期末押题卷 高频考点题型归纳与满分必练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上学期期末押题卷 【苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：九年级全册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．数据2、3、3、5、4的中位数是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 2．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 3．已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝5cm，则点A与⊙O的位置关系为  （  ） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 4．若点，是函数上两点，则当时，函数值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．10 5．如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在一把尺子（单位：cm）上自左向右的三个位置（都为整十数刻度），依次放置了点光源，竖立的木条，竖直安装的投影幕，已知，且可以在尺子上左右移动，木条在投影幕上的投影为．现将木条从图示位置向左移动，下列说法正确的是（    ）．    A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 7．如图，在中，于点，若，，则的长为（    ）    A．10 B． C．15 D． 8．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 9．如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．若 ，则    的值为 ． 12．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 13．如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为 ． 14．已知m、n是方程两根，则的值为 ． 15．如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．    6．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点、，且，则c的取值范围是 ． 17．如图，是的直径，，是圆上的两点（不与、重合），已知，，则 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，为轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点.当取最大值时，点的横坐标为 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（5分）计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°． 20．（5分）解一元二次方程：． 21．（8分）如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．    现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 22．（8分）已知关于的方程． (1)若此方程的一个根为，求它的另一个根及的值； (2)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 23．（8分）如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 24．（8分）义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．学校准备在校园内利用校围墙的一段（墙体的最大可用长度米）和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园（如图），已知篱笆长米（篱笆全部用完），如果要围成面积为平方米的菜园，的长是多少米？ 25．（8分）如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点M. (1)设矩形EFGH的长HG=ycm，宽HE=xcm.求y与x的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?最大值是多少? 26．（10分）（1）尝试探究：如图1，在正方形中，边长为，点，，，分别在正方形的四条边上，并且，若，则________； （2）类比延伸：如图2，在矩形中，，，点，，，分别在矩形的四条边上，并且，若，则________； （3）拓展应用：如图，在中，，，，分别在边和上，并且，若，，判定和的数量关系，并写出解答过程． 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上学期期末押题卷 【苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：九年级全册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．数据2、3、3、5、4的中位数是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据中位数的定义进行判断即可． 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序为：2、3、3、4、5， ∵位于最中间的数是3， ∴这组数的中位数是3，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中位数的定义，解题的关键是熟练掌握中位数的定义，中位数是指将一组数据按照从小到大的顺序排列（或者从大到小的顺序）之后，处在数列中间位置的数值． 2．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 故选：D． 3．已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝5cm，则点A与⊙O的位置关系为  （  ） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 【详解】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为5cm，∴d=r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上． 故选A． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 4．若点，是函数上两点，则当时，函数值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据点A(x1，5)，B(x2，5)是函数y=x2﹣2x+3上两对称点，可求得x=x1+x2=2，把x=2代入函数关系式即可求解． 【详解】∵点A(x1，5)，B(x2，5)是函数y=x2﹣2x+3上两对称点，对称轴为直线x=1， ∴x1+x2=2×1=2， ∴x=2， ∴把x=2代入函数关系式得y=22﹣2×2+3=3． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及二次函数的性质．求出x1+x2的值是解答本题的关键． 5．如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径确定直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数，然后再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在一把尺子（单位：cm）上自左向右的三个位置（都为整十数刻度），依次放置了点光源，竖立的木条，竖直安装的投影幕，已知，且可以在尺子上左右移动，木条在投影幕上的投影为．现将木条从图示位置向左移动，下列说法正确的是（    ）．    A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 【答案】B 【分析】先证可得，再分别求出向左移动前后的长度，进而求出向左移动前后的长度即可解答． 【详解】解：由题意可得：, ∴, ∴, ∴, ∵，,, ∴，解得：， 将木条从图示位置向左移动,则， ∴，解得：． ∴现将木条从图示位置向左移动，伸长了． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、相似三角形的应用等知识点，理解题意、证得是解答本题的关键． 7．如图，在中，于点，若，，则的长为（    ）    A．10 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】在中，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可解答． 【详解】∵， ∴， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是等边的外接圆，如图所示，连接，过点作于，证明是含特殊角的直接三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 如图所示，连接，过点作于， ∵是等边的外接圆，， ∴，平分，是弦的垂直平分线， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴，即，解得，（舍去），， ∴ ∴的半径是， 故选：． 【点睛】本题主要考查等边三角形，圆，含特殊角的直角三角形的综合，掌握等边三角形的性质，外接圆的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 9．如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图像可以直接回答即可． 【详解】解：观察图像得：当时，二次函数的图像位于一次函数的图像的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 10．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键． 首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．若 ，则    的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据比例的性质若，则有解答即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，理解运用该性质是解题的关键． 12．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 13．如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方差，先求出平均数，再根据方差的公式计算即可得出答案． 【详解】解：平均数为环， 方差为：， 故答案为：． 14．已知m、n是方程两根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，由方程的解得定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后对变形即可解答． 【详解】解：已知、是方程两根， ，即；， ． 故答案为：2023 15．如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．    【答案】/ 【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为， ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长， ∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径． 6．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点、，且，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，理解题意是解题的关键． 根据不动点的定义，不动点满足，即在直线上，故二次函数与直线有两个交点，且横坐标满足，可以理解为时，一次函数的值大于二次函数的值． 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， ∴一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， ∵两个不动点，满足， 时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， ， ． 故答案为：． 17．如图，是的直径，，是圆上的两点（不与、重合），已知，，则 ． 【答案】４ 【分析】本题考查了圆的基本性质（直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等）及三角函数的应用；解题的关键是构造直角三角形，并利用已知角的正弦值建立边长关系；根据同弧所对的圆周角相等，得，由为直径，得；利用，设，，结合已知，应用勾股定理列出方程求解，进而得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 设，， ， ， 或（舍）， ∴， 故答案为4． 18．如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，为轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点.当取最大值时，点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作直径，连接，过、两点的与轴相切于时，最大，由，求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过、两点的与轴相切于时，最大， 作直径，连接， 与轴相切于， 直径， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， . ， 的坐标是，的坐标是， ，， ， ， 的横坐标是. 故答案为：. 三、解答题（本题共9小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（5分）计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：原式＝2×+（）2﹣ ＝1+﹣ ＝﹣． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题． 20．（5分）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】把方程的常数项移到右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．正确理解和掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 21．（8分）如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．    现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：共有张卡片， 第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为 故答案为：． （2）树状图如图所示：    由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 22．（8分）已知关于的方程． (1)若此方程的一个根为，求它的另一个根及的值； (2)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)方程的另一个根为，的值为 (2)证明过程见详解 【分析】（1）把代入方程，可求出的值，从而得出方程的一般式，根据解一元二次方程的方法，即可求解； （2）根据方程根的判别式，恒大于零，则方程有两个不相等的实数根，即可求证． 【详解】（1）解：把代入方程得，， ∴， ∴关于的方程， 去分母得，， 因式分解得，， ∴原方程的解为：，， ∴方程的另一个根为，的值为． （2）解：关于的方程，，，， ∴， 令， ∵，即原方程的判别式恒大于零， ∴关于的方程，不论取何实数，方程有两个不相等的实根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”． 23．（8分）如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，延长CE交AB于G，根据题意得，，，，，，，．根据矩形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于G． 由题意：，，，，，，． ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中，，， 设，． ∵，， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，． ∴． 所以，教学楼的高度约为. 24．（8分）义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．学校准备在校园内利用校围墙的一段（墙体的最大可用长度米）和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园（如图），已知篱笆长米（篱笆全部用完），如果要围成面积为平方米的菜园，的长是多少米？ 【答案】5米 【分析】设，则，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得， 解得， 当时，，舍去； 当时，； 所以的长是5米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的列出条件，掌握解法，注意取舍是解题的关键． 25．（8分）如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点M. (1)设矩形EFGH的长HG=ycm，宽HE=xcm.求y与x的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?最大值是多少? 【答案】（1）；（2）当x=60时，S最大，最大为4800cm². 【分析】（1）根据矩形的性质可得△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）利用S=xy，把代入得S关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可. 【详解】解：(1)∵四辺形EFGH是矩形， ∴HG∥BC ∴ΔAHG∽ΔABC ∴，即 ∴ (2)把带入S=xy， 得 = 当x=60时，S最大，最大为4800cm². 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 26．（12分）（1）尝试探究：如图1，在正方形中，边长为，点，，，分别在正方形的四条边上，并且，若，则________； （2）类比延伸：如图2，在矩形中，，，点，，，分别在矩形的四条边上，并且，若，则________； （3）拓展应用：如图，在中，，，，分别在边和上，并且，若，，判定和的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）；（2）；（3），过程见解析 【分析】（1）作交于点，交于点，交于点，设与分别交于点，点，由正方形的性质得，，可证明，，因为，所以，推导出，可证明，则，于是得到问题的答案； （2）作交于点，交于点，交于点，设交于点，可证明，，因为，所以，推导出，可证明，则，求得，于是得到问题的答案； （3）作交的延长线于点，设交于点，因为，所以，则，而，可推导出，再证明，得，再证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：如图，作交于点，交于点，交于点，设与分别交于点，点， 四边形是长为的正方形，点，，，分别在正方形的四条边上， ，，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，作交于点，交于点，交于点，设交于点， 四边形是矩形，， ，点，，，分别在矩形的四条边上， ，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3）解：如图（3），过点C作交的延长线于点，设交于点， ，，，分别在边和上， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ，， ， ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)存在；最大值为；此时 (3)①；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）①分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出结果即可； ②根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上，得出边在点右侧，与抛物线相交，，再根据点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ①当时，点在点上方，如图3，图4， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方，如图5． 同理可得：， ， ∴不论为何值，点坐标为． ②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：； 如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得：（正值舍去）； 如图5，当时，点在抛物线上． ， 解得：（负值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $