精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第二次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其在复平面内所对应的点坐标为，位于第二象限. 故选：B. 2. 函数的极大值点为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B 3. 直线：被圆：截得的弦为，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用代入数值求解. 【详解】转化为， 圆心，半径为， 设圆心到直线：距离为， 则， 则有. 故选：D. 4. 已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． 5. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，， 由得， 所以或（舍去） 所以，即， 由于，所以, 则， 所以一定成立的是：，； 故选：A 7. 已知斜率为的直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法、等腰三角形的性质，结合直线的斜率公式、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，， 则有， ， 因为直线的斜率为， 所以由， 设直线的倾斜角为，则有 因为是以为底边的等腰三角形， 所以， 因此直线的倾斜角为，即， 化简，得， 故选：C 8. 设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的性质，结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比记为q，是其前n项的积，若则（ ） A. B. C. D. 与均为的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再结合等比数列的性质逐项判断. 【详解】数列是各项为正数的等比数列，由，得，由，得， 对于A，公比，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，数列是递增数列，前13项都比1小，第14项为1，从第15项起都比1大， 因此与均为的最小值，D正确. 故选：ABD 10. 设抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上的一个点，圆以焦点为圆心，半径，点为抛物线上不与点重合的动点，过点作的垂线，垂足为，则（ ） A. 准线的方程为 B. 抛物线与圆有且仅有两个交点 C. 满足的点有且仅有一个 D. 当时，为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出抛物线和圆的方程，结合抛物线的定义依次判断选项即可. 【详解】由于抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上的一个点， 所以，解得：， 所以， 则，准线方程为：，故A正确； 因为圆以焦点为圆心，半径， 所以圆方程为：， 联立，化简得：，解得：或， 因为，则，即舍去，， 所以抛物线与圆的交点为，只有唯一一个交点，故B不正确； 对于C，根据抛物线的定义可得：，若， 则 不妨设点，则 则， 化简可得：，所以 则，即满足的点有且仅有一个，故C正确； 对于D，不妨设点，由，可得：， 所以，解得：， 根据对称性不妨取，则 则根据抛物线的定义可得：， ， 所以，则为等边三角形，故D正确; 故选：ACD 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点在平面内，且，点满足，则以下结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 动点的轨迹长度为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：证明得到直线与直线所成角为直线与直线所成的角，再根据是等边三角形即可求解，对于B，证明平面平面得到G到平面的距离为定值，再根据即可求解；对于C：向量法证明平面，结合题意判断G轨迹形状，从而可求其轨迹长度；对于D：求出关于平面对称的点M，从而，则，求出即可． 【详解】对于A，如图，作出符合题意的图形， ∵，∴四边形是平行四边形， ∴，∴直线与直线所成角为直线与直线所成的角， ∵的三条边均是各个面正方形的对角线， ∴三边相等，故是等边三角形， ∴，故A正确； 对于B，如图，作出符合题意的图形， 由A知，， ∵平面，平面，∴平面； 由知四边形是平行四边形， ∴，同理可得平面， 又∵，平面， ∴平面平面， ∵在平面内， ∴G到平面的距离为定值， 又∵的面积为定值， ∴由知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，如图，建立空间直角坐标系： 连接，设，连接，交于F． ， ， ， ， 平面， ∴平面． 如图，作出符合题意的图形， ∵，∴， ∵，∴， ， ∵， ∴， ∴，∴动点的轨迹是以F为圆心，2为半径的圆， 其长度为，故C错误； 对于D，如图，作出符合题意的图形， 设，连接，交与M，连接． 根据对称性可知，，∴， ∴， 又∵平面点和关于平面对称， ∵点在平面内，∴． ∵平面平面，， 是直角三角形，如图： 设，在中，， 在中，由余弦定理得， ∴，，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是第一象限角，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】三角函数的同角平方关系与正弦差角公式的综合应用．先根据的象限确定的范围，结合同角平方关系求出其正弦值；再将拆分为，利用正弦差角公式计算． 【详解】∵是第一象限角， 所以是第一或第二象限角， 又∵， ∴为第一象限角， ∴． ∴ ， 故答案为：． 13. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 【答案】和 【解析】 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 14. 如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________． 【答案】63 【解析】 【分析】设得到是严格递增的正整数数列以及满足条件的差分数列序列为：，再根据结合等差数列求和公式即可求解． 【详解】设，则， 根据“快速增长数列”定义，可得， 则是严格递增的正整数数列． 为使最大，需让数列增长最慢，则满足条件的差分数列序列应为， 即差分数列为公差为1，首项为2的等差数列， 所以当 ， 所以，则， 当时，， 当时， ∴正整数k的最大值为63． 故答案为：63． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【小问1详解】 当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． 【小问2详解】 的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 16. 如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长． 【答案】（1）    以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, , 则 且不在一条直线上，所以，， 所以四边形是平行四边形. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示证明； （2）利用空间向量与二面角的关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， , 所以，设，则， 所以， 设， 设平面的法向量为， 则, 令，所以， 所以 可得，解得或， 根据对称关系可知或都满足条件； 所以或 17. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； （3）记，，证明：． 【答案】（1） （2）， （3） ，即， 由， 于是 . 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）对已知等式进行递推，结合等差数列的性质，利用前项和与第项之间的关系进行求解即可； （3）利用放缩法进行运算证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； 【小问2详解】 令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； 【小问3详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【小问1详解】 设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； 【小问2详解】 （i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 19. 已知函数的定义域为，且，的导函数，直线为点处的切线． （1）求证：存在唯一的极小值点； （2）求证：当时，除点外，曲线均在的上方； （3）若，直线过点且与垂直，，分别与轴交于点，，求的值（取整函数表示不超过的最大整数，如）． 【答案】（1） 令函数，则， 令，则，则在上单调递增， ∵，， 故函数存在唯一的零点， 即当时，，即，∴函数单调递减， 当时，，即，∴函数单调递增， ∴函数存在唯一的极小值点 （2） 当时，，当时，， 由题意可设切线，即 构造函数，且 则， ∵，∴， ∴当，，即函数在单调递增， 当，，即函数在单调递减， 当时，，∴，即函数在单调递减， ∵导数为连续函数，∴为连续函数，∴为连续函数， ∴函数存在极小值，即， ∴当时，除点外，曲线均在的上方. （3）0 【解析】 【分析】（1）令，求导数，再构造函数，由得到函数单调性，然后得到的零点，即可求得函数的单调区间，然后得证. （2）构造函数，通过导数求函数的最小值，即可得证； （3）写出直线即可求得，代入所求代数式.由函数的单调区间求得的取值范围，即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 令，则， ，令，则， 则， ， ∴， 由（1）可知，当时，， 且，∴， ∵，∴， ∴，则，则， ∴，即， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第二次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的极大值点为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 直线：被圆：截得的弦为，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知斜率为的直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比记为q，是其前n项的积，若则（ ） A. B. C. D. 与均为的最小值 10. 设抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上的一个点，圆以焦点为圆心，半径，点为抛物线上不与点重合的动点，过点作的垂线，垂足为，则（ ） A. 准线的方程为 B. 抛物线与圆有且仅有两个交点 C. 满足的点有且仅有一个 D. 当时，为等边三角形 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点在平面内，且，点满足，则以下结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 动点的轨迹长度为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是第一象限角，，则________． 13. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 14. 如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数的最小值为0，求实数的值． 16. 如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长． 17. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； （3）记，，证明：． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 19. 已知函数的定义域为，且，的导函数，直线为点处的切线． （1）求证：存在唯一的极小值点； （2）求证：当时，除点外，曲线均在的上方； （3）若，直线过点且与垂直，，分别与轴交于点，，求的值（取整函数表示不超过的最大整数，如）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $