上分专题05 分式型函数的最值问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

上分专题05 分式型函数的最值问题 命题密钥 在初中阶段我们巴经学习了反比例函数，将反比例函数y=(k≠0)的图象进行平移即 可得到通发妇的因象，即y 。型函数，我们称之为一次分式型函数，确定此类函数 的最值通常使用分离常数法将其化为反比例型函数，再利用我们熟知的反比例函数的性质进 行求解 除此之外，分式型函数还包括更加复杂的二次分式型函数，求最值或值域的主要方法为 在分离常数后，将其中的一次式换元并化简表达式，化为对句函数(=+>0)或双刀函 数=，>0)后，再利用二者的性质求解。 比如在2022年的全国甲卷理科卷中，在解答题的步骤中化简得到了 1+2,想要得出 这个式子的最值就需要我们熟练掌握求解分式型函数最值的方法. 考点觉醒 ·分式型函数的类型及解题方法 次分式型函数 例如=图 x+1 分式型 x+24-3 函数分类 次 例如y= x+1 次 3x 次分式型函数 次 例如= x2+1 二次 次 例如y= x2+2x-3 x2+1 cx+d 1 分离常数，化为反比例型函数 ax+b ax+bx+c 换元，令=x+b,化为对勾函数或双刀函数 ax+b 解题方法 ax+b 换元，令=ax+6,并取倒数化为对勾函数或双刀函数 ax+bx+c ax+bX+C2 分离常数，化为y= ax+h +h,再进行求解 ax+bx+c ax+bx+c 黑白题·上分秘箱 1 实战演练 题组1可化为反比例型函数的最值问题 7.…若函数/x)=+2r “(x≥0)的值域为 1.(2025·河北石家庄高一期中)函数y= x+1 3+的值域是 [a,+∞)，则实数a的取值范围是() 4-2r A.(-∞，2] B.[0,1] A.(-0,+3) C.(-0,1] D.[1,2] B.(-∞，2)U(2,+) c.(x,u(*x】 8.若+5 Vx2+4 ≥m2+号m对任意的x恒成立， .(,2u分*) 侧实数m的取值范围是 2.函数八x)F2+2x+2 马已知函数八x)+1的值域为 (x∈R)的值域是 [0,+∞)，则实数t的取值范围是 ( A.[0,1] B.[0,1) 10.#已知函数f(x)=x+二（x>0),若 C.(0,1] D.(0,1) 4 f(x) 3.m已知函数f()=x+21的定义城是 [f(x)]2+ 的最大值为？，则正实数 [a,b](a,b为整数)，值域是[0,1]，则满 a= 足条件的整数数对(a,b)的个数是() 题组3 用判别式法求二次分式型函数的最值 A.3 B.4 C.5 D.6 问题 4.。(2025·黑龙江大庆高一期中)定义： x-x-1 [x]表示不超过x的最大整数，如 11.函数f(x)= 的最大值与最小值的 x2+x+1 [-1.6]=-2,[1.8]=1,已知函数f(x)= 和是 的]e(-,-2u(0+).则两数 5 2 f(x)的值域为 .3 3 4+x 5.鞋已知函数y= x+1x∈(a,b]的最小值 C.1 D.、2 3 为2，则a的取值范围是 12.已知函数y=m+8x+n的定义域为 题组2可化为对勾型函数的最值问题 x2+1 6.(2025·河北衡水高一期中)函数 (-,+),值域为[1,9]，则m的值 x)=+的最大值为 为 ,n的值为 x2+3 ( 13.#已知a,beR,且a2+b2+ab=1,则b的 B号 C. 2 D② 4 取值范围是 12■数学1必修第-册·BS上分专题05分式型函数的最值问题 1.C解折：已知丽数y一艺的定义城为(-2八 2.(）号5 5 -2∈ （-.0u0.+).-222(,) 15 (+)故选C 2C解折：令1=42x+2=(+1)+1≥1，函数g)=在 t≥1时，单调递减，因此g(t)m=g(1)=1,当≥1时g()= ↓>0.所以x)=2 +2x+2xeR)的值域是(0,1]，故选C 1 3.C解析：帆x)=x+210,得1+2=4，解得x=2或x 4 -2由航x)=x+211.得1+2=2，解得=0易知在0 4 4 时代x)=中21为减函数，此时函数)的图象是由)= 的图象平移得到的.又由函数(x)为偶函数，可作出函数 八x)的图象（图略）.f八x)的定义域是[a,b](u,b为整数)，值 域是[0,1]，根据图象可知满足条件的整数数对有(-2,0)， (-2.1),(-2,2),(0,2),(-1,2),共5个.故选C. 41,2解折：南)=2+]当e(-x,-2时，2 7e(1,2),则x)=1:当xe(0,+云)时，24 1 +7e(2,3), 则f几x)=2所以函数f八x)的值域为1L,2{.故答案为1,2引. 5-1,2)解折：由函数)导1 中若y=2,则 x=2,即当x=2时，函数有最小值2.作出图象，由图象可得要 取得最小值2，a≥-1.·在区间(a.b]上单调递减.当x=b 时，取得最小值为2.即1，可得6=2a的取值范调为 [-1,2).故答案为[-1,2) 6.C解析：由八)=33令1x1+1=,则1x1= (:≥1)，所以y= 1 (1-1)2+3=2-21+41 1-2+ 4 ?,当且仅当1=4，即1=2时取等号，所以附 2/-2 数-1的最大值为故选C x2+3 必修第一册·BS 四重难点拨 求解分式型密数时，观察式子本身，如果分子、分母的最高次 数是一致的，那么先分离常数：如果分子、分母的最高次数不 一致，那么对低次项进行整体换元，注意新元的范围 7.A解折x=+2n.+ta-.(+1)+ x+1 x+1 x+1 当a-1≤0，即a≤1时，八x)在[0，+∞)上单调递增，所以 f到=0=a:当a>1时，由到=(4)+号≥ 2a-I,当且仅当x+1=a-1,即x=√a-I-1时取等号. 因为x)在（√a-1-1,+)上单调递增，f(0)=a,所以若 f代x)的值域为[a,+s),则有√a-可-1≤0，即a≤2，则1< a≤2.综上，a≤2，所以实数a的取值范围为(-0,2].故选A 8【5,】解折：因为51+ +4 +4 1 √R+4 令1：V4≥2》.80)=1+，由对匀函数的性 质可知g)在红2，)上单调适增，所以g0)≥g2)=三 所以5 2=F+4+1 2，当且仅当x=0时取等 5 +4 +4 号.因为+ √x+ ≥m+9 m对任意的x恒成立，所以m2+ 9 2m≤)即2m2+9m-5≤0，解得-5≤m≤1 2,所以me [s] 解折：冷mf≥0，测由题知y宁1=ar 仁1的值域包含[0，+).①当1≤0时，因为y=m+-1 在0，)上单润适猫，且y子一1的值城为民，所以满 足条件，2当0时，分1≥2F·子-1=2-1，当 且仅当11=时取等号，故2-1≤0，解得0c1≤子综上. 1子放答案为(] 10.1解析：令1=x+ (o0),则1≥2.则 fx)]'ta Pta 1,令y14（a>0,1≥2)，当0<a≤4时，y=+2在 1+ [2,+0)上单调递增y=14:≥24 +2,则01≤2 aa+4 1+ 即的最大值为子则后号解得a=1当o> [fx)]2+a 4时，t+“≥2a(当且仅当t=a时等号成立)，则0< 1 c票甲的最大镇为受则受号部得 [fx)]2+a 黑白题096 a总合)，棕上所求正实数a1,故答案为1 11.B解析：设y=-则有(y-1)x+(+1)+y+1=0.当 x°+x+1 y=1时，x=-1:当y≠1时，因为xeR,所以△=(y+1)2- 4(1)(+1)=(y*1)(-3y+5)≥0，解得-1≤y≤ ).所以y的最大值为？，最小值为-1，所以最大值与最小 值的和为子故选B 255解析：由m8"得（和）2-r+-M=0,由 x∈R,若ym≠0，则4=(-8)2-4(y-m)(-n)≥0，即y2 (m+n)y+mn-16≤0，由1≤y≤9知，关于y的一元二次方 程y2-(m+n)y+mn-16=0的两根为1和9，故有 机9.解得当ym=0时，m三n5也符 (mn-16=1×9, 题意，所以m=n=5故答案为5：5. 13.「23231 3,3J 解析：因为a2+b2+ab=1.所以a2+ab+b2- 1=0.又因为a,b∈R.所以4=62-4(b2-1)≥0，解得 32 23 3 上分专题06分段函数的性质及其应用 1,ABD解析：对于A,由题意知，函数fx)的定义域为{x|x≠ 0:,故A正确：对于B,当x>0时，y=x-2>-2,当x<0时，y= x+2<2,所以函数f(x)的值域为R,故B正确：对于C,函数 f八x)在(-∞，0)和(0，+)上单调递增，不是增函数，故C错 误：对于D,如图，函数八x)的图象关于坐标原点对称，故 D正确.故选ABD, 1 2A解析：令-=了+写解得-1或=子商出函数 图象如图所示，M(x)=max|f(x),g(x)川= x2-1,x<-1, 11 4 3+3,-1≤x≤3'由函数图象可知，M(x)的最小值为 4 -1,3 0.故选A 参考答案 e=30 3.C解析：由题意可得a>4,故 6a.故tc 4.C解析：当x<0时，由f(x)≤2，可得x2+x≤2，(x+2)(x- 1)≤0，解得-2≤x≤1，则-2≤x<0:当x≥0时，由f八x)≤2， 可得-x2≤2，解得xeR,则x≥0.综上所述，由f八g(a))≤2， 解得g(a)≥-2，当x>0时，由g(x)≥-2，可得-x2-x+ 4≥-2，(x+3)(x-2)≤0，解得-3≤x≤2.则0<x≤2：当x=0 时，由g(x)≥-2，可得0≥-2，显然成立，则x=0:当x<0时， 由g(x)≥-2，可得x2-x-4≥-2.(x-2)(x+1)≥0，解得 x≤-1或x≥2，则x≤-1.综上所述，g(a)≥-2，解得ae (-,-1]U[0,21故选C 1,x≤0，当2 5[5】解折：去枪对值符号)-100 3a+1≤0时，不等式恒成立解不等式得3，≤a≤3，：当 ≤a≤ 2 -3+1>0时，需心-3a+1≤a-2,解不等式得3<a≤3， 所以山的取值范周是[5.3] 6.解：(1)因为f(-1)=-1,所以-k+1=-1,解得k=2,所以 2x+1,x≤0.所以f(2)=-5,f(2)=f(-5)= x)={-3x+1,x20, -5×2+1=-9. (2)当xe[-2,0]时八x)=2x+1∈[-3,1]，当xe(0,3]时， fx)=-3x+1∈[-8,1)，故x∈[-2,3]时，fx)的值域 为[-8,1]. （3因为-所以当0时.不等式 f八x-2)<-10可化为2x+1+2(x-2)+1<-10,解得x<-2:当0< x≤2时.不等式/代x)+/x-2)<-10可化为-3r+1+2(x-2)+ 1<-10,无解；当x>2时，不等式八x)+f(x-2)<-10可化为 -3x+1-3(x-2)+1<-10,解得x>3.综上所述，不等式f八x)+ f八x-2)<-10的解集为(-∞，-2)U(3.+x). 上分专题07函数的单调性与奇偶性 1.B解析：因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x) )-)0)<02可<0，又1)=0x 在(0，+)上单调递减，故当0<x<1时，x)>0,此时， 3) 0,不合要求，当D1时，国0.此时司0.满足要求，由 对称性可知f(-1)=0,f(x)在(-，0)上单调递减，故当 -1时)>0.此时2<0，满足要求，当-1<c0时. 九)0，此时司0，不合要求综上-国0的解 集为(-，-1)U(1,+).故选B. 2.B解析：由题意知八x)是偶函数且图象经过点(-1，-3)， 所以点(1，-3)也在图象上，即八1)=-3.当0≤<b时，不等 式6）a）<0恒成立，所以函数在[0，+x)上单调递 b-a 减，所以f八x-2)+3<0等价于f(x-2)<-3=f(1),所以 黑白题097