第一章因式分解期末通关练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第一章因式分解期末通关练习题 一、单选题 1．下列各组代数式中，没有公因式的是(    ) A．ax+y和x+y B．2x和4y C．a-b和b-a D．-x2+xy和y-x 2．已知一个正方形的面积是，则该正方形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 7．下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 9．下列各组多项式中，没有公因式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 10．已知，则（   ） A． B． C．3 D． 11．下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 12．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算： ． 14．分解因式： ． 15．多项式和的公因式是 ． 16．已知二次三项式含有一个因式，则的值是 ． 17．若，，则的值为 ． 18．若多项式的值为0，则的值为 ． 三、解答题 19．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 20．将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)； (4)． 21．在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？小季同学经过思考后作如下解答： 小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，，即无论取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为． (1)请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式； (2)求代数式的最大值． 22．阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：． 23．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如： (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解；． (2)深入研究，说明多项式的值总是一个正数； (3)拓展运用， 已知a、b、 c分别是的三边， 且试判断的形状，并说明理由． 24．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】找公因式即一要找系数的最大公约数，二要找相同字母或相同因式的最低次幂． 【详解】A．两个没有公因式，正确； B．显然有系数的最大公约数是2，故错误； C．只需把b﹣a=﹣（a﹣b），两个代数式有公因式，故错误； D．﹣x2+xy=x（y﹣x），显然有公因式y﹣x，故错误． 故选A． 【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式． 2．D 【分析】本题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长．正方形的面积等于边长的平方，因此需将给定的面积表达式因式分解为完全平方形式，求得边长后乘以4得到周长． 【详解】题目给出的面积为 ，将其按降幂排列为 ， 观察 ，发现其符合完全平方公式 ， 其中，，，因此 ， 所以正方形的边长为 ， 由于题目中 ，故 ，边长为 ， 正方形的周长为：， 选项A为边长，非周长，不符合题意， 选项B和C在时为负数，不符合题意， 选项D符合计算结果，符合题意， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了用完全平方公式，分解因式，把项看作是平方项或乘积二倍项两种情况讨论． 多项式需加上一个单项式后成为完全平方式，完全平方公式为 ，这里，（因为 )，中间项应为 ，选项B符合此要求． 【详解】解：∵ 完全平方公式要求 ， 设，（）， ∴ 中间项为 ， 选项中，B为，加上后得， ∴ 可以直接用完全平方公式因式分解， 其他选项均不满足中间项要求． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可判断求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、不能进行因式分解，该选项符合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 故选：． 5．C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】本题考查因式分解,正确提取公因式是解题的关键．先提取公因数，再提取公因数，计算即可得答案． 【详解】解：原式 ． 故选D． 7．B 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，公式法分解因式主要利用平方差公式和完全平方公式，注意多项式的形式是否符合公式要求． 检查每个多项式是否能使用平方差公式或完全平方公式分解因式． 【详解】解：①，能用平方差公式分解； ②，能用平方差公式、完全平方公式分解； ③，无法写成平方差或完全平方形式，故不能用公式法分解； ④，平方和不能分解，故不能用公式法分解； 综上，能用公式法分解的有2个， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】∵， ∴， 因此另一个因式为． 故选：A． 9．D 【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．逐一分析找出公因式即可得到答案． 【详解】解：A、，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； B、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； C、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； D、和，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意； 故选：D． 10．D 【分析】本题主要考查了分解因式，非负数的性质和代数式求值，利用完全平方公式分解因式把所给等式变形为，根据非负数的性质求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴且， ∴，， ∴， 故选：D． 11．D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、能用平方差公式，不符合题意； B、能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 12．C 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 13． 【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式． 先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查了因式分解，熟记灵活运用这些方法是解题关键．根据提公因式法和平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】， ， ∴多项式与多项式的公因式是． 故答案为：． 16． 【分析】本题运用了待定系数法，通过设出因式分解的形式，利用等式两边对应项系数相等来确定未知系数，是解决此类问题的常用方法．根据因式分解的意义，若有因式，则可设它分解为的形式，展开后根据对应项系数相等列方程组求解． 【详解】解：∵有因式， 设， 故，， 求得，， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识点，掌握运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先运用提取公因式法进行因式分解，然后将、整体代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为． 18． 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用平方差公式因式分解，然后提公因式求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式法则展开，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）综合利用公式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 21．(1) (2)18 【分析】题目主要考查新定义，理解新定义是解题关键． （1）根据题中方法进行配方法，分解因式即可； （2）根据题中的方法进行因式分解，然后即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） 因为无论m取何值时，都小于等于0， 所以，则有最大值为18． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）将“”看成整体，得原式，利用完全平方公式因式分解即可； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：设， 原式， 将A还原，则原式． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法． （1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可； （3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可． 【详解】（1）解： （2）解：， ∵， ∴， ∴多项式的值总是一个正数； （3）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 24．(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $