17.1 一元二次方程（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数识别，通过知识回顾复习一元一次方程等旧知，再结合蔬菜产量增长、矩形空地修筑小路等实际问题引导列方程，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题情境培养抽象能力和模型意识，如通过产量增长问题抽象方程，提供多种列法发展推理意识和几何直观，巩固练习分层设计并强调规范表达，助力学生深化理解，教师使用可高效备课提升教学效果。

17.1 一元二次方程 第十七章 一元二次方程 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数、常数项. 通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力; 通过学习一元二次方程的概念,培养学生对概念理解的完整性和深刻性,渗透方程的思想,从而进一步提高分析问题、解决问题的能力. 知识回顾 1、我们曾学过哪些方程？ 一元一次方程、 二元一次方程、 分式方程 2、什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数 (元) ， 叫做一元一次方程. 并且未知数的最高次数是 1 的 整式方程 一元一次方程的一般形式： ax+b=0 (a≠0) 3、什么是方程的解(或根)? 使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解(或根). 探究新知 思考：根据以往的经验，你想用什么方法来解决这个实际问题？ 方程 问题 1 某蔬菜队 2019 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2021 年无公害蔬菜的产量比 2019 年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，2020 年和 2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 探究新知 问题 1 某蔬菜队 2019 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2021 年无公害蔬菜的产量比 2019 年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，2020 年和 2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 100(1+x)+ 100(1+x)x 解：设这个队2010~2011年无公害蔬菜产量的年平均增长是 x， 根据题意，得 100（1+x）2 整理，得 （1+x）2 则2010年无公害蔬菜产量为 100+100x =100(1+x) (t)， 则2011年无公害蔬菜产量为 = 100(1+x)2 (t). = 200 = 2 即 x2+2x-1=0 探究新知 问题２ 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 思考：1、若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x 2、由于花坛的总面积是 570 m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理，得 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2-36x＋35=0 探究新知 想一想：还有其它的列法吗？试说明原因. (32-2x)(20-x)=570 32-2x 20-x 32 20 整理，得： x2-36x＋35=0 探究新知 x2+2x-1＝0 x2-36x+35＝0 观察上面所列的方程，这两个方程之间有什么共同的特点？ 只含有一个未知数（元）， 并且未知数的最高次数是 2 的 整式方程， 概念学习 叫做 一元二次方程 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： 是一次项系数； ax2+bx+c=0 (a≠0， ) c 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 （又叫做 标准形式）, 其中 a bx b ax2 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是常数项． b，c 为任意实数 巩固练习 1、判断下列方程中，哪些是关于 x 的一元二次方程？ (1) (2) x3-x+4=0 × × (6) 2x2=0 (3) 4x2+3x-2=(2x-1)2 × (4) x2-2y-3=0 (5) (m+1)x2+3x+1=0 × × √ (7) 4x2=5x (8) 10x2=9 √ √ 巩固练习 2、 把方程 3x(x-1)=2(x-2)-4 化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. 解： 去括号，得 3x2-3x=2x-4-4 移项，合并同类项，得方程的一般形式： 3x2-5x+8=0 它的二次项系数是 常数项是 3， 一次项系数是 -5， 8 . 知识拓展： 通常按未知数的次数从高到低排列， 必须先将方程化为一般形式； 在写一元二次方程的一般形式时， 要确定一元二次方程的各项系数和常数项 , 最后是常数项. 即先写二次项， 再写一次项， 巩固练习 3、将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及 常数项. (1) 2(x-3)(x+4)=x2-10 解：(1) x2+2x-14=0 它的二次项系数是 常数项是 1， 一次项系数是 2， -14 . 一般形式： (2) 2x2=0 它的二次项系数是 常数项是 2， 一次项系数是 0， 0 . 一般形式： 巩固练习 4、已知关于 x 的一元二次方程 m(x-1)2=-3x2+x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，求 m 的值. 解：整理，得 (m+3)x2-(2m+1)x+m=0 ∵ 该方程的二次项系数与一次项系数互为相反数 ∴ m+3-(2m+1)=0 解得 m=2 巩固练习 5、已知关于x的方程 是一元二次方程，求m的值． 解：由题意可得 m+1≠0 解得 m=1 巩固练习 6、 已知关于 x 的方程 (k2-1)x2+(k+1)x-2=0. (1) 当 k 为何值时是一元一次方程？ 解：(1) 由题意得 解得 k=1 k2-1=0 k+1≠0 ∴ 当k=1时，原方程是一元一次方程 (2) 当 k 为何值时是一元二次方程？ (2) 由题意得 解得 k≠±1 k2-1≠0 ∴ 当k≠±1时，原方程是一元二次方程 巩固练习 7、已知 a 是方程 2x2-3x-1=0 的一个根，求代数式 2a(2a-3)+1的值． 解：由条件可知 2a2-3a-1=0 ∴ 2a2-3a=1 ∴ 2a(2a-3)+1 = 2(2a2-3a)+1 = 2×1+1 =3 巩固练习 6、m 是方程 x2+x-1=0 的根，求 m3+2m2+2025 的值. 解：∵ m是方程 x2+x-1=0 的一个根 ∴ m2+m-1=0 ∴ m2+m=1 ∴ m3+2m2+2025 = m3+m2+m2+2025 = m(m2+m)+m2+20125 = m+m2+2025 = 2026 = 1+2025 巩固练习 一元二次方程的一般形式 (又叫标准形式)： ① 一元二次方程的概念 只含有一个未知数 (元)， 并且未知数的最高次数是 2 的 整式方程， 叫做 一元二次方程. ax2+bx+c=0 (a≠0， ) b，c为任意实数 是一次项系数； c 其中 a bx b ax2 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是常数项． ② 一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 感谢聆听! $