专题01 因式分解（期末复习讲义，5知识点+16题型）八年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学因式分解期末复习讲义通过表格梳理核心考点、复习目标及考情规律，结合知识框架图呈现因式分解的定义、提公因式法、公式法等知识点，清晰展现“一提二套三查”的分解步骤与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层设计16类题型，涵盖基础辨析（如因式分解定义判断）、综合应用（如利用分解因式判断三角形形状）及创新拓展（如新定义问题），通过解题技巧指导培养运算能力与推理意识，基础通关练与综合拓展练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

专题01 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 因式分解的定义，辨析因式分解与整式乘法的互逆关系 能快速判断一个代数变形是否为因式分解，明确两者的区别与联系 选择题高频考查，常以“下列变形属于因式分解的是”形式出题，难度低 2. 提公因式法：确定系数最大公约数、相同字母最低次幂，处理符号问题 熟练掌握提公因式步骤，避免漏提、错提公因式（尤其是系数为负数的情况） 填空题、解答题基础题，单独考查提公因式分解，或作为综合分解的第一步 3. 公式法：平方差公式的结构识别与套用 能快速识别符合平方差公式的多项式结构，准确套用公式分解 选择题、填空题常考，多与提公因式法结合考查，难度中等 4. 公式法：完全平方公式的结构识别与套用 能区分完全平方公式的两种形式，准确判断多项式是否为完全平方式 选择题、填空题常考公式结构辨析，解答题综合分解中高频出现，难度中等 5. 综合分解：先提公因式，再用公式法，保证分解彻底 掌握“一提、二套、三查”的分解步骤，确保结果分解到不能再分 解答题核心考点，常结合化简求值考查，是单元卷的重点题型，分值占比高 知识点01 因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点02 公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点03 提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点04 用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点05 用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． ： 题型一 因式分解的意义 解｜题｜技｜巧 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的结果是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的结果是多项式的形式． 【典例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）下列由左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A左边为多项式，右边为乘积形式，符合定义；选项B是整式乘法；选项C右边不是纯乘积；选项D左边是单项式，不是多项式． 【详解】解： A、，左边为多项式，右边为整式乘积，符合定义．   B、，是整式乘法，不是因式分解．   C、，右边有“”，不是纯乘积，因此不是因式分解．     D、，左边是单项式，不是多项式，因此不是因式分解．   ∴只有选项A正确． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 题型二 确定公因式 解｜题｜技｜巧 1、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 2、公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 【详解】解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用公因式法进行因式分解，确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∴将多项式分解因式时，应提取的公因式是 故选：C 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 题型三 用提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. 【典例1】（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法是解决本题的关键． （1）根据提公因式法求解即可； （2）根据提公因式法求解即可； （3）根据提公因式法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四 判断能否用公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 根据平方差和完全平方公式的特征来判断，符合特征的就可以用公式法，反之就不能用. 【典例1】下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 题型五 用平方差法分解因式 解｜题｜技｜巧 公式中的 a、b 无论表示数、单项式还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 【典例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 【变式1】多项式 因式分解的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解，利用平方差公式因式分解是关键． 是平方差形式，直接因式分解即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得答案； （2）先利用完全平方公式展开，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六 用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 【典例1】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【变式2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 题型七 用十字相乘法分解因式 解｜题｜技｜巧 因式分解-十字相乘法： 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+p q型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+p q＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例1】阅读材料： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式： （1）x2﹣3x﹣4； （2）x2﹣7x+12． 【分析】（1）仿照题中分解因式的方法进行因式分解即可； （2）根据“十字相乘法”进行因式分解的方法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）x2﹣3x﹣4 ＝x2+（1﹣4）x+1×（﹣4） ＝（x+1）（x﹣4）； （2）x2﹣7x+12 ＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）（﹣4） ＝（x﹣3）（x﹣4）． 【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法和十字相乘法解一元二次方程，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 【变式1某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【变式2】因式分解 （1）2x2﹣7x+3； （2）6x2﹣7x﹣5 （3）5x2+6xy﹣8y2 【分析】根据因式分解的方法﹣十字相乘分解因式即可． 【详解】解：（1）2x2﹣7x+3＝（2x﹣1）（x﹣3）； （2）6x2﹣7x﹣5＝（2x+1）（3x﹣5）； （3）5x2+6xy﹣8y2＝（5x﹣4y）（x+2y）． 【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型八 用分组分解法分解因式 解｜题｜技｜巧 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 【典例1】因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【答案】B． 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3） ＝a2（a+b）﹣b2（a+b） ＝（a2﹣b2）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）2； 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 【变式1】多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（　　） A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1） C．（x2+1）（y+1）（y﹣1） D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1） 【答案】D． 【分析】直接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解：x2y2﹣y2﹣x2+1 ＝y2（x2﹣1）﹣（x2﹣1） ＝（y2﹣1）（x﹣1）（x+1） ＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）（x+1）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 【变式2】阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：． 解：原式 ． 例2：“三一分组”：． 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． 题型九 因式分解法的综合应用 解｜题｜技｜巧 1、分解因式时，有公因式的一般先提公因式，然后再套用公式分解，最后进行检查. 2、分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 【典例1】因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）先根据平方差公式分解因式，再计算两括号里的加减，最后提取公因式即可； （2）先计算多项式的乘法，再根据完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）使用完全平方公式分解即可； （2）使用平方差公式分解即可； （3）先提取公因式，再使用完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再使用平方差公式分解即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2】分解因式： (1)： (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． （3）综合利用公式法分解因式即可； （4）综合利用公式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十 利用分解因式进行简便计算 解｜题｜技｜巧 1、在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 2、较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解的公式法对其进行变形，使运算得以简化. 【典例1】（24-25七年级上·全国·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，因式分解，先把式子整理得，再提公因式，进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【典例1】已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了求代数式的值、因式分解，熟悉相关性质是解题的关键． 由已知条件可得，然后将所求代数式拆项，整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ， 把代入，得 ． 故答案为：2． 【变式2】化简求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解，代数式求值， 对于（1），先因式分解将原式整理为，再整体代入求值； 对于（2），先根据整式的混合运算法则计算，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 原式； （2）解：∵， ∴， 原式 ． 题型十二 利用因式分解求等式中待定字母的值 解｜题｜技｜巧 因式分解与整式乘法是过程相反的恒等变形，将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，与已知多项式想比较，对应项的系数分别相等，列出方程（组）即可求出未知数的值. 【典例1】将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 【变式1】若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 题型十三 利用因式分解判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 先将等号右边的所有项移到等号左边，再通过因式分解将等号左边变形为几个非负数的积的形式，然后转化为有关a,b,c方程，确定a,b,c 的值，然后根据三角形的判定方法可确定三角形的形状. 【典例1】的三边，，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定和等腰三角形的判定，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 方程两边乘2，再移项后分组得出，求出且且，求出，再根据等边三角形的判定得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 且且， 即， 所以是等边三角形， 故选：． 【变式1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，三角形三边关系，先整理原式得，再根据三角形三边关系，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（，故，舍去） ∴， ∴此三角形的形状是等腰三角形． 故选：A． 【变式2】阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的 后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法． （1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式； （2）把所给等式分组为，再分解因式，可得，再进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： 是等腰三角形，理由如下： ， ， ∴， ∴， ∴， 或 ， 或 ， 为等腰三角形． 题型十四 利用分解因式求最值 解｜题｜技｜巧 （利用分解因式求最值 ，主要是利用配方法+因式分解，将原式配方后分解出完全平方式，依据“平方 ≥ 0”确定最小值. 【典例1】当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将代数式通过配方法转化为完全平方式的和，再根据完全平方式的非负性确定最小值及此时、的值．本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法将代数式变形为完全平方式的和是解题的关键． 【详解】解： ， 因为，， 所以当，时，代数式有最小值． 由，得；由，得． 此时最小值为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【答案】(1) (2)时，代数式有最大值 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可． 【详解】（1）原式 ； （2） ， ， ，即， 时，有最大值． 【变式2】我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 题型十五 因式分解在新定义问题中的运用 解｜题｜技｜巧 因式分解是破解“新定义”数学题的关键工具，尤其在处理“和谐数”“极数”等创新概念时，通过提取公因式或运用平方差公式，能快速揭示数字规律并完成证明．  【典例1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c； （2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明； （3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可. 【详解】解：（1）根据题意，； （2）根据题意，， ∵， ∴即； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将化为是解决此问的关键. 【变式1】阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“如意数”c； (2)已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【答案】(1)-1 (2)b＝x2+2 【分析】（1）利用“如意数”的定义可直接求得； （2）利用“如意数”的定义表示出，把与的值代入即可． 【详解】（1）解：由“如意数”的定义可得， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新概念“如意数”为背景，涉及因式分解，解题的关键是能根据定义表示出“如意数”，然后利用因式分解解答． 【变式2】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． (3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 【答案】(1)② (2)①证明见解析；②验证见解析 (3)7 【分析】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． （1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用完全平方公式计算整理原式即可得解； ②设四个连续奇数为、、、，作差即可得解； （3）将已知式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可． 【详解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； 故答案为：②； （2）解：①， 因为k为正整数，所以能被8整除， 因此：“双奇差数”都能被8整除． ②设四个连续奇数为、、、， ， ， ， ，， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数． （3）解：因为m、n为正整数，且， ， 因为是“双奇差数”， 所以，其中k为正整数，所以， 因为，即，所以当最小时，有最小值， 所以当最小时，有最小值， 当时，，不是完全平方数； 当时，，不是完全平方数； 当时，，由得，， ∴的最小值为7． 题型十六 因式分解在阅读理解中的应用 解｜题｜技｜巧 因式分解在材料阅读题中的应用关键是“理解新方法 + 快速迁移运用”，通常题目会先介绍一种非常规的因式分解技巧（如换元法、试根法、配方法等），再要求学生模仿应用，重点考查学生的阅读理解与数学迁移能力．  【典例1】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 【变式1】阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边，，满足，试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案； （2）先利用因式分解，得到，再根据三角形的三边关系，得到，推出，即可判断的形状． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：等腰三角形，理由如下： ， ， ，，是的三边， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【变式2】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多 项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个 项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将 一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值为； (3)12 【分析】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解． （1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得，，， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 3．利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 4．若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减和公因式的概念，掌握公因式的概念是解题的关键． 根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案． 【详解】 ， ， 的值与的公因式， 故选：D． 5．若，则括号内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的灵活运用，利用平方差公式将分解因式，再与给定式子对比 【详解】解：， 又， 括号内应填， 故选：D 6．已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系及因式分解，熟练掌握三角形三边关系及因式分解是解题的关键；由三角形三边关系可知，由可进行判断式子的正负性，进而问题可求解． 【详解】解：由三角形三边关系可知， ∴， ∴， ∴的值一定是负数； 故选：B． 7．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，再把代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 8．把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（　　） A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2） B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y） C．4x2﹣（2x+y2+y） D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y） 【答案】B 【详解】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解因式即可． 解：原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y=（4x2﹣y2）﹣（2x+y）=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）=（2x+y）（2x﹣y﹣1）． 故选B． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为： 10．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，观察式子，可发现解答此题的关键是第一个因数的处理，掌握平方差公式是解题的关键．即把改写成，这样可以利用平方差公式得到，进而再用平方差公式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解的方法，观察多项式特征，确保因式分解“彻底”是解题关键． （1）先找出多项式各项的公因式，再用提公因式法分解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解； （3）将式子看作两个平方数的差，利用平方差公式分解； （4）先将原式看作完全平方式进行分解，再对所得因式利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（25-26八年级上·江西宜春·月考）阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用‘配方法’能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； 【答案】(1) (2) 见解析 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合乘法公式解题即可； （2）对式子配方即可证明． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴多项式的值总是一个正数． 15．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 16．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 17．仔细阅读下面例题，解答问题： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________， ________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0 (2)4 (3)11 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到c的范围，熟练掌握是解题的关键． （1）根据配方法和非负数的性质求解； （2）根据配方法和非负数的性质求出，，代入代数式求值即可； （3）根据配方法和非负数的性质求出：，，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴，， 故答案为：1，0； （2）解：∵， ， 即， 则，， 解得，， ； （3）解：∵， ， ， 则，， 解得，， ∵， 即，且c是正整数， ∴， 即三角形三边分别为1，5，5， ∴的周长为． 18．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：； ，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数___________． (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值； (3)已知，求出a，b的值． 【答案】(1) (2)当时，原式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式得出答案； （2）把原式配方，根据平方的非负数性质即可得答案； （3）把原式分组配方，根据平方的非负数性质即可求出、的值． 【详解】（1）解：设，即， ∴，解得：， 故答案为：4； （2） ， ， ∴当时，原式有最大值，最大值为． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 因式分解的定义，辨析因式分解与整式乘法的互逆关系 能快速判断一个代数变形是否为因式分解，明确两者的区别与联系 选择题高频考查，常以“下列变形属于因式分解的是”形式出题，难度低 2. 提公因式法：确定系数最大公约数、相同字母最低次幂，处理符号问题 熟练掌握提公因式步骤，避免漏提、错提公因式（尤其是系数为负数的情况） 填空题、解答题基础题，单独考查提公因式分解，或作为综合分解的第一步 3. 公式法：平方差公式的结构识别与套用 能快速识别符合平方差公式的多项式结构，准确套用公式分解 选择题、填空题常考，多与提公因式法结合考查，难度中等 4. 公式法：完全平方公式的结构识别与套用 能区分完全平方公式的两种形式，准确判断多项式是否为完全平方式 选择题、填空题常考公式结构辨析，解答题综合分解中高频出现，难度中等 5. 综合分解：先提公因式，再用公式法，保证分解彻底 掌握“一提、二套、三查”的分解步骤，确保结果分解到不能再分 解答题核心考点，常结合化简求值考查，是单元卷的重点题型，分值占比高 知识点01 因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点02 公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点03 提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点04 用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点05 用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． ： 题型一 因式分解的意义 解｜题｜技｜巧 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的结果是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的结果是多项式的形式． 【典例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）下列由左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 题型二 确定公因式 解｜题｜技｜巧 1、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 2、公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型三 用提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. 【典例1】（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【变式2】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)． 题型四 判断能否用公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 根据平方差和完全平方公式的特征来判断，符合特征的就可以用公式法，反之就不能用. 【典例1】下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型五 用平方差法分解因式 解｜题｜技｜巧 公式中的 a、b 无论表示数、单项式还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 【典例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】多项式 因式分解的结果是 （   ） A． B． C． D． 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 题型六 用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 【典例1】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 用十字相乘法分解因式 解｜题｜技｜巧 因式分解-十字相乘法： 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+p q型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+p q＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例1】阅读材料： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式： （1）x2﹣3x﹣4； （2）x2﹣7x+12． 【变式1某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式2】因式分解 （1）2x2﹣7x+3； （2）6x2﹣7x﹣5 （3）5x2+6xy﹣8y2 题型八 用分组分解法分解因式 解｜题｜技｜巧 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 【典例1】因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【变式1】多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（　　） A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1） C．（x2+1）（y+1）（y﹣1） D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1） 【变式2】阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：． 解：原式 ． 例2：“三一分组”：． 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 题型九 因式分解法的综合应用 解｜题｜技｜巧 1、分解因式时，有公因式的一般先提公因式，然后再套用公式分解，最后进行检查. 2、分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 【典例1】因式分解： (1) (2) (3) 【变式1】因式分解 (1) (2) (3) (4) 【变式2】分解因式： (1)： (2)． (3)； (4)． 题型十 利用分解因式进行简便计算 解｜题｜技｜巧 1、在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 2、较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解的公式法对其进行变形，使运算得以简化. 【典例1】（24-25七年级上·全国·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)． 题型十一 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【典例1】已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则的值为 ． 【变式2】化简求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求代数式的值． 题型十二 利用因式分解求等式中待定字母的值 解｜题｜技｜巧 因式分解与整式乘法是过程相反的恒等变形，将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，与已知多项式想比较，对应项的系数分别相等，列出方程（组）即可求出未知数的值. 【典例1】将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【变式1】若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【变式2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 题型十三 利用因式分解判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 先将等号右边的所有项移到等号左边，再通过因式分解将等号左边变形为几个非负数的积的形式，然后转化为有关a,b,c方程，确定a,b,c 的值，然后根据三角形的判定方法可确定三角形的形状. 【典例1】的三边，，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的 后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 题型十四 利用分解因式求最值 解｜题｜技｜巧 （利用分解因式求最值 ，主要是利用配方法+因式分解，将原式配方后分解出完全平方式，依据“平方 ≥ 0”确定最小值. 【典例1】当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【变式2】我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 题型十五 因式分解在新定义问题中的运用 解｜题｜技｜巧 因式分解是破解“新定义”数学题的关键工具，尤其在处理“和谐数”“极数”等创新概念时，通过提取公因式或运用平方差公式，能快速揭示数字规律并完成证明．  【典例1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【变式1】阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“如意数”c； (2)已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【变式2】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． (3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 题型十六 因式分解在阅读理解中的应用 解｜题｜技｜巧 因式分解在材料阅读题中的应用关键是“理解新方法 + 快速迁移运用”，通常题目会先介绍一种非常规的因式分解技巧（如换元法、试根法、配方法等），再要求学生模仿应用，重点考查学生的阅读理解与数学迁移能力．  【典例1】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【变式1】阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边，，满足，试判断的形状． 【变式2】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多 项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个 项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将 一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 4．若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 5．若，则括号内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 6．已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 7．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（　　） A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2） B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y） C．4x2﹣（2x+y2+y） D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知，，则代数式的值是 ． 10．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算： ． 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； 12．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 13．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（25-26八年级上·江西宜春·月考）阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用‘配方法’能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； 15．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 16．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 17．仔细阅读下面例题，解答问题： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________， ________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 18．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：； ，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数___________． (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值； (3)已知，求出a，b的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $