第二章分式与分式方程期末复习通关训练题2025-2026学年鲁教版（五四 制）八年级数学上册

第二章分式与分式方程期末复习通关训练题 一、单选题 1．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 2．下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 4．如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．扩大为原来的倍 5．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 6．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 8．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 9．以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 11．使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 12．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 13．已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 14．下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 15．小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 16．当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2015 二、填空题 17．化简的值为 ． 18．计算的结果等于 ． 19．若分式的值为零，则 ． 20．已知，则的值为 ． 21．计算： ． 22．已知，，则的值为 ． 三、解答题 23．解分式方程： (1) (2) 24．八（2）班为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共50件，且购买的总费用不超过1450元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 25．某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 26．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款吉祥物每个的售价． (2)为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 27．某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 28．一辆货车从北京开往乌鲁木齐，路线总长是，为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速，提速后的平均速度是原来的倍，提速后比提速前可提前到达． (1)提速前的平均速度是多少？ (2)如果全程运行时间控制内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的计算原则是解题的关键． 将与都扩大为原来的3倍，代入代数式并化简，比较与原式的关系． 【详解】解：与都扩大为原来的3倍， 得： ， ， ， ，即与原式相等， 代数式的值不变； 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解分式方程是关键；首先将原方程化简，利用分母关系合并项，然后求解出x关于m的表达式，再根据解为负数的要求得到m的范围，同时考虑分母不为零的约束． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了分式的化简． 将表达式中的各项通分后计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查分式的加减运算，需要通分和化简，选项A在计算过程中符号处理错误，导致等式不成立；选项B、C、D通过通分和化简后等式均成立． 【详解】解：A、∵ ，， ∴， 通分得 ， 又 ∵， ∴ ，但右边为，故等式不成立； B、∵ ，， ∴ 左边，与右边相等，故正确； C、∵ 分母相同， ∴，与右边相等，故正确； D、通分后公分母为， ∴，，， 左边 = ，与右边相等，故正确； 故选：A． 9．D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质和分式的约分．通过代入具体数值或代数变形检验每个分式的化简是否正确，发现所有四个分式化简均错误． 【详解】①当时，左边，右边，右边左边，①错误． ②当，，时，左边，右边，右边左边，②错误． ③当，时，左边，右边，右边左边，③错误． ④，但右边，除非，否则不相等，④错误． 因此，所有四个分式化简均错误， 故选． 10．D 【分析】本题考查了分式的基本性质． 选项A、B、C代入具体数据可知错误，选项D通过分子分母的符号变化可化简为． 【详解】解：A、取，则，故错误； B、取，则，故错误； C、取，则，故错误； D、、D，正确． 故选：D． 11．A 【分析】本题考查分式值的正负性问题，解题的关键是掌握：若对于分式时，说明分子分母同号；分式时，分子分母异号． 根据分式的值为负，得到，解不等式即可． 【详解】解：∵使分式的值为负数，， ∴， 解得：， 故选：A． 12．B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 13．D 【分析】本题考查了分式的规律性问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，每项的乘积为常数，总项数为，恰好是的倍数，因此总乘积为的奇数次幂，结果为． 【详解】∵， ， ， ， ∴序列周期为， 每项乘积：， ∵， ∴． 故选：D． 14．B 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B 15．B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“路程、速度、时间的关系（时间路程速度）”并统一单位是解题的关键．先表示出路线一、路线二的行驶时间，再根据“路线一用时路线二用时分钟（换算为小时）”列方程． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 16．A 【详解】解：设a为负整数． ∵当x=a时，分式的值=，当x=﹣时，分式的值==， ∴当x=a时与当x=-时，两分式的和=+=0， ∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0， ∴所得结果的和==﹣1． 故选A． 【点睛】本题主要考查的是分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键． 17． 【分析】此题考查了分式的混合运算，将分子和分母因式分解后约分，然后计算括号内减法，然后计算括号外除法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握除法法则是关键；先把分子、分母分解因式，再利用除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，根据分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：． 故答案为：． 20．3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 21． 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除混合运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 22． 【分析】本题考查了求分式的值，由给定等式变形为关于的二次方程，结合条件确定，再代入所求表达式计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23．(1)原方程无解 (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法是解答本题的关键． （1）通过变形和通分求解，求解整式方程并检验； （2）因式分解分母后通分，求解整式方程并检验． 【详解】（1）解：， ， 解这个整式方程得：， 检验：当 时，分母，原方程无意义 ∴ 是增根，原方程无解 （2）解： ， ， 解得，， 检验：当时，，，原方程有意义 ∴是原方程的根 24．(1)购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元 (2)甲种奖品最多能购买30件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元，根据用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同，列出分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可得出结果； （2）设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件，利用总价单价数量，结合总价不超过1450元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 元， 答：购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元； （2）设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为30， 答：甲种奖品最多能购买30件． 25．(1)购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元 (2)这所学校最多可购买17个乙种足球 【分析】】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 26．(1)每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； (2)李老师最多可购买2个A款吉祥物； 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个，根据总价不超过240元，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元， 根据题意，得， 解得．经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； （2）解：设李老师购买A款吉祥物m个，则购买B款吉祥物个， 根据题意，得， 解得， 因为购买A款吉祥物的个数m为非负整数，所以m的最大值为2， 答：李老师最多可购买2个A款吉祥物． 27．A型机单独工作完成这批零件需要15小时 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设A型机完成这批零件所用的时间为小时，则B型机完成这批零件所用的时间为小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要小时，则B型机单独工作完成这批零件需要小时． 依题意得： 解得： 检验：当时，，，，符合题意， 所以原分式方程的解为． 答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时． 28．(1)提速前的平均速度是 (2)提速后的平均速度至少应为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设提速前的平均速度，则提速前的平均速度是，根据提速后比提速前可提前到达，列出分式方程，解出方程即可； （2）设提速后的平均速度应为，根据全程运行时间控制内，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设提速前的平均速度是，则提速前的平均速度是， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：提速前的平均速度是； （2）设提速后的平均速度应为， 由题意得：， 解得：， 答：提速后的平均速度至少应为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $