高一数学上学期期末模拟卷（北师大版必修第一册全部：集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质+指对运算及其函数+函数应用+概率统计）

2025-2026学年高一上学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可知命题“”的否定为“”. 故选：C. 2．已知集合，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出集合，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以． 故选：D. 3．某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】B 【分析】根据分层抽样的方法计算样本容量即可． 【详解】A，B产品产量之比为，型号的产品有40件 B型号的产品有60件， ． 故选：B． 4．已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】已知，则，又因为，所以， 因此由可以推出，充分性成立. 取，则，满足， 但此时，并不满足，所以不能必然推出，必然性不成立. 因此是的充分不必要条件. 故选： 5．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 6．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【答案】D 【分析】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 7．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得，再由指数函数的图象与性质，可得，即可得到答案. 【详解】由对数函数的图象与性质，可得，即， 又由，所以， 又由，指数函数为单调递增函数，可得，所以， 又由，所以， 综上可得：. 故选：D. 8．已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】D 【分析】A：令结合可求解出；B：令结合可求解出；C：令结合换元法可得的关系，由此可判断出奇偶性；D：根据C中的关系可进行判断. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则， 因为，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质推理判断BCD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 10．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可得函数值与函数解析式，再结合函数的奇偶性与单调性的判断方法可判断各选项. 【详解】令，，得， 即， 因为，所以. 令，，得， 即，所以. 令，得，即， 所以. 所以，故A正确；，故B错误； 是奇函数，故C正确； 当时，和均单调递增，且均为正， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD. 11．已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 【答案】ABD 【分析】作出函数图象，即可判断选项A，然后根据，的取值范围，逐项分析即可. 【详解】作出函数图象 由图可知，故A正确； 对于B：因为函数的对称轴为直线， 所以，且， 所以， 所以， 当时，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C：根据题意， 所以，， 所以，， 所以，故C错误； 对于D：， 由图可知，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号，故D正确； 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，最后代入，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以， 所以． 故答案为：0. 13．若存在实数、，使得函数的图象将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为 . 【答案】/0.5 【分析】根据圆的对称性可知“美好函数”应该是一个中心对称函数，然后根据所给函数的解析式判断奇偶性，最后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】圆，即，其圆心为， 因为函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分， 所以函数的图象关于中心对称， 所以“美好函数”应该是一个中心对称函数. 是中心对称函数， 是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意， 都是非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，不符合题意. 所以，从6个函数的表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为. 故答案为： 14．已知函数，若函数有3个零点.则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，在同一坐标系内作出函数的图象及直线，由此确定的解的情况，再结合图象确定解的情况得解. 【详解】由，得，令，则， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图： 观察图象，得当时，方程只有1个解； 当时，方程有2个解， 若，则，方程有2个解，即有2个解，不符合题意； 若，则，各有2个解，即有4个解，不符合题意； 若，则有1个解，有2个解， 因此有3个解，符合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，且． (1)求m的值． (2)判断的奇偶性并证明． (3)判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】(1)1 (2)奇函数，证明见解析 (3)增函数，证明见解析 【分析】（1）由列方程可得的值； （2）由奇偶性的定义即可判断及证明的奇偶性； （3）根据单调性的定义即可证明. 【详解】（1）因为，解得． （2）为奇函数． 证明如下：因为，定义域为，关于原点对称， 又因为， 因此函数为奇函数． （3）在上为增函数，证明如下： 设，则 ， 因为，所以，，故， 即，又因为，因此函数在上为增函数． 16．（15分）为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由各组频率之和为1（面积之和为1）可求得； （2）频率分布直方图用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和估计平均数； （3）用样本频率估计总体概率进行求解. 【详解】（1）由题意，有， 解得； （2）这种植物果实重量的平均数约为： ， ∴这种植物果实重量的平均数的估计值约为. （3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的频率为 ， 由此估计某批10000个果实中，重量不低于37.5克，即优质果实的概率为， ∴这批果实中的优质果实的个数约为个. 17．（15分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3的3个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的两个球标号相同的概率； （3）若将乙盒中的球倒入甲盒中，然后从甲盒的6个球中不放回的随机取出两个，求取出的两个球标号相同的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）列举试验的样本空间即可； （2）根据古典概型概率公式计算即可； （3）分别用和表示甲、乙两盒中的球，再结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1） （2）设事件A=“取出的两个球上标号为相同数字”， 则事件， ， ∴ （3）分别用和表示甲、乙两盒中的球， 设不放回的抽取两个所得样本空间为，则， 设事件“两次取出的球标号相同”， 则， 则 18．（17分）为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. (1)求的值； (2)给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据函数先增后减，可得模型符合，再利用待定系数法求解析式即可； （3）分和两种情况讨论，结合函数的单调性及基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意知，， 即，解得； （2）由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， 由表可知，， 则，解得， 所以； （3）， 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，， 综上所述，当时取得最大值. 19．（17分）已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数. (1)求和的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）分和两种情况分别可得函数的最大值及最小值，进而可得a的值，再由函数为奇函数可得，进而得b的值； （2）根据定义直接证明函数是增函数； （3）直接将函数的零点转化为方程有两个不同的根，再令，进而将方程转化为有两个不同的正根，再根据对勾函数的性质可得所求值的范围. 【详解】（1）因为函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6， 当时，函数在上单调递减，， 解得(舍去)或（舍去），均不符合题意. 当时，函数在上单调递增，， 解得或（舍去）.所以. 又有函数是奇函数，且定义域为R，所以，解得. 经检验，符合题意， 故，. （2）设，且，由（1）得，所以，. ， 由，在R上单调递增，所以，即，且，所以. 所以，即，所以函数在上单调递增. （3）因为由（1）可得，， 所以. 令，所以. 又因为函数恰有两个不同的零点， 所以方程，即有两个不同的正根， 而由对勾函数，当且仅当时等号成立，且函数在单调递减，在上单调递增，. 所以方程即有两个不同的正根，即与有两个不同的交点，得.如图： 故的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B A B D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．0 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，解得． [2分} （2）为奇函数． [3分} 证明如下：因为，定义域为，关于原点对称， [4分} 又因为， [6分} 因此函数为奇函数． [7分} （3）在上为增函数，证明如下： 设，则 ， [10分} 因为，所以，，故， [12分} 即，又因为，因此函数在上为增函数． [13分} 16．（15分） 【详解】（1）由题意，有， [3分} 解得； [4分} （2）这种植物果实重量的平均数约为： ， [9分} ∴这种植物果实重量的平均数的估计值约为. [10分} （3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的频率为 ， [13分} 由此估计某批10000个果实中，重量不低于37.5克，即优质果实的概率为， ∴这批果实中的优质果实的个数约为个. [15分} 17．（15分） 【详解】（1） [4分} （2）设事件A=“取出的两个球上标号为相同数字”， 则事件， ， [7分} ∴ [10分} （3）分别用和表示甲、乙两盒中的球， 设不放回的抽取两个所得样本空间为，则， [12分} 设事件“两次取出的球标号相同”， 则， [14分} 则 [15分} 18．（17分） 【详解】（1）由题意知，， [1分} 即，解得； [3分} （2）由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， [5分} 由表可知，， 则，解得， [8分} 所以； [9分} （3）， [10分} 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， [12分} 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， [14分} 即当时，， [16分} 综上所述，当时取得最大值. [17分} 19． （17分） 【详解】（1）因为函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6， 当时，函数在上单调递减，， 解得(舍去)或（舍去），均不符合题意. [1分} 当时，函数在上单调递增，， 解得或（舍去）.所以. [2分} 又有函数是奇函数，且定义域为R，所以，解得. 经检验，符合题意， 故，. [4分} （2）设，且，由（1）得，所以，.[5分} ， [7分} 由，在R上单调递增，所以，即，且，所以. 所以，即，所以函数在上单调递增. [8分} （3）因为由（1）可得，， [10分} 所以. [11分} 令，所以. 又因为函数恰有两个不同的零点， 所以方程，即有两个不同的正根， [13分} 而由对勾函数，当且仅当时等号成立，且函数在单调递减，在上单调递增，. [15分} 所以方程即有两个不同的正根，即与有两个不同的交点，得.如图： 故的取值范围为. [17分} 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版2019必修第一册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A．或 B． C． D． 3．某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 4．已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 6．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 7．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 11．已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 13．若存在实数、，使得函数的图象将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为 . 14．已知函数，若函数有3个零点.则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，且． (1)求m的值． (2)判断的奇偶性并证明． (3)判断在上的单调性，并给予证明． 16．（15分）为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数． 17．（15分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3的3个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的两个球标号相同的概率； （3）若将乙盒中的球倒入甲盒中，然后从甲盒的6个球中不放回的随机取出两个，求取出的两个球标号相同的概率. 18．（17分）为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. (1)求的值； (2)给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 19．（17分）已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数. (1)求和的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版2019必修第一册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A．或 B． C． D． 3．某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 4．已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 6．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 7．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 11．已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 13．若存在实数、，使得函数的图象将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为 . 14．已知函数，若函数有3个零点.则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，且． (1)求m的值． (2)判断的奇偶性并证明． (3)判断在上的单调性，并给予证明． 16．（15分）为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数． 17．（15分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3的3个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的两个球标号相同的概率； （3）若将乙盒中的球倒入甲盒中，然后从甲盒的6个球中不放回的随机取出两个，求取出的两个球标号相同的概率. 18．（17分）为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. (1)求的值； (2)给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 19．（17分）已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数. (1)求和的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $