：检查结果是否符合变量的实际取值范围（如数量不能为负、时间为正），是否满足题目隐含条件（如销量为整数）。若结果不合理，需回头检查建模或求解过程，修正后得出最终的实际问题答案。 易｜错｜点｜拨 函数模型选择错误、遗漏变量实际定义域：仅关注函数解析式，忽略自变量的实际限制（如人数为正整数、产量不超过产能），导致结果不合理。 【典例1】如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】设该生物原来的数量为，由题意知，，进而根据指数函数的性质及对数的运算性质求解即可. 【详解】设该生物原来的数量为， 由题意知，，则， 所以， 因为，所以的最小值为12． 故选：D． 【变式1】(25-26高一上·宁夏银川第二中学·月考)2025年8月27日，我国新疆、西藏等地发生多次3.1至4.7级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级与地震释放能量的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法错误的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D． 【答案】D 【分析】根据6级地震释放的能量为求出里式震级R与地震释放能量E的关系，然后结合指数运算和指数函数性质逐一判断即可. 【详解】由6级地震释放的能量为，所以， 解得，D错误； 所以， 根据指数函数的性质，R越大，则E就越大，A正确； 当时，，因为， 所以地震释放的能量为时该地震超过了3级，所以有震感，所以B正确； 记6级地震和8级地震释放的能量分别为， ，， 所以，所以，C正确. 故选：D. 【变式2】(25-26高一上·北京中国人民大学附属中学·)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（   ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，得到，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒， 由题意得， 两边同时取对数，得，即， 即， 所以秒. 故选：C. 【变式3】(25-26高一上·宁夏灵武第一中学·期中)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．110 B．112 C．114 D．116 【答案】D 【分析】根据题目函数关系结合基本不等式求解最值即可得答案. 【详解】由题知 ， 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：D. 【变式4】(25-26高一上·四川成都石室中学·期中)Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则,由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 故选：C. 题型六 “等高”线问题 答｜题｜模｜板 1.先分析函数单调性并根据单调性画出函数大致图像 2.讲方程的根、函数零点等转化为两个函数图像交点问题 3.根据两个函数图像交点个数问题进行求解。 易｜错｜点｜拨 分段函数需要特别注意分段点处是否能够取到 【典例1】(25-26高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，，则，可得， 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以， 因此，. 故选：A. 【变式1】(24-25高三上·河北部分校·)已知定义在正实数集上的函数，设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出分段函数的图象，然后确定的位置和范围，进而求得结果. 【详解】根据分段函数的解析式，可画出该函数的图象为： 不妨令，则，即， 化简得. 当时，单调递减，且与轴交于点， 则. 所以的取值范围为. 故选：B. 【变式2】(25-26高三上·重庆巴蜀中学校·月考)已知函数 为偶函数，且 ，若方程 有六个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，再作出函数图象，数形结合即可得到范围. 【详解】当时，；当时，, 则当时，， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式3】已知函数．若存在实数，使得在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设作出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】函数， 二次函数与图象的对称轴均为， 当时，函数在单调递增，此时不满足题意，则， 作出函数的图象，如图， 由图可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为存在实数，使得在区间上有两个不等实数根， 所以函数在区间上不单调，所以或， 从而． 故选：D． 【变式4】已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值与二次函数的图像性质画图分析即可. 【详解】由题, 因为，对称轴为， 故，在定义域内为增函数， 由图像可知，若存在实数，使得关于x的方程有三个不同的根, 则当时,的值大于的值， 因为，所以，解得，故B正确. 故选：B. 题型七 嵌套函数的零点问题 答｜题｜模｜板 1.对于嵌套函数（如），令内层函数，将问题转化为“的解的对应关系”。明确外层函数的定义域，标注换元后的取值范围（由的值域决定），避免后续求解时范围混淆。 2.先求解外层方程，得到所有符合条件的值（记为）；再逐个将代入内层等式，求解每个等式对应的值。高一重点关注一次、二次型嵌套，利用判别式、因式分解等方法求解，记录每步解的个数。 3.验证每个值是否在原嵌套函数的定义域内，同时检查对应的是否符合外层函数的定义域要求。整合所有有效值，统计零点个数（若题目有要求），最终确定嵌套函数零点的具体值或对应参数范围。 易｜错｜点｜拨 换元后忽视t的范围、求解顺序颠倒、遗漏定义域验证、二次型嵌套漏判参数：当嵌套函数含参数时，未讨论二次项系数是否为0（即是否为一次函数），直接用判别式求解，导致范围出错。 【典例1】(22-23高一上·浙江A9协作体·期中)已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可. 【详解】设，则原方程即， 的图象如图所示， 函数关于x的方程有5个不同的实数根， 则方程必有两根为，，， 且其中一个根为1，不妨设， 即与图象有3个交点，方程有2个根， 由图知，，即 . 故选：A. 【变式1】(25-26高三上·湖南衡阳衡阳县第一中学·月考)已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并进行求解即可. 【详解】作出函数的图象： 函数的零点等价于方程， 当时，此时方程化为可得， 由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故； 当时，此时方程化为可得或， 由可得方程有一个解为， 由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故； 所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足， 由于 所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根， 则满足或，解得， 综上的取值范围为， 故选：D 【变式2】(25-26高二上·贵州毕节威宁县六校·)已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得. 【详解】由，得， 所以或. 再由，图象如下：    显然与有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有四个不同的实数根，即与有四个交点， 因，再结合图象分析判断可得. 故选：D. 【变式3】已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数解析式，分析可知关于的方程、共有个不同的实数解，利用代数法可知方程有两个根，分析可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为， 由可得， 所以，关于的方程、共有个不同的实数解. ①先讨论方程的解的个数. 当时，由，可得， 当时，由，可得， 当时，由，可得， 所以，方程只有两解和； ②下面讨论方程的解的个数. 当时，由可得，可得或， 当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意， 当时，由可得， 因为，由题意可得或或， 解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4】(24-25高一下·安徽A10联盟·)已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】设，先解出，再分别求解即可. 【详解】设，则， 若，则，解得或， 则或， 当时，，不合题意， 则，或， 解得，此时方程仅一个根； 若，则，解得或，即或， 当时，或， 方程即在仅一个根， 方程，即， ，且，，两根均为负，合题意， 当时 ，，解得或，方程有两根， 综上，方程的实根个数为6. 故选：C. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一上·广西桂林阶段性联考·)若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的零点存在性定理即可求解. 【详解】令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，因此函数在上为增函数， 因此，函数在上存在零点的充要条件是且， 所以，即，解得 故选：B 2．(25-26高一上·上海大学北附属中学·)小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 3．(25-26高一上·广东佛山部分学校·月考)已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 4．(25-26高三上·北京第八中学·月考)某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数．，为常数）．若该食品在的保鲜时间是202小时，在的保鲜时间是52小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．25小时 B．26小时 C．27小时 D．28小时 【答案】C 【分析】根据已知条件，先将不同温度下的保鲜时间代入函数关系式，求出常数和的值，进而得到完整的函数表达式，再将代入函数求出此时的保鲜时间． 【详解】已知食品在的保鲜时间是202小时， 将，代入函数，即， 故，已知在的保鲜时间是52小时，故， 即，且， 所以，则， 对两边同时取自然对数，可得，即， 当时，代入函数，即，． 又，所以， 则（小时）， 故该食品在的保鲜时间是小时. 故选：C． 5．已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，．若函数至少有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的零点个数转化为两个新函数图象的交点问题，根据题意可知是周期为2的周期函数，再对对数函数进行分类讨论，根据零点个数列出不等式求解即可. 【详解】由知，是周期为2的周期函数，函数至少有6个零点等价于函数与的图象至少有6个交点． ①当时，画出函数与的部分图象如图所示．根据图象可得，即． ②当时，画出函数与的图象如图所示． 根据图象可得，即． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：A． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高一下·安徽临泉田家炳实验中学·月考)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 2．(25-26高一上·辽宁协作校联考·)某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 3．(25-26高一上·重庆渝东九校·期中)已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为与有三个或四个交点，根据对称性可知，化简得到；结合韦达定理可构造方程，利用和可确定的范围，结合二次函数值域可确定的范围. 【详解】有四个实根等价于与有三个或四个交点； 若有三个交点，则或；若有四个交点，则且； 作出大致图象如下图所示， 结合图象可知：， ，； 令，则， 由图象可知，，则，； ，， ， 若，则，整理可得：恒成立， ，，，解得：； 综上所述：； 当时，，， 即的取值范围为. 故选：D. 4．(25-26高一上·江苏淮安·调研)已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数性质并作出图象，建立目标式的函数关系，借助二次函数求出范围. 【详解】函数的图象关于直线对称， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象，得，，， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 故选：A 5．(25-26高一上·广东广州卓越教育发展联盟学校·)已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，时，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(25-26高一上·江苏淮安三校联考·期中)如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围. 【详解】由二次函数有两个不同的零点，得，即， 解得或，所以实数m的取值范围为或. 故选：C 2．(25-26高一上·北京铁路第二中学·期中)设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】分析可知在定义域内单调递增，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 又因为，，， 所以， 所以方程的根所在区间为. 故选：C. 3．(25-26高一上·广东佛山部分学校·月考)在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（    ）（参考数据：） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】由题意列出不等式，两边取对数解不等式，求出答案. 【详解】由题意得，即，两边取对数得 ，故， 故的最小值为15. 故选：B 4．(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有四个实数解分析可得方程有一个正数解，一个零解，还有两个负数解，再结合一元二次方程的根与系数关系可得结果. 【详解】因有四个实数解，所以时方程有一个实数解，时方程有三个实数解. ①当时，由，即，因方程要有一个正实数解， 所以，即，方程有一正实数解. ②当时，由，即，显然方程有一个实数解. 所以有两负实数解，设为，由根与系数关系得 ，，得. 综上①②，得. 故选：D. 5．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的零点与方程的根 能准确理解函数零点的定义（方程的实数根、函数图像与轴交点的横坐标），能用零点存在性定理判断零点所在区间，能求解简单函数（一次、二次、指数对数复合型）的零点 高频核心考点，小题（选择 6-8 题、填空 3 题）与大题均涉及；易错点：混淆 “零点” 与 “零点个数”，零点存在性定理应用时忽略 “函数连续” 条件，求解指数对数方程零点时忽略定义域限制 利用二分法求方程的近似解 能规范完成二分法的操作步骤（确定区间→取中点→判断符号→缩小区间），能根据精度要求求出方程的近似解 基础考点，多以填空题形式考查； 易错点：混淆 “精度” 与 “区间长度” 的关系，终止二分法的条件判断错误 函数的综合应用（单调性、奇偶性、最值结合） 能综合运用函数的单调性、奇偶性、最值性质解决不等式恒成立、参数取值范围、比较大小等问题，能结合函数图像分析复杂问题 难点考点，多在选择题压轴、填空题压轴及大题第二问考查；命题趋势：与指数函数、对数函数、幂函数综合，侧重分类讨论思想、数形结合思想的应用；易错点：分类讨论时遗漏参数取值范围，恒成立问题转化为最值问题时方向错误 函数图像的应用 （交点、平移、对称） 能根据函数解析式判断图像特征，能利用图像平移、对称规律绘制复杂函数图像，能通过图像分析函数的交点个数、值域等问题 基础高频考点，小题为主； 命题趋势：常与函数性质结合考查，或与方程根的个数问题综合 用函数模型解决实际问题 能从实际情境（如增长、成本、利润）中提取变量关系，准确建立一次、二次、指数型函数等函数模型 命题趋势：结合生活热点（如经济、环境），侧重 “建模→求解→检验” 的完整流程； 易错点：求解最值时忽略函数单调性 / 定义域限制，对实际结果的合理性判断缺失 知识点01 函数的零点及其与方程根的关系 （1）函数零点定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 （2）方程的根与函数零点的关系：方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. ·示例：已知函数的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点 ； 对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ； 对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ； ； 故选：A. 知识点02 零点存在定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 解题方法： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. ·示例：函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 知识点03 用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. ·示例：用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（    ）（参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数特点及所给数据计算相关函数值，再结合零点存在定理即可获得解答.由题意可知： ， ， 又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点， 约为 故选：C. 知识点04 实际问题中的函数模型及其应用 几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数且 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，，， 对数函数模型 ，，为常数，，， 幂函数模型 ，为常数， 解函数应用问题的步骤： （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． ·示例：2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【解析】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 题型一 方程根的个数或函数零点的存在性问题 解｜题｜技｜巧 1. 将方程，问题转化为 “函数的零点个数”；或直接转化为 “图像的交点个数”。 2.针对高一常见的一次、二次函数或分段函数，重点分析三要素：① 定义域与值域：明确自变量取值范围和函数值的可能区间；② 单调性与对称性：一次函数看斜率，二次函数看对称轴与开口方向；③ 特殊点：计算顶点、与坐标轴交点，勾勒大致图像。 3.根据零点个数要求（如唯一零点、两个不等零点等），结合图像列条件求解。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制、分段函数未验证分段点、混淆 “零点存在” 与 “唯一零点”：零点存在定理（两端点函数值异号）仅能说明有零点，不能证明唯一，需结合单调性补充判断。 【典例1】(24-25高一下·四川泸州·期末)若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一上·湖北“新高考联考协作体”·期末)若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·湖南衡阳祁东县·期末)已知函数恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一上·海南部分学校·)“或”是“函数只有一个零点”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 分段函数的零点问题 答｜题｜模｜板 1.分段拆解，明确各段研究对象：将分段函数按定义域拆分，把“函数零点”转化为“各段方程的解”。关键是标注每段定义域边界，避免解跨区间失效。 2.分类讨论，求解各段方程根：针对每段初等函数，用对应方法求根。判断根是否落在对应定义域内，剔除区间外的无效根，统计各段有效零点个数。 3.整合零点，建立参数约束条件：根据题目总零点个数要求（如“有1个零点”“有2个零点”），整合各段有效零点数的组合情况，列不等式或等式。例如：两段函数零点数分别为0和1、1和0，总零点数为1。解参数不等式（组），验证参数边界值是否满足零点条件，确定最终范围。 易｜错｜点｜拨 遗漏分段点验证、忽略定义域限制、漏讨论参数特殊情况、整合零点时重复计数：分段点同时满足两段表达式零点条件时，重复统计，需判定分段点零点的唯一性。 【典例1】已知函数．若有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一上·广东江门·期末)已知函数 若方程有个实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·江西南昌·调研)已知，若有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一上·浙江四校·)已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三 唯一零点求值问题 答｜题｜模｜板 1.将“函数有唯一零点”等价转化为“方程有唯一解”。先明确定义域，排除使函数无意义的自变量取值，避免后续分析出现无效解，奠定解题基础。 2.按函数类型分类讨论：本身有且仅有一个解，需结合定义域验证解是否有效。 3.结合第二步的解的特征列参数条件：解不等式（组）后，验证参数边界值是否满足“唯一零点”要求，最终确定参数取值范围。 易｜错｜点｜拨 忽视函数类型判断、遗漏定义域验证、二次函数漏判。 【典例1】(24-25高二下·贵州遵义·)已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 【变式3】(22-23高一上·辽宁鞍山·期末)已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式4】(20-21高一下·河南洛阳·期末)存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型四 二分法求近似解 答｜题｜模｜板 1.先明确函数的定义域，结合函数单调性、特殊点函数值，找到满足的区间（确保区间内有零点），同时记录题目要求的近似精确度。若即为精确零点，无需后续二分。 2.计算区间中点：① 若为精确零点，结束计算；② 若，则零点在；③ 若。重复二分操作，直至区间长度。 3.当区间时，区间内任意一点均可作为近似解，通常取区间端点（按题目要求取舍）。需注意根据精确度保留对应小数位数，避免位数不足或冗余，确保近似解符合题目标准。 易｜错｜点｜拨 初始区间选择不当、混淆“区间长度”与“精确度”、小数位数保留错误、计算中点或函数值失误：二分中点计算错误，或代入函数求时运算出错，导致后续区间缩小方向错误，最终得到错误近似解。 【典例1】(25-26高一上·山东济南第一中学·期中)已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·陕西榆林横山中学·月考)用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】(25-26高一上·上海青浦区第一中学·月考)若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【变式3】(25-26高一上·山东威海第二中学·期中)用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一上·湖南岳阳·期末)下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 题型五 实际问题中的函数模型及运用 答｜题｜模｜板 1.明确自变量（如时间、数量）和因变量（如成本、利润），分析两者的数量关系。根据题意选择合适的函数模型，设出变量，列出函数解析式，同时标注变量的实际取值范围（定义域）。 2.根据问题需求求解函数：① 求函数值（如已知数量求成本）：直接代入自变量取值计算；② 求自变量值（如已知利润求销量）：解对应方程；③ 求最值（如最大利润、最低成本）。 3.将数学结果代入实际情境验证：检查结果是否符合变量的实际取值范围（如数量不能为负、时间为正），是否满足题目隐含条件（如销量为整数）。若结果不合理，需回头检查建模或求解过程，修正后得出最终的实际问题答案。 易｜错｜点｜拨 函数模型选择错误、遗漏变量实际定义域：仅关注函数解析式，忽略自变量的实际限制（如人数为正整数、产量不超过产能），导致结果不合理。 【典例1】如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1】(25-26高一上·宁夏银川第二中学·月考)2025年8月27日，我国新疆、西藏等地发生多次3.1至4.7级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级与地震释放能量的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法错误的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D． 【变式2】(25-26高一上·北京中国人民大学附属中学·)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（   ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【变式3】(25-26高一上·宁夏灵武第一中学·期中)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．110 B．112 C．114 D．116 【变式4】(25-26高一上·四川成都石室中学·期中)Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 题型六 “等高”线问题 答｜题｜模｜板 1.先分析函数单调性并根据单调性画出函数大致图像 2.讲方程的根、函数零点等转化为两个函数图像交点问题 3.根据两个函数图像交点个数问题进行求解。 易｜错｜点｜拨 分段函数需要特别注意分段点处是否能够取到 【典例1】(25-26高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高三上·河北部分校·)已知定义在正实数集上的函数，设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高三上·重庆巴蜀中学校·月考)已知函数 为偶函数，且 ，若方程 有六个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数．若存在实数，使得在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式4】已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 嵌套函数的零点问题 答｜题｜模｜板 1.对于嵌套函数（如），令内层函数，将问题转化为“的解的对应关系”。明确外层函数的定义域，标注换元后的取值范围（由的值域决定），避免后续求解时范围混淆。 2.先求解外层方程，得到所有符合条件的值（记为）；再逐个将代入内层等式，求解每个等式对应的值。高一重点关注一次、二次型嵌套，利用判别式、因式分解等方法求解，记录每步解的个数。 3.验证每个值是否在原嵌套函数的定义域内，同时检查对应的是否符合外层函数的定义域要求。整合所有有效值，统计零点个数（若题目有要求），最终确定嵌套函数零点的具体值或对应参数范围。 易｜错｜点｜拨 换元后忽视t的范围、求解顺序颠倒、遗漏定义域验证、二次型嵌套漏判参数：当嵌套函数含参数时，未讨论二次项系数是否为0（即是否为一次函数），直接用判别式求解，导致范围出错。 【典例1】(22-23高一上·浙江A9协作体·期中)已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·湖南衡阳衡阳县第一中学·月考)已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高二上·贵州毕节威宁县六校·)已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·安徽A10联盟·)已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一上·广西桂林阶段性联考·)若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·上海大学北附属中学·)小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·广东佛山部分学校·月考)已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·北京第八中学·月考)某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数．，为常数）．若该食品在的保鲜时间是202小时，在的保鲜时间是52小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．25小时 B．26小时 C．27小时 D．28小时 5．已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，．若函数至少有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高一下·安徽临泉田家炳实验中学·月考)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·辽宁协作校联考·)某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 3．(25-26高一上·重庆渝东九校·期中)已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·江苏淮安·调研)已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·广东广州卓越教育发展联盟学校·)已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(25-26高一上·江苏淮安三校联考·期中)如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 2．(25-26高一上·北京铁路第二中学·期中)设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．(25-26高一上·广东佛山部分学校·月考)在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（    ）（参考数据：） A．14 B．15 C．16 D．17 4．(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $