复习案04 双曲线-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

复习案04 双曲线 【知识回顾】 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 常用结论： 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 2.离心率e＝＝＝. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. 4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 【重点题型剖析】 题型一 双曲线的定义 一、单选题 1．双曲线的两个焦点分别是，双曲线上一点到的距离是12，则到的距离是（    ） A．17 B．7 C．7或17 D．2或22 2．双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 3．已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线上一点P到焦点的距离为9，则它到另一个焦点的距离为（    ） A．15 B．5 C．3或5 D．3或15 5．已知点P是双曲线C：上的动点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线 的左、右焦点分别为，其一条渐近线为，直 线过点且与双曲线的右支交于两点，分别为和的内 心 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列结论判断正确的是（    ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 B．方程（，，）表示的曲线是椭圆 C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则 9．以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（    ） A．双曲线与椭圆有相同的焦点 B．过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条 C．设A，B是两个定点，k是非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线的一支 D．动圆P过定点且与定直线l：相切，则圆心P的轨迹方程是 10．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为9 D．点P到两渐近线的距离乘积为 12．已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 C．双曲线与椭圆的焦点相同 D．M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则 14．已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为 C．双曲线的渐近线方程 D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为 三、填空题 15．已知双曲线的焦点为，，若其中一条渐近线的倾斜角为，则焦点到该渐近线的距离为________． 16．设双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线